二維抽樣定理的Matlab仿真驗(yàn)證

摘要：給出一個(gè)二維帶限函數(shù)，依據(jù)抽樣定理設(shè)計(jì)合適的抽樣間隔，在頻域進(jìn)行濾波，再通過(guò)傅里葉逆變換復(fù)原原函數(shù)，驗(yàn)證了二維抽樣定理的正確性，也可靈活改變參數(shù)，驗(yàn)證欠采樣和頻譜混疊等現(xiàn)象，有助于深入理解抽樣定理。

關(guān)鍵詞：帶限函數(shù)，抽樣間隔，抽樣定理

1引言

在工程實(shí)際中，為了對(duì)信號(hào)有效傳輸和處理，往往要將連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣離散化，以便計(jì)算機(jī)分析處理?！俺闃印奔磳?duì)時(shí)間連續(xù)的信號(hào)按一定時(shí)間間隔抽取一個(gè)瞬時(shí)值，實(shí)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)的離散化，僅從數(shù)學(xué)上描述顯得有些抽象。因此，本文利用Matlab作為分析工具，通過(guò)其作圖功能對(duì)原始信號(hào)，抽樣后信號(hào)、信號(hào)頻譜，復(fù)原信號(hào)等分別繪制，以便更直觀的理解抽樣定理的內(nèi)涵及信號(hào)恢復(fù)的實(shí)現(xiàn)過(guò)程。

2抽樣定理

Nyquist-Shannon抽樣定理建立了模擬和數(shù)字信號(hào)之間的密切關(guān)聯(lián)。該定理指出，對(duì)于能量有限的帶限信號(hào)，要在數(shù)據(jù)接收端實(shí)現(xiàn)信號(hào)的無(wú)失真恢復(fù)，采樣頻率 必須不小于信號(hào)帶寬 的兩倍，即 。這里要求原始信號(hào)必須是帶限信號(hào)，這樣對(duì)其進(jìn)行抽樣后，在頻域上對(duì)應(yīng)的抽樣信號(hào)頻譜為原帶限信號(hào)頻譜的周期延拓，通過(guò)低通濾波就可以保留其中一個(gè)周期信號(hào)，也就保留了信號(hào)的頻域特征。通過(guò)該定理的使用，可以將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)，對(duì)其進(jìn)行恰當(dāng)?shù)奶幚砗螅侔烟幚砗蟮臄?shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為原來(lái)的模擬信號(hào)。

3仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證抽樣定理，我們考慮二維帶限函數(shù) ，在矩形格點(diǎn)上進(jìn)行抽樣，則抽樣函數(shù)定義為：

其中comb為梳狀函數(shù)，由δ函數(shù)陣給出，X，Y是δ在x方向和y方向上的間隔。

由（1）式可得 的頻譜表示為：

其中u，v為頻域坐標(biāo)，分別對(duì)應(yīng)于空域x，y坐標(biāo)。符號(hào) 為卷積，F(xiàn)表示傅里葉變換。

假設(shè)函數(shù) 是帶限函數(shù)，如圖1所示，其頻譜 只在頻率空間 的有限區(qū)域R上不為零。該函數(shù)被抽樣后，抽樣函數(shù)的頻譜不為零的區(qū)域根據(jù)（2）式，可由在頻率平面的每一個(gè) 點(diǎn)的周?chē)鷦澇鯮區(qū)域得到。如果X和Y足夠小，則1/X和1/Y的間隔就會(huì)足夠大，以保證相鄰區(qū)域不重疊。 的頻譜如圖2所示。

由抽樣定理，令 和 分別表示完全圍住區(qū)域R的最小矩形沿u和v方向上的寬度，則當(dāng) ， 時(shí)，可保證頻譜區(qū)域分開(kāi)而不混疊，原函數(shù)可恢復(fù)。

以下仿真中，我們將選擇一個(gè)帶限函數(shù) 進(jìn)行適當(dāng)采樣間隔的抽樣，在頻域觀察抽樣函數(shù)的頻譜 ，并選擇濾波器對(duì)頻譜完成濾波和傅里葉逆變換，從而復(fù)原出原信號(hào) ，以驗(yàn)證抽樣定理。

仿真利用matlab編寫(xiě)m文件實(shí)現(xiàn)，使用peaks函數(shù)生成一個(gè)二維帶限函數(shù)作為這里的 ，其數(shù)學(xué)表達(dá)式形式記為： ? ，該函數(shù)的空域顯示如圖3，其頻譜3D效果如圖4，為了更好的觀察原連續(xù)函數(shù)的帶寬，對(duì)圖4的3D頻譜可以畫(huà)出沿u，v方向的兩條中心剖線，圖5給出沿u方向的中心剖線。

沿u方向中心剖線

根據(jù) 的兩條中心剖線可以看出，所選帶限函數(shù)的沿u，v方向帶寬都小于64個(gè)像素，由于圖像大小為256*256，根據(jù)抽樣定理和圖5知，重構(gòu)原函數(shù)的條件是抽樣間隔至少滿足Y=256/64=4個(gè)像素，因此這里可選擇X=Y=4。仿真得到原函數(shù)被抽樣后的3D效果的頻譜分布如圖6所示。

因此，由圖6可知，如果在頻域中用寬度為 和 的位于原點(diǎn)的矩形函數(shù)作為濾波函數(shù) ，則可直接得到原函數(shù)的頻譜，逆傅里葉變換后即得到基本沒(méi)有失真的原帶限函數(shù)。故選擇頻域中寬度為64*64的位于原點(diǎn)的矩形函數(shù)作為濾波函數(shù)。 經(jīng)過(guò)濾波后再逆變換，得到如圖7所示的復(fù)原函數(shù)?？梢?jiàn)，以上仿真以抽樣定理為依據(jù)，通過(guò)選擇合適的抽樣間隔和濾波函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了原函數(shù)的復(fù)原，驗(yàn)證了二維抽樣定理。

4結(jié)論

本文對(duì)“抽樣“和“抽樣間隔”進(jìn)行了理論描述，對(duì)抽樣信號(hào)的頻譜進(jìn)行了基本的推導(dǎo)和分析。利用Matlab編寫(xiě)m文件，選擇一個(gè)二維帶限函數(shù)，分析其帶寬，選擇了合適的二維梳狀抽樣函數(shù)間隔，對(duì)原函數(shù)進(jìn)行二維點(diǎn)陣抽樣，得到函數(shù)的頻譜，之后對(duì)頻域的頻譜進(jìn)行濾波后，使用傅里葉逆變換得到原函數(shù)的正確復(fù)原函數(shù)。仿真過(guò)程模擬了對(duì)函數(shù)進(jìn)行抽樣和濾波的過(guò)程，驗(yàn)證了抽樣定理應(yīng)用于二維帶限函數(shù)的正確性，有助于更好的理解抽樣定理的內(nèi)涵及外延。同時(shí)程序中可以靈活改變?cè)瘮?shù)和抽樣間隔等參數(shù)，很容易進(jìn)一步分析欠采樣和混頻現(xiàn)象。

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作者簡(jiǎn)介

吳云飛（1980—），女，重慶人，碩士，講師，研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)、電氣工程及其自動(dòng)化。