單位思想視角下小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)與結(jié)構(gòu)

劉加霞 孫海燕

劉加霞

北京教育學(xué)院初等教育學(xué)院院長，教育心理學(xué)博士，教授，教育部國培專家?guī)斐蓡T;提出“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)是一切教學(xué)法的根”“實證研究學(xué)生是有效教學(xué)的根本”“培訓(xùn)實質(zhì)是改變與創(chuàng)新”等觀點，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《課程·教材·教法》《中國教育學(xué)刊》《中小學(xué)管理》《人民教育》《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》《小學(xué)教學(xué)》等期刊發(fā)表論文百余篇，著作有《小學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)》《小學(xué)數(shù)學(xué)有效學(xué)習(xí)評價》《小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計》等。

單位貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的始終，計數(shù)、計算、測量以及各類數(shù)量關(guān)系等內(nèi)容中都蘊含著單位思想，它是小學(xué)數(shù)學(xué)知識體系的“骨架”。以此為抓手有利于教師把握數(shù)學(xué)本質(zhì)與整體結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生整體化、結(jié)構(gòu)化地學(xué)習(xí)。

一、單位及單位思想的內(nèi)涵與操作方式

單位不只是常見的計數(shù)、計量單位，更是一種思想，即單位思想或單位化思想。

通常，人們?yōu)榱艘?guī)范、統(tǒng)一地計數(shù)、度量、比較某一類或幾類對象，需要約定統(tǒng)一的“標(biāo)準(zhǔn)”，以便于表達(dá)、交流與運用，這個“標(biāo)準(zhǔn)”被稱之為單位。例如，常見的計數(shù)單位：一、十、百、千、十分之一等;常見的計量單位：米、平方米、千克等。需要指出的是，這些單位的前面應(yīng)該有“1”這個數(shù)量，但習(xí)慣上，人們常將其省略（度量的本質(zhì)是“比”，是乘法結(jié)構(gòu)，乘法運算中“1”是單位元，可以省略），比如，我們說長度單位是米、厘米等，嚴(yán)格地說，應(yīng)該是長度單位是1米、1厘米等，米、厘米只是長度單位的名稱。

數(shù)學(xué)上也把“單位”定義為不是“1”但被看成是“1”的數(shù)或集合，這時的單位是人類通過抽象創(chuàng)造出來的，稱之為復(fù)合單位。例如，每行有5朵花，有這樣的6行，其中“5朵”就是復(fù)合單位。又如，小明有3個蘋果，小紅有6個蘋果，小紅的蘋果數(shù)量是小明的2倍，就是把“3個”作為單位。如果說小明與小紅的蘋果數(shù)量之比是3∶6，則“1個”是單位;如果說兩者之比是1∶2，則“3個”是單位。兩個數(shù)量比較的過程中，“單位”不同，但倍比關(guān)系不變，可能會導(dǎo)致學(xué)生難以真正理解比和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。復(fù)合單位與小學(xué)數(shù)學(xué)中的“單位1”本質(zhì)相同但含義略有不同，“單位1”用來輔助學(xué)生思考并解決問題，而復(fù)合單位更注重的是學(xué)生頭腦中所操作的單位。

在比較或度量事物時，往往設(shè)定一個或多個標(biāo)準(zhǔn)量作為度量單元（單位或單位體系），有意識地定義單位并操作單位來量化研究對象，可使問題解決的思維簡化與結(jié)構(gòu)化。定義與操作單位的過程稱之為“單位化”，它是產(chǎn)生新概念并運用概念解決問題的思維策略，故稱之為單位化思想或單位思想。

小學(xué)數(shù)學(xué)中單位化的對象從實物逐漸發(fā)展為自然數(shù)計數(shù)單位、群組、測量單位和分?jǐn)?shù)與小數(shù)計數(shù)單位等。學(xué)生單位化思想的發(fā)展從簡單形象過渡到復(fù)雜抽象，無論其單位化的對象是什么，最終都能將其看作“1”，并對其進(jìn)行計數(shù)、度量、比較等思維操作。

東北師范大學(xué)丁銳、美國科羅拉多大學(xué)丹佛分校Tzur將單位的“操作”方式總結(jié)為兩類：單位的組合與分解、單位協(xié)同。前者是學(xué)生發(fā)展加法思維的基本操作;后者是發(fā)展乘法思維的基本操作，指學(xué)生可以同時關(guān)注和操作不同的單位，具體包括：迭代（累加）、分割（平均分）、分配（搭配問題）、分割與迭代的混合（例如已知線段長15cm，畫出長度是6cm的線段）。前述這些單位的操作方式具體體現(xiàn)在數(shù)概念、測量、計算、倍比關(guān)系以及較復(fù)雜的問題解決中。因此，單位思想貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的始終。

二、計數(shù)單位統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)概念實質(zhì)與結(jié)構(gòu)

史寧中認(rèn)為，就度量單位的形成過程而言，單位大體可分為兩類：一是通過抽象得到的，是思維的結(jié)果;二是借助工具得到的，是實踐的結(jié)果。前者指計數(shù)單位，后者指度量單位。計數(shù)、度量及加減法計算的本質(zhì)就是對標(biāo)準(zhǔn)單位個數(shù)的操作。

1.用自然數(shù)刻畫離散量的多少

獲知事物數(shù)量多少的本源方法是“數(shù)數(shù)”，最為樸素的方法是“一個一個地數(shù)”。數(shù)手指、結(jié)繩與刻痕計數(shù)等都以1為單位，用1可以計數(shù)出離散量的個數(shù)。當(dāng)數(shù)目較大時，這樣計數(shù)太麻煩，因此人們創(chuàng)造性地將10個“一”作為1個“十”，生成第二個計數(shù)單位，然后類似地產(chǎn)生無數(shù)個自然數(shù)計數(shù)單位，如百、千、萬等，這些計數(shù)單位及其個數(shù)累加就形成自然數(shù)，所以我們用自然數(shù)衡量離散量的多少。此過程中，十進(jìn)制思想自然地產(chǎn)生，正如亞里士多德所言，“十進(jìn)制不過是由人有十根手指這一生理解剖學(xué)的事實決定”，同樣，我們也可以創(chuàng)造二進(jìn)制、五進(jìn)制等。

自然數(shù)有最小的計數(shù)單位1，沒有最大的計數(shù)單位。為了簡便、清晰地記錄自然數(shù)，古印度人創(chuàng)造了現(xiàn)在通用的數(shù)碼：0～9，并用數(shù)碼所在“位置”表示數(shù)碼的計數(shù)單位，即位值制思想。在位值制體系下，0具有重要的“占位”作用。這種表示方法經(jīng)由阿拉伯傳入歐洲，所以習(xí)慣上將這種計數(shù)體系稱為阿拉伯十進(jìn)位值制記數(shù)法，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拿Q應(yīng)該是印度—阿拉伯十進(jìn)位值制記數(shù)法。我國漢語讀數(shù)是乘法分群記數(shù)法，讀數(shù)不同于寫數(shù)，約定了特殊讀數(shù)規(guī)則，例如中間、末尾有0時的讀數(shù)方法。無論是數(shù)的認(rèn)識還是四則運算，怎么讀數(shù)不重要，理解每個“數(shù)字”的含義，或者說數(shù)的展開式表示，例如“223=2×100+2×10+3×1”，更為重要。

2.用分?jǐn)?shù)（有限小數(shù)）刻畫連續(xù)量的大小

測量連續(xù)量，用1作單位“太大”，需將1進(jìn)一步平均分，產(chǎn)生更小的單位。將1平均分成兩份，產(chǎn)生第一個分?jǐn)?shù)單位1/2，同理也能產(chǎn)生其他更小的分?jǐn)?shù)單位。因此，分?jǐn)?shù)產(chǎn)生于度量。從這個角度看，我們應(yīng)該用分?jǐn)?shù)表示連續(xù)量的大小，但由于分?jǐn)?shù)的符號表示，既不是十進(jìn)制的，也不是位值制的，不利于和自然數(shù)建立聯(lián)系而形成統(tǒng)一結(jié)構(gòu)，所以17世紀(jì)時人們創(chuàng)造出結(jié)構(gòu)與自然數(shù)相通的小數(shù)，其中，0.1的計數(shù)單位是1/10、0.01的計數(shù)單位是1/100……分?jǐn)?shù)、小數(shù)有最大計數(shù)單位，沒有最小計數(shù)單位。用自然數(shù)或有限小數(shù)表示連續(xù)量的大小，便于比較和計算。

3.數(shù)概念的本質(zhì)與結(jié)構(gòu)

小學(xué)階段，數(shù)字“1”具有“中心地位”。任何一個數(shù)都是計數(shù)單位及其個數(shù)的累加，這是數(shù)概念的本質(zhì)。如下圖所示，在書寫自然數(shù)與小數(shù)時，確定了“1”所在的位置即個位后，向左依次是十位、百位等;緊靠個位右下角的是小數(shù)點，小數(shù)點的重要作用是“標(biāo)識”出個位，向右依次是十分位、百分位等。以1為中心，自然數(shù)其他計數(shù)單位與小數(shù)的計數(shù)單位所在位置呈“對稱關(guān)系”，相鄰的計數(shù)單位之間都是十進(jìn)制的。分?jǐn)?shù)則不同，它的分母是幾就是幾進(jìn)制，例如[78]可以看成八進(jìn)制。每一個分?jǐn)?shù)都有無數(shù)個計數(shù)單位，其相應(yīng)個數(shù)也有無數(shù)種情況，所以分?jǐn)?shù)的結(jié)構(gòu)最為復(fù)雜。

數(shù)是對量的抽象。度量的發(fā)展史也是度量單位的發(fā)展史。人們?yōu)榱烁珳?zhǔn)地刻畫現(xiàn)實中的連續(xù)量，如長度，需要將“米”平均分成十份、百份、千份等并進(jìn)一步進(jìn)行測量，于是產(chǎn)生了小數(shù)的計數(shù)單位。用有限小數(shù)能準(zhǔn)確、方便地表達(dá)連續(xù)量的大小。

三、廣義度量中的單位及單位化思想

小學(xué)階段，廣義的度量主要包括連續(xù)量的度量和倍比（比例）關(guān)系。

1.連續(xù)量的單位及單位化思想

如果事物具有可以量度的屬性，并且有量度的需要時，就要先“定義單位”，度量對象如果沒有單位，就無法進(jìn)行量度和比較。

長度單位的產(chǎn)生與發(fā)展過程（單位化過程）極其復(fù)雜且意義重大，有必要讓學(xué)生經(jīng)歷“了解為什么要定義單位、怎樣定義單位、有哪些標(biāo)準(zhǔn)單位以及單位體系，體驗定義單位的過程，提煉其中蘊含的思想方法”的學(xué)習(xí)過程。正如史寧中所言，對“個數(shù)多少、距離長短”的感知和認(rèn)識是量感建立的基礎(chǔ)，各類幾何量中對長度及長度單位的認(rèn)識是本源。其他連續(xù)量，如面積、體積，則是在長度基礎(chǔ)上來定義單位的。

另一個需要經(jīng)歷單位化的量是角度。任何一個角都可以用“單位角（小角）”去度量另一個角，但這樣不便于表達(dá)和交流，于是人們規(guī)定將圓過圓心、沿半徑平均分成360份，每份角的大小為1°。而時間、質(zhì)量等量的學(xué)習(xí)，不需要經(jīng)歷單位化的過程，只需要知道其單位及進(jìn)率關(guān)系。

2.倍數(shù)（比例）關(guān)系中的單位化思想

計數(shù)與度量都是用單位的個數(shù)刻畫絕對數(shù)量的多少與大小。刻畫數(shù)量之間的相對大小也是度量，也須“定義單位”，進(jìn)而產(chǎn)生兩個或兩個以上量之間的倍比關(guān)系。例如，現(xiàn)實中分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)、倍、比）常用來表示部分與整體、一個量與另一個量之間的倍數(shù)（比例）關(guān)系，該表達(dá)過程中就有單位化思想。我們一般將“整體”或“另一個量”作為比較的標(biāo)準(zhǔn)，這個標(biāo)準(zhǔn)實際上也是單位，理解“誰”是比較的標(biāo)準(zhǔn)、確定被比較的量中含有多少個標(biāo)準(zhǔn)，這個過程就是單位化思想的體現(xiàn)。

現(xiàn)實生活中，基于倍數(shù)倍比關(guān)系產(chǎn)生了更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，如“和倍問題”與“差倍問題”，時間—速度—路程、單價—數(shù)量—總價、工效—工時—工總等問題。這些復(fù)雜問題的解決都離不開單位化思想。

四、四則運算中的單位化思想

1.加減運算的本質(zhì)是相同計數(shù)單位個數(shù)相加減

任何數(shù)的加減法計算算理都是相同計數(shù)單位個數(shù)相加減，筆者不做贅述。下文概要分析加法、乘法結(jié)構(gòu)中的單位元概念。

在加法結(jié)構(gòu)中，0是單位元，即任何一個數(shù)加或減0，不改變其大小。如果任意兩個數(shù)相加的和是0，則稱這兩個數(shù)互為逆元，也叫互為相反數(shù)，例如+4與-4?！凹由稀焙汀叭サ簟笔腔ツ娴模醇由弦粋€數(shù)再去掉這個數(shù)之后，結(jié)果是0，所以加法與減法是互逆運算。在乘法結(jié)構(gòu)中，1是單位元，任何一個數(shù)乘或除以1不改變運算結(jié)果，所以乘1可以省略。乘積是1的兩個數(shù)也互為逆元，在小學(xué)階段稱之為互為倒數(shù)，例如4與1/4。同樣，乘法與除法互為逆運算。

2.乘除法運算中的復(fù)合單位化思想

求相同加數(shù)和的簡便運算是乘法，也就是說，乘法是復(fù)合單位——乘數(shù)的迭代。乘法的算法算理較為復(fù)雜，乘法口訣是計算出結(jié)果的根本與基礎(chǔ)，兩位數(shù)乘兩位數(shù)是學(xué)習(xí)乘法的關(guān)鍵，其他多位數(shù)相乘屬于遷移，無須學(xué)習(xí)。分?jǐn)?shù)乘法更為重要，其算理解釋要緊扣分?jǐn)?shù)的含義，尤其是分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)。借助分?jǐn)?shù)乘法理解小數(shù)乘法的含義及其算理，然后轉(zhuǎn)化為自然數(shù)乘法計算，無須過多訓(xùn)練小數(shù)乘法的筆算內(nèi)容。

單位化思想對于學(xué)習(xí)除法更有意義。學(xué)生認(rèn)識除法時，先學(xué)習(xí)“包含除”，既符合除法產(chǎn)生的本源，也符合學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗。除法來源于“平均分”，平均分的結(jié)果——“每一份”就是單位?！懊恳环荨奔仁瞧骄值慕Y(jié)果，又可以作為平均分的標(biāo)準(zhǔn)，獲得每一份的過程（等分除）以及將每一份作為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行平均分（包含除）都蘊含著單位化思想。分?jǐn)?shù)除法、小數(shù)除法的計算過程都離不開單位化，尤其是分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，也可以從單位化角度理解算理，即轉(zhuǎn)化為相同分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)做除法運算。

（孫海燕，北京市東城區(qū)教師研修中心）