談?wù)劻Ⅲw幾何位置關(guān)系證明問題中的通性通法

◇ 廣東 孫仕兵

立體幾何位置關(guān)系的證明是高考必考的考點,主要是“空間平行問題”和“空間垂直問題”的證明,而且這部分證明問題有時不能用空間向量來求解(因為能建系的條件一般都是為了求空間角附加的),即使能用空間向量求解,也需要進行邏輯推理.這樣設(shè)置問題的目的是很明確的,即通過傳統(tǒng)方法證明位置關(guān)系來考查相應(yīng)知識點的掌握情況和直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).下面主要從通性通法的宏觀和微觀層面分析兩種位置關(guān)系的證明.

1 從通性通法的宏觀層面分析

通常從宏觀上看,求解方法包括空間問題平面化和平面問題空間化.具體地說是兩個框圖(如圖1).

圖1

以“空間平行問題”為例,空間平行問題體現(xiàn)的是“直線與直線平行”“直線與平面平行”“平面與平面平行”三者之間相互轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化的依據(jù)就是相關(guān)的“判定定理”“性質(zhì)定理”及“性質(zhì)”,核心思想是“轉(zhuǎn)化思想”.同時需要明確的是每類位置關(guān)系的判定中,重點是“直線與平面平行”和“直線與平面垂直”.下面從微觀層面,僅以“空間平行問題”為例進行歸納和舉例分析.

2 從通性通法的微觀層面分析

2.1 直線與直線平行

2.2 直線與平面平行

2.3 平面與平面平行

3 應(yīng)用舉例

例1已知:a∥α,a∥β,α∩β＝b.求證:a∥b.

圖2

分析要證明a∥b,只需在兩個平面中選擇一個平面,作直線c,使得a∥c,且c∥b.

根據(jù)a∥α,先作平面γ,使γ∩α＝c,進而得a∥c,下面關(guān)鍵在于如何證明c∥b,由已知及直線與平面平行的性質(zhì)定理易知,只需證明c∥β,這樣在平面β內(nèi)必須找出一條直線d,使得c∥d,余下的就是如何作直線d了,由a∥β易知,經(jīng)過直線a作平面φ,使得φ∩β＝d即可.

證明如圖3,過直線a作平面γ和平面φ,使得γ∩α＝c,φ∩β＝d.

圖3

從通性通法的角度講,解答例1的關(guān)鍵因素是為了尋求“平行”,作了兩條“交線”,即將平行相關(guān)的定理和性質(zhì)融合在一起運用.空間平行問題,雖然分成三類,即直線與直線平行、直線與平面平行和平面與平面平行,但這三類不是孤立存在于解決問題的過程中,不難看出,在立體幾何中證明直線與直線平行,除了“平行公理”,其他的轉(zhuǎn)化依據(jù)都是直線與平面平行、直線與平面垂直及平面與平面平行的性質(zhì)定理.還需要強調(diào)的是任何數(shù)學(xué)證明問題,從通性通法的角度看,解題的關(guān)鍵是從“結(jié)論”切入,然后按邏輯逐步進行分析,這樣才能明確“為什么這么證明”,這種習(xí)慣的養(yǎng)成對核心素養(yǎng)中“邏輯推理”水平的提升起著至關(guān)重要的作用.

與空間平行有關(guān)問題的證明中,難點是運用“直線與平面平行的判定定理”來證明直線與平面平行.因為要證明直線與平面平行,只需證明平面外的直線a與平面內(nèi)的直線b平行,但問題中,往往并沒有直接給出直線b,所以需要我們?nèi)プ鬟@條直線.

例2如圖4所示,S是平行四邊形ABCD平面外一點,M,N分別是SA,BD上的點,且求證:MN∥平面SDC.

圖4

分析要證明MN∥平面SDC,只需證明直線MN與平面SDC內(nèi)一條直線平行,從已知圖形中可以發(fā)現(xiàn)直線MN所在的平面AMN與平面SDC有一個公共點S,同時不難發(fā)現(xiàn)在平面AMN內(nèi)還有一條直線AN與平面SDC有公共點,也就是連接AN并延長,交DC于T,再連接ST,則直線ST就是我們要作的“交線”!余下的就是要考慮如何證明直線MN平行于直線ST.通過已知條件中的比例線段,易推出兩直線平行,證明部分略.

例3(2019年全國卷Ⅰ理18,節(jié)選)如圖5所示,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1＝4,AB＝2,∠BAD＝60°,E,M,N 分別是BC,BB1,A1D的中點.證明:MN∥平面C1DE.

圖5

分析要證明MN∥平面C1DE,只需證明直線MN與平面C1DE內(nèi)的一條直線平行,因為直線MN所在的平面A1MN與平面C1DE有公共點D,所以考慮延長A1M,看看是否能找到直線A1M與平面C1DE的公共點,即兩個平面的另一個公共點.延長A1M交AB的延長線于點P,根據(jù)已知中的條件“E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點”,不難推出D,E,P三點共線,進而得出我們要作的交線就是直線DP(如圖6).但仔細(xì)觀察圖形不難發(fā)現(xiàn),圖中的直線DE就是直線DP,進而我們發(fā)現(xiàn)了直線DE就是交線,但不作輔助線能否發(fā)現(xiàn)“直線DE就是交線”呢?其實發(fā)現(xiàn)的難度比較大(也可以說是思路的形成過程不是那么自然),因為只有發(fā)現(xiàn)了D,E,M,N四點共面才能確定直線DE就是我們要找的“交線”,只有連接了ME及B1C,再通過平行轉(zhuǎn)化才能發(fā)現(xiàn).所以這道題目中輔助線的作法,可以按如下方式去體現(xiàn)思維形成過程.

圖6

按延長A1M方式作輔助線,很自然,應(yīng)該提倡,但證明過程略有難度,因為要證“三點共線”,按“連接”方式作輔助線,雖然圖形更加簡潔,證明難度小,但分析思路有難度(較難發(fā)現(xiàn)DE就是我們要找的“交線”).鑒于以上兩種方法的各自優(yōu)點和缺點,還是提倡在演算紙上,先用第一種方式作完輔助線,在思考后才有可能發(fā)現(xiàn)第二種作法更簡捷,進而正式答卷時用第二種輔助線的作法.

通過以上例題不難發(fā)現(xiàn),立體幾何中位置關(guān)系證明的難點是用判定定理證明“直線與平面平行”,因為在運用定理過程中,平面內(nèi)的直線是隱藏著的,所以需要我們通過觀察、分析挖掘這個隱藏著的直線.突破這個難點的通性通法就是“作交線”或“找交線”.

“提倡運用通性通法,建議淡化特技”是歷年高考備考中反復(fù)倡導(dǎo)的理念,研究歷年的高考真題也不難發(fā)現(xiàn)高考命題也是按照這種理念來命題的,所以在高考備考中,同樣要注重運用“通性通法”解決問題,只有這樣才能提高備考的質(zhì)量,也符合目前的高考要求(即重點考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)),從而避免陷入題海的深淵.