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      突出坐標(biāo)法培養(yǎng)遷移拓展能力

      2021-01-10 20:13:34劉欣欣
      高考·上 2021年11期
      關(guān)鍵詞:考試題中點(diǎn)定值

      劉欣欣

      摘 要:從教材中的例題練習(xí)遷移到高考題是復(fù)雜的思維進(jìn)階的過(guò)程,對(duì)思維、能力都有很高的要求,教師一定要花費(fèi)時(shí)間去研究高考試題和教材的暗線聯(lián)系。這樣在復(fù)習(xí)備考時(shí)才能有的放矢,運(yùn)用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段和自身對(duì)高考、對(duì)教材的理解,逐步培養(yǎng)學(xué)生在問(wèn)題中進(jìn)行信息提取、歸納、反思的能力,引導(dǎo)學(xué)生去進(jìn)行問(wèn)題的遷移拓展,從而提高學(xué)生獨(dú)立思考和解決問(wèn)題的能力,達(dá)到鍛煉思維層次的目的。

      關(guān)鍵詞:遷移拓展;坐標(biāo)法

      一、從教材中尋找高考的母體進(jìn)行遷移

      以人教A版選修2-1教材41頁(yè)例題3為母題進(jìn)行分析與遷移,由教材問(wèn)題逐漸向高考試題遷移變式,讀者可以去體會(huì)整個(gè)過(guò)程中坐標(biāo)法的重要性。

      題目:如圖1,設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-5,0)(5,0)。直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是,求點(diǎn)M的軌跡方程。

      分析:利用坐標(biāo)法,由已知得,化簡(jiǎn)得點(diǎn)M的軌跡方程為。

      試題評(píng)述:人教A版2-1教材中類(lèi)似問(wèn)題設(shè)置了一道例題四道練習(xí)題:42頁(yè)練習(xí)題第4題,74頁(yè)習(xí)題2.4B組第3題,80頁(yè)復(fù)習(xí)參考題A組第10題,81頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組第5題,這幾道題目非常相似,分別從動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)連線斜率的和、差、積、商為定值來(lái)研究動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,重在讓學(xué)生體會(huì)坐標(biāo)法求軌跡方程的應(yīng)用,這道例題解完后如果我們?cè)偕宰魉伎际欠駮?huì)有這樣的疑問(wèn)和猜想:若已知點(diǎn)A,B是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)M是橢圓上的異于A,B的任意一點(diǎn),可不可以得到AM,BM的斜率之積為定值呢?

      下面我們進(jìn)行遷移拓展提出問(wèn)題1:如圖2,已知橢圓方程為,點(diǎn)A,B是長(zhǎng)軸的兩個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)M是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),求證:直線AM,BM的斜率之積為定值。

      證明:設(shè)M(x0,y0)

      又得:所以直線AM,BM的斜率之積為定值。通過(guò)問(wèn)題1我們不難觀察到A,B是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的,那么我們繼續(xù)遷移拓展提出問(wèn)題2:

      如圖3,已知橢圓方程為,直線l過(guò)橢圓的中心O交橢圓于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),求證:直線AM,BM的斜率之積為定值。

      證明:因?yàn)锳,B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可以設(shè)

      得:所以直線AM,BM的斜率之積為定值。

      我們還發(fā)現(xiàn)O是線段AB的中點(diǎn),于是我們可以繼續(xù)遷移拓展提出問(wèn)題3:

      如圖,已知橢圓方程為,直線l過(guò)橢圓的中心O交橢圓于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),點(diǎn)N是線段BM的中點(diǎn),求證:直線ON,BM的斜率之積為定值。

      證明:如圖4,由問(wèn)題2的證明過(guò)程可知:直線AM,BM的斜率之積為定值,又因?yàn)镺,N分別為線段AM,BM的中點(diǎn),所以,所以直線ON,BM的斜率之積也為定值。我們還可以弱化問(wèn)題3的條件繼續(xù)遷移拓展提出問(wèn)題4:

      如圖,已知橢圓方程為,直線l與橢圓交于點(diǎn)M,B是兩點(diǎn),點(diǎn)N是線段BM的中點(diǎn),求證:直線ON,BM的斜率之積為定值。

      證明:如圖5,連接BO并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A,再連接MA,由問(wèn)題2的證明過(guò)程可知:直線AM,BM的斜率之積為定值,又因?yàn)镺,N分別為線段AB,MB的中點(diǎn),所以O(shè)N//AM,所以直線ON,BM的斜率之積也為定值。對(duì)于問(wèn)題3我們還可以遷移得出:同理取線段MA的中點(diǎn)P連接OP,延長(zhǎng)OP,ON分別與橢圓相交形成過(guò)中心的兩條弦,這里兩條弦所在的直線斜率之積為定值,這兩條弦稱(chēng)為橢圓的共軛直徑。

      二、高考試題重現(xiàn)感受坐標(biāo)法帶來(lái)的遷移變化

      關(guān)于以上的遷移拓展下的結(jié)論在高考試題中出現(xiàn)的頻率是比較高的,筆者查閱了近十年的全國(guó)各地高考試題,其中2010年上海卷,2011年湖北卷,2012年天津卷,2015年新課標(biāo)全國(guó)2卷都對(duì)上面的遷移內(nèi)容有過(guò)考查,下面我們以2015年新課標(biāo)全國(guó)2卷文史類(lèi)第20題為例體會(huì)一下:

      題目:已知橢圓的離心率為,點(diǎn)在C上。Ⅰ求橢圓C的方程;Ⅱ直線l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段AB中點(diǎn)為M,證明:直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值。

      解析:本題的第一問(wèn)屬于基礎(chǔ)題目,目的是讓學(xué)生容易登上第一個(gè)臺(tái)階,順利過(guò)渡到第二問(wèn),第二問(wèn)是中點(diǎn)弦問(wèn)題常規(guī)的處理方式,主要有“點(diǎn)差法”或者“韋達(dá)定理法”求解,設(shè)A,B坐標(biāo)代入橢圓方程作差出現(xiàn)弦AB的中點(diǎn)和直線l的斜率;還可以設(shè)直線l的方程和橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理求弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo),并尋找兩條直線的斜率關(guān)系。

      解:Ⅰ略。Ⅱ解法:如圖6,連接BO并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)C,再連接CA,因?yàn)镃,B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)可以設(shè)

      得:,所以直線AC的斜率與直線l的斜率之積為定值。又因?yàn)镺,M分別為線段BC,AB的中點(diǎn),所以O(shè)M//AC,所以直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值。

      結(jié)束語(yǔ)

      本文至此不難體會(huì)到整個(gè)遷移拓展的過(guò)程中坐標(biāo)法的突出作用,坐標(biāo)法作為解析幾何通性通法中的重要方法,在處理諸如軌跡問(wèn)題、直線與曲線位置關(guān)系、定值定點(diǎn)、最值、取值范圍等問(wèn)題中有著重要意義。本文所研究的問(wèn)題取材于教材,立足于數(shù)學(xué)思維的提升,最后劍指高考。整個(gè)分析過(guò)程充分體現(xiàn)了解析幾何的基本思維方式即數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化,如果教師能將教材中類(lèi)似問(wèn)題深入挖掘,適當(dāng)遷移拓展,這對(duì)學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)是非常有效的鍛煉思維的方式,也能讓學(xué)生更加接近高考試題,對(duì)學(xué)習(xí)者的核心素養(yǎng)提高也是有很大幫助的。

      參考文獻(xiàn)

      [1]劉新偉.圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)、定線問(wèn)題[J].高中數(shù)理化,2019.

      [2]顧劍鋒.淺談遷移理論在圓錐曲線教學(xué)中的應(yīng)用[J].讀與寫(xiě)(教育教學(xué)刊),2011.

      [3]王申懷.人教A版選修2-1教材[M].北京:人民教育出版社,2007.

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