淺談與球有關(guān)的難點(diǎn)問題突破

◇ 吉林 齊威娜

在高中教材中,與球有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)不多,僅涉及球的性質(zhì)、表面積公式及體積公式,但在高考和競賽中出現(xiàn)的球的問題都比較難,其主要原因是條件隱蔽、綜合性強(qiáng),對(duì)考生空間想象能力的要求較高.下面僅從三個(gè)角度,談?wù)勅绾瓮黄破潆y點(diǎn).

1 從局部看整體

例1若三棱錐S-ABC的外接球半徑為R,且其三條側(cè)棱SA,SB,SC兩兩垂直,則SA2＋SB2＋SC2＝________.

分析觀察其解題目標(biāo)SA2＋SB2＋SC2的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),即由“三條側(cè)棱的平方和”可以聯(lián)想到以三條側(cè)棱為棱長的長方體的對(duì)角線的平方,而已知這三條側(cè)棱兩兩垂直,進(jìn)而可從“側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐”為長方體的局部看到其整體,難點(diǎn)得到突破.答案為4R2.

圖1

由于解題目標(biāo)的特殊性,本題突破難點(diǎn)的方式有些特別,更具一般性的突破方式是從“三條側(cè)棱兩兩垂直”切入,聯(lián)想到相應(yīng)的長方體.比如,“已知一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,且側(cè)棱長為1,2,3,求其外接球半徑”,這種問題只能從“側(cè)棱兩兩垂直”聯(lián)想到相應(yīng)的長方體.對(duì)這種信息特征反應(yīng)的敏感度來自日常積累的“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”.當(dāng)然,我們也可以說是先研究一個(gè)長方體,從中截取如圖1的局部幾何體,會(huì)得到側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐.進(jìn)而可以得到另一種“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”,即看到“側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐的外接球問題,就聯(lián)想到把它恢復(fù)為長方體以后的外接球問題”.

例2在四面體ABCD中,已知AB＝CD＝,AC＝BD＝2,AD＝BC＝3,則這個(gè)四面體的外接球表面積為________.

圖2

分析根據(jù)例1提到的通過觀察長方體的局部得到一種“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”,即“長方體兩個(gè)相對(duì)的面中,各找一條對(duì)角線,使之互相異面(比如AC與BD),就可以以它們的四個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成‘對(duì)棱分別相等的’四面體ABCD”,也就是看到對(duì)棱分別相等的四面體外接球問題時(shí),我們會(huì)聯(lián)想到與之相關(guān)的長方體的外接球,進(jìn)而難點(diǎn)得到突破的.這種難點(diǎn)突破途徑是依據(jù)“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”,那么如何從四面體切入尋求難點(diǎn)突破的方式呢?根據(jù)四面體的“對(duì)棱分別相等”這個(gè)條件,我們可以進(jìn)行“補(bǔ)形”的過程(如圖3),同樣可以把“局部”(四面體)轉(zhuǎn)化為“整體”(長方體).根據(jù)AC＝BD＝2,取兩條棱的中點(diǎn),作對(duì)棱的平行線,就可以構(gòu)成如圖3所示的兩個(gè)矩形(所在的兩個(gè)平面平行),然后得到的兩個(gè)矩形的八個(gè)頂點(diǎn),這就形成我們要得到的長方體,但這種思維方式比起前面提到的方法更難一些.

圖3

解設(shè)長方體的長、寬、高分別為x,y,z,則根據(jù)題設(shè),可得如下的三個(gè)等式:22,x2＋z2＝32,三個(gè)等式相加得x2＋y2＋z2＝10,所以此四面體的外接球表面積為10π.

2 從整體看局部

在上文中,已經(jīng)展示了“從整體看局部”突破難點(diǎn)的方法,其原因是“割補(bǔ)思想方法”中,“割”與“補(bǔ)”是互逆的思維方式,自然就可以從“分析”和“綜合”兩種突破難點(diǎn)的方式解決與球相關(guān)的問題.但除此之外,關(guān)于球的另外一些組合體問題也需要研究突破難點(diǎn)的方法.這類問題的難點(diǎn)就是問題中不提供圖形,即使提供圖形,也很難從原圖中直接找出突破難點(diǎn)的方法,所以需要依靠空間想象發(fā)現(xiàn)球的組合體的本質(zhì)特征,再通過畫出能解決問題的局部圖形來突破難點(diǎn).

例3側(cè)棱長為3,底面邊長為2的正三棱錐的外接球半徑R＝________,其內(nèi)切球半徑r＝________.

分析圖4中的幾何體是求外接球半徑的局部圖形,從中又可以簡化出右側(cè)的平面圖形,其中AB是其外接球的直徑,O是球心,E底面的中心,易知AC⊥BC,CE⊥AB,進(jìn)而得出CE2＝AE·EB,其中解得R＝.

圖4

由于有前面的鋪墊,求內(nèi)切球半徑可以用“等體積法”去求得.

下面再通過轉(zhuǎn)化為“等效局部圖形”的方法求其內(nèi)切球半徑.從圖5右側(cè)的平面圖形中,不難看出點(diǎn)E,H是球的切點(diǎn),P是內(nèi)切球的球心,通過相似三角形的性質(zhì),可得,解得

圖5

對(duì)于解決正三棱錐的外接球、內(nèi)切球半徑問題,體現(xiàn)了“空間問題平面化”的立體幾何中的轉(zhuǎn)化思想,這種轉(zhuǎn)化也起到了突破難點(diǎn)的作用.但正四面體作為特殊的正三棱錐,我們要掌握其性質(zhì),這樣在解決有關(guān)正四面體的問題時(shí),就可以不用作出幾何圖形了.

比如,正四面體的外接球和內(nèi)切球的球心是重合的,同時(shí)球心將高四等分,其中外接球半徑為高的內(nèi)切球半徑為高的,且棱長為a的正四面體的高為

例4將6個(gè)半徑為r的球中的5個(gè)球放入由一個(gè)半徑大于2r的球面和這個(gè)球的內(nèi)接正四面體的四個(gè)面分割成的五個(gè)空間內(nèi),且此正四面體的棱長為,另一個(gè)球放入棱長為x的正八面體內(nèi),當(dāng)r取得最大值時(shí),x的最小值為________.

分析此題考查正四面體、正八面體和球的性質(zhì)以及空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想.

根據(jù)題設(shè)可知,當(dāng)小球的半徑r取得最大值時(shí),恰好一個(gè)小球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球,其他四個(gè)小球中每個(gè)小球分別切于球面和正四面體底面中心,同時(shí)x最小時(shí),這個(gè)小球恰好是正八面體的內(nèi)切球.

根據(jù)正四面體的性質(zhì)(中心將高四等分,其中內(nèi)切球半徑為高的),所以r取得最大值時(shí)

如圖6所示,在正八面體中的Rt△AOB中,根據(jù)直角三角形中的等面積法可以得到OH·AB＝OA·OB,即,解得x＝,所以x的最小值為.

圖6

由于題設(shè)中給出取得最值時(shí),第一個(gè)圖形是五個(gè)球與正四面體的組合體,其等效簡圖也比較難畫,所以只能根據(jù)正四面體的性質(zhì),依靠空間想象求出r的最大值.而含內(nèi)切球的正八面體的整體圖形比較難畫,所以只需要繪制其簡圖.

3 從局部看整體和再從整體看另一種局部

求外接球球心的位置,需要將多面體轉(zhuǎn)化為能容易判斷其外接球球心位置的幾何體,再把這個(gè)幾何體轉(zhuǎn)化為能解決問題的等效的簡易圖形.

例5在三棱錐S-ABC中,SA⊥平面ABC,若SA＝AB＝AC＝2,BC＝23,則此三棱錐的外接球半徑R＝________.

分析根據(jù)已知條件,可以判斷這個(gè)三棱錐的底面是鈍角三角形,所以不能轉(zhuǎn)化為長方體的外接球問題,但三棱錐側(cè)棱垂直于底面,所以可以“補(bǔ)”為直三棱柱的外接球問題,但這個(gè)三棱柱的底面是鈍角三角形,球心在棱柱外部,進(jìn)而再把柱體轉(zhuǎn)化為平面圖形.

圖7

圖7中P,Q分別為三棱柱上、下底面的外接圓的圓心,O為外接球的球心,根據(jù)已知條件及余弦定理和正弦定理知解得AQ＝2,所以

通過這個(gè)例題可以發(fā)現(xiàn),關(guān)于四面體的外接球問題,從更具一般性的角度去分析,突破難點(diǎn)的方式就是將問題轉(zhuǎn)化為棱柱的外接球問題.

以上三種突破難點(diǎn)的方法,本質(zhì)上是兩種,第三種屬于前兩種的融合,不管用哪種方法突破難點(diǎn),我們最后突破難點(diǎn)的結(jié)果是明確了球心的位置.需要強(qiáng)調(diào)的是以上三種突破難點(diǎn)的方式體現(xiàn)了立體幾何中重要的一種數(shù)學(xué)思想和方法,即“割補(bǔ)法”,也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“直觀想象”和“邏輯推理”及四基“基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”.