發(fā)動機外部管路系統(tǒng)的卡箍布局多目標優(yōu)化

徐培原，劉 偉

（1.航空工業(yè)航宇救生裝備有限公司，湖北襄陽441003；2.西北工業(yè)大學力學與土木建筑學院，西安710129）

0 引言

管路系統(tǒng)是航空發(fā)動機介質(zhì)傳輸和動力傳遞的通道，布局走向復雜?？ü渴枪潭ㄅc支承管路的重要裝置，對提高管路剛度、實現(xiàn)管路頻率調(diào)節(jié)具有重要作用，合理的卡箍布局是抑制管路系統(tǒng)振動的最有效、最簡便的方法。目前，在工程中很多卡箍的選型、位置和數(shù)量是從原型機上直接比對移植過來的；一些局部管路的卡箍有時還需要技術(shù)人員現(xiàn)場調(diào)整，隨機性較大，缺乏具體的理論指導，卡箍布置的經(jīng)驗性與隨意性可能會導致管路結(jié)構(gòu)的固有頻率落入發(fā)動機工作頻率附近，從而引發(fā)共振或局部振動應力過大。因此，研究發(fā)動機復雜管路的卡箍布局優(yōu)化設(shè)計方案具有重要意義。

管路系統(tǒng)的卡箍位置優(yōu)化已經(jīng)引起了一些學者的關(guān)注。顧文彬[1]研究了直管在不同激勵形式下的卡箍位置優(yōu)化問題，表明自由振動、瞬態(tài)響應和隨機響應下的卡箍位置具有不同的最優(yōu)解；Wang[2]采用啟發(fā)式優(yōu)化算法，以減小形變和增大基頻為目標，對直梁和支撐板結(jié)構(gòu)進行卡箍位置優(yōu)化；劉偉等[3]對多卡箍管路進行動力靈敏度分析，找出對目標影響較大的若干個卡箍位置參數(shù)，分別進行1 階頻率調(diào)節(jié)和降低隨機振動應力的卡箍位置優(yōu)化；智友海等[4]基于疲勞累積損傷的破壞準則方法，研究了隨機振動下管路系統(tǒng)卡箍的位置對管路結(jié)構(gòu)可靠性造成的影響；陳艷秋等[5]基于有限元法以頻率調(diào)節(jié)和調(diào)幅為目標，對發(fā)動機導管卡箍剛度進行優(yōu)化；李鑫等[6]將管路-卡箍系統(tǒng)的激勵振源頻率點的特征阻抗加權(quán)和最小設(shè)置為評價指標。目前卡箍優(yōu)化研究存在2 個問題：（1）研究對象主要為直管或者平面管路，然而在實際工程中管路結(jié)構(gòu)多樣，走向復雜。而且，發(fā)動機管路和卡箍需要布置在機匣曲面上，需要研究曲面復雜管路的參數(shù)化方法；（2）現(xiàn)有優(yōu)化的頻率調(diào)節(jié)目標主要是單頻段，然而發(fā)動機激勵經(jīng)常是1 個較寬的頻段，結(jié)構(gòu)的多階固有頻率都可能與激勵頻率接近，易引發(fā)管路其他頻段的共振，諸如頻率調(diào)節(jié)或者隨機振動的單一目標的控制方法難以滿足需求。因此，需要探討發(fā)動機復雜管路卡箍布局優(yōu)化的多目標優(yōu)化方法。

本文采用靈敏度分析的方法確定了對發(fā)動機曲面上管路系統(tǒng)動力學特性影響較大的若干卡箍位置參數(shù)，以前4 階固有頻率遠離發(fā)動機工作頻率和隨機振動應力均方根響應最小化這2 個原則為優(yōu)化目標，對關(guān)鍵卡箍位置參數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計，以期為復雜管路的振動控制提供參考。

1 優(yōu)化設(shè)計

對發(fā)動機外部管路卡箍布局進行優(yōu)化設(shè)計，首先需要確定優(yōu)化目標，本文的優(yōu)化目標有2 個：（1）實現(xiàn)頻率調(diào)節(jié)，使結(jié)構(gòu)前4 階固有頻率遠離外界激勵；（2）隨機振動的應力均方根響應最小化。

1.1 頻率調(diào)節(jié)

根據(jù)振動設(shè)計要求，卡箍的安裝應當使得結(jié)構(gòu)的固有頻率遠離共振區(qū)（即發(fā)動機工作頻率附近）。

令頻率比λ=ω/ωn，ω為發(fā)動機工作頻率，ωn為結(jié)構(gòu)的第n階固有頻率，工程中通常取0.75＜λ＜1.25的區(qū)間為共振區(qū)[7]，由此可以近似推導出，當結(jié)構(gòu)的第n階固有頻率滿足0.8ω＜ωn＜1.3ω時，結(jié)構(gòu)有發(fā)生共振的風險。為了使第n階固有頻率離開共振區(qū)，該階固有頻率Pn需要滿足

同時，為了比較不同的卡箍布局下第n階固有頻率遠離共振區(qū)的程度，令Qn=|ωn-1.05ω|，Qn即為第n階固有頻率相對于共振區(qū)中心的偏離程度，優(yōu)化的過程是在滿足式（1）的同時盡可能使Qn最大化。

1.2 應力均方根響應

發(fā)動機管路處在復雜的振動環(huán)境中，需考察管路的隨機振動響應。

隨機振動可視為概率統(tǒng)計問題，無法獲得某一瞬時具體響應數(shù)值，隨機振動的響應分布可近似看作高斯分布，主要考察各物理量的均方根響應，某個物理量的均方根響應可看作該物理量響應分布的標準差。取管路結(jié)構(gòu)x方向的最大應力均方根響應RS1為優(yōu)化對象，在優(yōu)化中盡可能減小RS1的數(shù)值[8]。

2 遺傳算法

遺傳算法是目前在工程領(lǐng)域中極為常用的1 種優(yōu)化算法，是受自然界生物進化過程的啟發(fā)而產(chǎn)生的?；谏镞M化原則，根據(jù)每代種群個體對環(huán)境的適應程度來對個體進行篩選，適應度高的個體將被保留，適應度低的個體將被舍棄，之后被保留的個體再經(jīng)歷交叉、變異2 個步驟的處理，將其遺傳信息傳遞給下一代。在逐代的遺傳過程中，個體對環(huán)境的適應程度越來越高，越來越逼近最優(yōu)解。遺傳算法的主要流程如圖1 所示。

圖1 遺傳算法主要流程

在工程實際中多為多目標優(yōu)化問題，本文選用的NSGA-II[9～11]算法是1 種較為常見的多目標遺傳算法。

3 復雜管路系統(tǒng)的建模

3.1 卡箍模型

由于卡箍在整個管路系統(tǒng)中所占的質(zhì)量分數(shù)與體積分數(shù)較小，在分析計算時忽略卡箍的質(zhì)量與體積對管路系統(tǒng)帶來的影響，重點研究卡箍對調(diào)整管路系統(tǒng)剛度的作用。

在工程中使用的卡箍雖然種類繁多，但作用基本相似，主要是限制管路徑向位移。將卡箍簡化為彈簧單元，一端連接管路，與發(fā)動機連接的另一端全約束，對沿管路徑向的位移進行限制，如圖2 所示。

圖2 卡箍限制管路的2 個徑向位移

3.2 管路模型

發(fā)動機外部管路由直管、彎管、端口接頭等組成，管路兩端固定，其結(jié)構(gòu)如圖3 所示。與一般的直管優(yōu)化不同，該結(jié)構(gòu)的卡箍分布在圓柱曲面上，不僅需要考慮卡箍在直管上的直線移動，還需要考慮卡箍在彎管上的彎曲移動。

管路材料為1Cr18Ni9Ti 不銹鋼，密度為7.8 g/cm3，彈性模量為206 GPa，泊松比為0.31，管徑為8 mm，壁厚為1 mm，所受內(nèi)壓為21 MPa。

發(fā)動機管路結(jié)構(gòu)主要由2 段長度不同的直管與1 段圓弧彎管組成（圖3），L1為長直管，長2700 mm；L2為短直管，長1200 mm；L3為圓弧彎管，旋轉(zhuǎn)半徑為720 mm，旋轉(zhuǎn)角度為240°。

圖3 發(fā)動機外部管路結(jié)構(gòu)

3.3 原始卡箍位置分布

原始管路系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的卡箍分布如圖4 所示。從圖中可見，管路結(jié)構(gòu)中有23 個卡箍，依次編號為K1～K23，L1上卡箍數(shù)量為9 個（K1～K9），L2上卡箍數(shù)量為4 個（K10～K13），如圖4（a）所示；L3上卡箍數(shù)量為10個（K14～K23），如圖4（b）所示。每個局部坐標系代表1個卡箍所在的位置，卡箍徑向剛度為1×104N/mm。

圖4 在直管和彎管上卡箍的布局

3.4 原始管路結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性分析

在優(yōu)化計算中，若設(shè)發(fā)動機在某一試車工況下的工作頻率為100 Hz，根據(jù)式（1），對應的共振頻段為[80 Hz，130 Hz]。結(jié)構(gòu)受到的隨機振動功率譜密度見表1。功率譜采用標準中規(guī)定的機載設(shè)備譜，激勵沿如圖3 所示坐標系中的x方向加載在結(jié)構(gòu)整體上。

表1 結(jié)構(gòu)受到的隨機振動功率譜密度

對原管路結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析與隨機振動分析，前4 階固有頻率與x方向最大應力均方根見表2。

表2 原管路系統(tǒng)優(yōu)化前4 階固有頻率和應力均方根計算結(jié)果

從表2 中可見，結(jié)構(gòu)在優(yōu)化前x方向最大應力均方根響應為34.318 MPa，且第2、3、4 階固有頻率均處于共振區(qū)[80 Hz，130 Hz]之內(nèi)，有引發(fā)共振的風險，需要對卡箍位置進行優(yōu)化。

4 卡箍位置的參數(shù)化與靈敏度分析

4.1 卡箍的參數(shù)化建模

參數(shù)化設(shè)計可以修改原有的模型以使其達到新的目標狀態(tài)，便于在不同的設(shè)計參數(shù)下對結(jié)構(gòu)進行分析。在所研究的管路系統(tǒng)中，卡箍數(shù)量眾多，分布方式復雜，選取卡箍模型的安裝位置作為參考變量，可以隨時調(diào)整卡箍的位置參數(shù)，從而通過仿真計算評估不同的卡箍布局對于管路系統(tǒng)剛度的影響，對管路系統(tǒng)的動態(tài)響應特性做出預測，對多卡箍復雜管路系統(tǒng)的卡箍安裝提供指導。

4.2 卡箍位置的參數(shù)化

為了對結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計，首先需要將卡箍位置參數(shù)化，如圖5（a）所示。對于L1上的卡箍K1～K9，設(shè)L1左端約束處為參考零點，卡箍Ki到L1參考零點的距離為mi（i=1，2，…，9）；對于L2上的卡箍K10～K13，設(shè)L2右端起始處為參考零點，卡箍Ki到L2參考零點的距 離 為mi（i=10，11，12，13）；對 于L3上 的 卡 箍K14～K23，設(shè)L3與接頭連接處為參考零點，參考零點繞圓弧管路圓心旋轉(zhuǎn)到達卡箍Ki位置時所轉(zhuǎn)動的角度為θi，為了便于卡箍編號與位置參數(shù)對應，參數(shù)θi由i=14 開始計數(shù)（i=14，15，…，23），如圖5（b）所示。mi與θi即為表達卡箍位置的參數(shù)，當全部參數(shù)確定時，管路上有惟一1 種卡箍布局與之對應。

圖5 在直管和彎管上卡箍位置的參數(shù)化

4.3 卡箍位置參數(shù)靈敏度分析

設(shè)函數(shù)y=f（x），x為設(shè)計參數(shù)，當x=x0時增加Δx，設(shè)計響應變化為Δy，用來表述在x0附近x對y的敏感程度，往往設(shè)計響應同時與幾個設(shè)計參數(shù)有關(guān)，故用響應對該參數(shù)的偏導數(shù)來表述設(shè)計參數(shù)對設(shè)計響應的敏感程度。

由于發(fā)動機管路卡箍數(shù)量眾多，對所有卡箍進行位置優(yōu)化是復雜且效率極低的工作，需要選擇對優(yōu)化目標影響較大的卡箍來分析，因此在優(yōu)化前需要對參數(shù)進行靈敏度分析，挑選靈敏度較大的參數(shù)來進行控制與優(yōu)化，關(guān)于靈敏度的求解問題，文獻[3]中有詳細說明。

求解各參數(shù)對前4 階固有頻率以及x方向應力均方根的靈敏度，由于mi與θi的單位不同，為了對其靈敏度進行比較，依據(jù)歸一化公式（2）進一步求解各參數(shù)的歸一化靈敏度歸一化靈敏度表達函數(shù)相對增量與參數(shù)相對增量之比稱為相對靈敏度

相對靈敏度計算結(jié)果如圖6 所示。從圖中可見，挑選對前4 階固有頻率和應力均方根響應影響最大的卡箍位置參數(shù)，對第1～4 階固有頻率影響最大的參數(shù)分別為θ14、m13、m9、m10，對應力均方根響應影響最大的參數(shù)為θ21，著重對這5 個變量進行優(yōu)化設(shè)計。

圖6 卡箍對各參數(shù)的相對靈敏度分析

5 NSGA-II 算法下卡箍布局的適應度評估

卡箍布局的適應度由優(yōu)化的目標函數(shù)決定，根據(jù)指定的2 個優(yōu)化目標，優(yōu)化設(shè)計所設(shè)定的目標函數(shù)為

5.1 Pareto 非支配解集

為了對卡箍布局的適應度進行評估，首先對Pareto 非支配解集的概念進行說明。

對于最小化多目標問題，n為任意正整數(shù)。

為目標向量函數(shù)給定1 個變量

設(shè)該變量的約束條件為

根據(jù)多目標優(yōu)化問題的數(shù)學表達方式來看，最終要求的解是1 個設(shè)計變量組合，在滿足約束條件的前提下，使優(yōu)化目標達到最優(yōu)，但是由于在多目標優(yōu)化問題中，目標函數(shù)之間可能會有相互競爭的關(guān)系，所以最終只能得出相對較優(yōu)的方案。優(yōu)化得到的不是1個最優(yōu)解，而是一系列相對最優(yōu)解組成的解集，稱為Pareto 最優(yōu)解集或Pareto 非支配解集。

對于2 個向量Xu和Xv，當且僅當對于任意正整數(shù)w

有

且至少存在1 個正整數(shù)e

使得

則稱Xu支配Xv。

對于2 個向量Xu和Xv，當且僅當對于

使得

同時

使得

則稱Xu與Xv互不支配[12-13]。

非支配解集概念的提出，為多目標遺傳算法的個體優(yōu)劣評估提供了重要途徑，解決了多目標遺傳算法中適應度函數(shù)難以構(gòu)建的問題，也為卡箍不同的優(yōu)化方案的優(yōu)劣提供判斷依據(jù)。

5.2 適應度評估

在單目標遺傳算法中，基因信息被遺傳至子代個體的概率主要由適應度函數(shù)決定，然而在多目標優(yōu)化中，適應度函數(shù)的構(gòu)建比較困難，無法適當?shù)卦u估每個優(yōu)化目標，因此NSGA-II 定義了1 種比較運算符，用來對種群中的某2 個隨機選擇的個體進行優(yōu)劣評估，該運算符與以下2 個參數(shù)相關(guān)。

（1）無支配前沿分類。

NSGA-II 對整個種群進行排序，以種群中每個個體的無支配程度為評價標準，將擁有相同的無支配性的個體集合在一起成為1 個無支配前沿，從而將種群劃分為多個無支配前沿。

以約束條件式（3）為例，開始時將種群的第1 個卡箍布局解x1放入空集Y中，之后的每個卡箍布局xi都與Y中的每個解進行比較，若xi支配Y中的某一解，則將那個解從Y中移除；若xi被Y中的解支配，則忽略xi；若xi不被Y中的任何1 個解支配，則將xi留在Y中。當種群中所有卡箍布局都進行了比較之后，留在Y中的解即為非支配序號為1 的個體。將序號為1 的解移出種群，繼續(xù)上述操作，直到所有卡箍布局都獲得序號，這個序號可以用來初步辨別種群中個體的優(yōu)劣程度。

（2）密度估計值。

在無支配性排序之后為了讓個體之間的優(yōu)劣得到進一步區(qū)分，NSGA-II 采用的方法是計算出指定的某個個體相鄰的2 個個體目標函數(shù)之間的距離，用來判別種群在選定的個體位置附近的密集程度，也稱為擁擠度。在指定個體附近種群的分布越稀疏，則對于種群的多樣性越有利，該方法稱為密度估計法（如圖7 所示），在搜索過程中可兼顧種群的多樣性。

圖7 密度估計值

卡箍布局解i的密度估計值為

式中：P[i+1]·fk為第i+1 個卡箍布局解對應的第k個目標函數(shù)值。

每個卡箍布局對應的最終適應度可以由上述2種方法得到的數(shù)值相結(jié)合而得出，評價準則為：（1）在2 個解處于不同的無支配前沿的情況下，認為無支配程度序號低的卡箍布局解適應度更高；（2）在2 個解處于同一無支配前沿的情況下，認為密度估計值較大的卡箍布局解適應度更高。

6 基于NSGA-II 算法的卡箍布局優(yōu)化流程

6.1 編碼

遺傳算法首先需要編碼，其意義是將優(yōu)化問題中的變量參數(shù)化，即將卡箍的布局轉(zhuǎn)化為遺傳算法所能搜索的參數(shù)形式，飛機液壓管路系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計變量卡箍布局的變化具有連續(xù)性，所以液壓管路系統(tǒng)卡箍的優(yōu)化設(shè)計采用浮點數(shù)編碼方式，卡箍的位置由矩陣來表示，矩陣第1 行表示卡箍的編號，由1～n，之后的幾行分別表示各卡箍需要優(yōu)化的參數(shù)。本次優(yōu)化只考慮卡箍的布局，所以只對卡箍的布局進行編碼?？ü康牟季钟孟蛄縇={l1，l2，l3，…，ln}來表述，則卡箍在優(yōu)化中的編碼為

6.2 初始種群生成

進化操作的第1 步是要生成1 個由若干初始解組成的初始種群，在工程中面對的優(yōu)化問題大多是擁有復雜結(jié)構(gòu)和多參數(shù)的，一般很難對解空間擁有先驗知識，所以初始種群中的個體以隨機方式產(chǎn)生，種群內(nèi)的個體數(shù)需要在計算前設(shè)置，設(shè)每代的個體數(shù)為D，設(shè)置D=12。

6.3 適應度評估與選擇

依據(jù)第5.2 節(jié)對所有初始解進行無支配前沿分類和密度估計值計算。根據(jù)求得的非支配序號和密度估計值對解進行篩選，其準則為：（1）在2 個卡箍布局解處于不同的無支配前沿的情況下，選擇無支配序號低的解；（2）在2 個卡箍布局解處于同一無支配前沿的情況下，選擇密度估計值較大的解。被選擇的解會被放入“交配池”。

6.4 交叉操作

NSGA-Ⅱ算法每次從“交配池”中隨機選擇2 個個體，對應不同的2 種卡箍布局S1和S2，采用交叉算子，產(chǎn)生2 個新的子代S1’和S2’。對于第i個變量，其交叉過程如下：

（1）隨機產(chǎn)生1 個數(shù)字uc，i∈[0，1]。

（2）通過多項式概率分布計算參數(shù)ξi，控制父子2代相接近的概率

式中：非負參數(shù)ηc為交叉分布指數(shù)，ηc的大小表示子代與父代之間的距離，參數(shù)越大表明二者越接近，參數(shù)越小表明二者越疏遠。

（3）交叉產(chǎn)生子代的計算式為

6.5 變異操作

NSGA-Ⅱ算法會在某個卡箍布局解S1的臨近位置產(chǎn)生變異后的布局解S2。對于第i個變量其變異的過程如下：

（1）隨機產(chǎn)生1 個數(shù)字um，i∈[0，1]。

（2）計算參數(shù)δi

（3）變異子代的計算式為

6.6 循環(huán)

在經(jīng)過選擇、交叉、變異的操作之后，形成新一代的12 個卡箍布局解重新進行適應度評估，循環(huán)計算直至達到設(shè)定的計算代數(shù)，本文設(shè)置的代數(shù)為20。

7 卡箍位置優(yōu)化設(shè)計

根據(jù)靈敏度計算結(jié)果，選擇出需要進行優(yōu)化的5 個卡箍位置參數(shù)，其取值范圍見表3。

表3 參數(shù)取值范圍

優(yōu)化要求前4 階固有頻率最大限度遠離共振區(qū)[80 Hz，130 Hz]，并使隨機激勵下的應力均方根最大值盡可能減小。

采用多目標遺傳算法進行優(yōu)化計算，設(shè)置遺傳代數(shù)Q=20，每代的種群數(shù)D=12，交叉分布指數(shù)ηc=10，變異分布指數(shù)ηm=20，優(yōu)化計算主要流程如圖8 所示[14-15]。

圖8 優(yōu)化計算主要流程

計算結(jié)束后，從最后一代的12 個卡箍布局解中挑選出所有無支配序號為1 的解，并從中選擇密度估計值最大的3 個結(jié)果，3 種優(yōu)化方案與優(yōu)化前結(jié)構(gòu)固有頻率對比如圖9所示，優(yōu)化結(jié)果見表4。

圖9 優(yōu)化前、后結(jié)構(gòu)固有頻率對比

從圖中可見，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)固有頻率都離開了共振區(qū)[80 Hz，130 Hz]，實現(xiàn)了頻率調(diào)節(jié)的目標，可以有效避免結(jié)構(gòu)因發(fā)動機工作而引發(fā)共振，而且卡箍位置優(yōu)化后，管路結(jié)構(gòu)的x方向最大應力均方根響應與優(yōu)化前的34.318 MPa 相比也有不同程度降低（至少降低17.3%）。

表4 優(yōu)化結(jié)果

結(jié)合表4、圖9 對3 種優(yōu)化方案進行進一步對比分析，發(fā)現(xiàn)優(yōu)化1 使得結(jié)構(gòu)的固有頻率最大限度地遠離了共振區(qū)，但并沒有最大限度地減小結(jié)構(gòu)的x方向最大應力均方根；優(yōu)化2 對應最小的應力均方根，但共振頻段偏離程度不如其他2 個優(yōu)化方案的，可能造成某個頻率的諧響應劣于其他2 個優(yōu)化方案的；優(yōu)化3 的頻率調(diào)節(jié)和減小最大應力均方根的效果介于二者之間。

8 結(jié)論

本文對發(fā)送機外部3 維復雜管路系統(tǒng)的卡箍布局進行了優(yōu)化設(shè)計，得到如下結(jié)論：

（1）對于復雜管路多卡箍優(yōu)化問題，某些卡箍對結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性擁有更顯著的影響，在優(yōu)化計算前進行靈敏度分析可以提高優(yōu)化設(shè)計的效率。

（2）采用的多階固有頻率調(diào)節(jié)優(yōu)化適用于任意頻段的外界激勵，可以保證多階固有頻率遠離激勵頻段。

（3）引入轉(zhuǎn)動角度作為參考變量，將傳統(tǒng)的直管卡箍位置優(yōu)化擴展到彎管上，實現(xiàn)了發(fā)動機曲面上的復雜管路系統(tǒng)的多卡箍位置優(yōu)化。