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    一種基于期望最大化的多目標(biāo)軌跡擬合算法

    2021-01-09 07:08:30盛驥松
    艦船電子對抗 2020年6期
    關(guān)鍵詞:高斯準(zhǔn)則軌跡

    劉 禹,李 培,盛驥松

    (中國船舶重工集團(tuán)公司第七二三研究所,江蘇 揚(yáng)州 225101)

    0 引 言

    在現(xiàn)代和未來戰(zhàn)爭中,隨著戰(zhàn)爭空間日益復(fù)雜化、目標(biāo)環(huán)境多樣化,為了更準(zhǔn)確地獲得打擊目標(biāo),需要借助偵測信息對目標(biāo)軌跡進(jìn)行擬合。傳感器采集到的測量值,由于受到環(huán)境中噪聲等因素的影響,使得測量值存在一定的誤差,且現(xiàn)代雷達(dá)信號樣式繁雜,偵察設(shè)備難以精準(zhǔn)捕獲同一批次的完備信息,且同一目標(biāo)容易出現(xiàn)多批次問題,利用批次對目標(biāo)進(jìn)行軌跡擬合,容易造成軌跡分段、軌跡信息缺失等問題。鑒于此,本文提出一種宏觀進(jìn)行軌跡擬合的思路。本文將軌跡擬合拆分為2個(gè)主要階段,即:軌跡個(gè)數(shù)估計(jì)和軌跡擬合。本文將軌跡個(gè)數(shù)作為先驗(yàn)知識,重點(diǎn)研究軌跡擬合問題。

    傳統(tǒng)軌跡擬合可分為3個(gè)類型:(1)現(xiàn)代智能類算法;(2)參數(shù)估計(jì)算法;(3)統(tǒng)計(jì)方法[1]。本文提出基于期望最大化(EM)的多目標(biāo)軌跡擬合算法,在傳統(tǒng)EM統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行理論遷移,實(shí)現(xiàn)多軌跡融合算法。本文主要分為4個(gè)部分:(1)對EM算法進(jìn)行介紹;(2)論述本文思路以及創(chuàng)新點(diǎn);(3)針對不同算法進(jìn)行仿真分析;(4)全文總結(jié)。

    1 EM算法

    EM算法[2-6]解決的問題可表述為:給定輸入——觀測變量數(shù)據(jù)Y,隱變量數(shù)據(jù)Z聯(lián)合分布P(Y,Z|θ),條件分布P(Z|Y,θ);估計(jì)輸出——模型參數(shù)θ。對于輸入模型,利用最大似然準(zhǔn)則,可建立目標(biāo)函數(shù):

    (1)

    對于上述優(yōu)化問題,若觀測變量完備,則準(zhǔn)則函數(shù)L(θ)可借助最大似然估計(jì)(MLE)準(zhǔn)則求解。但由于隱變量Z的存在,準(zhǔn)則函數(shù)沒有閉式解,一種思路是將P(Z|θ)看作已知,進(jìn)一步求解參數(shù)θ,如此反復(fù)迭代,最終完成求解。但如此求解存在2點(diǎn)不足:(1)MLE求解過程中,存在分子分母求和、積分項(xiàng),反復(fù)迭代增加運(yùn)算復(fù)雜度;(2)不能確保該迭代操作滿足收斂條件。為了解決這兩點(diǎn)不足,A.P.Dempster提出了EM算法。首先,考慮第i次迭代后的準(zhǔn)則函數(shù)不小于原始準(zhǔn)則函數(shù),根據(jù)JENSEN不等式:

    (2)

    省去對θ(i)的極大值而言是常數(shù)的項(xiàng),由上式進(jìn)一步得出:

    θ(i+1)=

    (3)

    EM算法具體步驟如下:

    步驟1:選擇參數(shù)的初始值θ(0),開始迭代;

    步驟2:E步(求Q(θ,θ(i))):記θ(i)為第i次迭代參數(shù)θ的估值,在第i+1次迭代的E步,計(jì)算:

    Q(θ,θ(i))=EZ[lgP(Y,Z|θ)|Y,θ(i)]=

    (4)

    式中:P(Z|Y,θ(i))P(Z|Y,θ(i))是給定觀測數(shù)據(jù)Y和當(dāng)前參數(shù)估計(jì)θ(i)下隱變量Z的條件概率分布。

    步驟3:M步(在隱變量條件概率密度給定的前提下,利用MLE實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計(jì))求使Q(θ,θ(i))最大化的θ,確定第i+1次迭代的參數(shù)的估計(jì)值θ(i+1):

    (5)

    步驟4:重復(fù)步驟2、3,直到滿足收斂條件。

    至此,完成了EM算法的整個(gè)推導(dǎo)過程。

    2 多軌跡擬合算法

    2.1 混合高斯模型

    根據(jù)上文推導(dǎo),對于混合高斯模型(GMM),只要求解P(Zj∈Yk|Yj,Θ(i))即可。其中Zj∈Yk表示第j個(gè)觀測點(diǎn)來自第k個(gè)模型,Θ表示參數(shù)的集合。對于K個(gè)混合高斯模型,利用全概率公式,容易得到:

    (6)

    進(jìn)一步寫出準(zhǔn)則函數(shù):

    (7)

    式中:θk=[μk,σk],為分布k對應(yīng)的參數(shù);Θ={θ1,θ2,…,θK},為參數(shù)集合;N為樣本個(gè)數(shù)。

    (8)

    偏微分求解:

    (9)

    得:

    (10)

    對各分布內(nèi)部參數(shù)θk進(jìn)行優(yōu)化,給出準(zhǔn)則函數(shù):

    (11)

    對于高斯分布:

    (12)

    對參數(shù)求偏導(dǎo):

    (13)

    (14)

    至此完成了混合高斯模型的整個(gè)求解。

    2.2 混合拉普拉斯模型

    不同混合模型,參數(shù)形式不同,高斯模型因?yàn)槭桥即蝺缍子谇蠼?,對于奇次冪求?dǎo)存在符號函數(shù),難以直接求導(dǎo)迭代,因此解決奇次冪求解的問題,將進(jìn)一步提升混合模型的普適性(不局限于高斯模型、拉普拉斯模型)。對于拉普拉斯分布:

    (15)

    式中:μ為均值;b為陡峭系數(shù)。

    對于K個(gè)模型的混合分布:

    (16)

    E步驟與混合高斯模型求解相同,對于任意混合模型均適用。M步驟里系數(shù)的求解操作同樣適用各種模型,對于陡峭系數(shù)b求解:

    (17)

    對均值求解:

    (18)

    此時(shí)無法完成迭代求解,換個(gè)角度,在迭代的最終狀態(tài),可以認(rèn)為i次參數(shù)與i+1次參數(shù)近似相等[8],從而上面的求導(dǎo)結(jié)果轉(zhuǎn)化為:

    (19)

    從而完成均值的迭代:

    (20)

    至此完成奇次冪混合模型的參數(shù)求解。

    2.3 混合線性模型

    討論不同的分布,主要是考慮傳感器接收到的雷達(dá)信號存在的噪聲特性不同。上文已解決了大部分隨機(jī)平穩(wěn)噪聲場景的參數(shù)求解,不失一般性,假設(shè)傳感器接收到信號的噪聲為高斯噪聲。下面論述如何從基于EM的混合分布模型遷移到軌跡擬合算法。

    對于單條軌跡,可以借助最大似然(MLE)等算法進(jìn)行軌跡擬合,但對于多條軌跡,該算法難以直接應(yīng)用。假設(shè)一堆數(shù)據(jù)點(diǎn)(xj,lj),由2條直線軌跡產(chǎn)生:

    (21)

    式中:n1j、n2j分別為對應(yīng)的隨機(jī)噪聲。

    雖然無法直接利用MLE求參,但不同軌跡的噪聲,可以看作是混合模型的應(yīng)用,對應(yīng)到這里就是混合高斯模型:

    (22)

    可以認(rèn)為lj-akxj就是GMM中的Yj,bk就是μk。直接套用GMM中的迭代結(jié)果:

    (23)

    (24)

    所不同的是,多了一個(gè)對ak的求解,容易得出:

    (25)

    至此,理論推導(dǎo)完成。

    上文以線性軌跡舉例,推導(dǎo)了線性多軌跡擬合的可行性。更一般地,噪聲模型可由高斯模型推廣至其他多種混合模型;對于線性軌跡,同樣可以推理到多種類型的軌跡模型。更一般地:

    (26)

    g為一般表達(dá)式,如GMM就是g=ax+b,更一般的g理論上可以為任意表達(dá)式,如圖1。

    圖1 軌跡擬合示意圖

    只要將g的具體表達(dá)式代入EM求解過程即可。事實(shí)上,混合模型理論上可以實(shí)現(xiàn)各類形狀的聚類,而噪聲同樣可以基于不同的分布假設(shè):(1)常見的K-means本質(zhì)是對于中心點(diǎn)(聚類中心)的分布假設(shè);(2)高斯混合模型是對于斜率為0的直線(GMM的均值)的分布假設(shè);(3)各種軌跡的擬合是EM算法的一般應(yīng)用。

    3 仿真試驗(yàn)

    仿真環(huán)境:假設(shè)2批目標(biāo)在不同的線性軌跡上,且由于作用距離不同,2個(gè)軌跡的參數(shù)誤差不同,仿真基于式(26)所描述的軌跡模型,目標(biāo)數(shù)量K取2;噪聲為y(i)=0.5×x(i)-3+100×R和y(i)=-7×x(i)+2+50×R,是高斯白噪聲,其中R為隨機(jī)數(shù)。

    利用本文提出的多軌跡擬合算法,仿真結(jié)果如圖2所示。

    圖2 軌跡擬合結(jié)果

    從圖2中可以看出,本文提出的多軌跡擬合算法很好地?cái)M合出了軌跡,仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文算法的有效性。

    4 結(jié)束語

    本文作為多軌跡融合算法的新的嘗試,跳出傳統(tǒng)單批次信息不足、多批次可能對應(yīng)同一目標(biāo)等局限性,從宏觀上論述了軌跡擬合理論的可行性,并進(jìn)行仿真驗(yàn)證。該算法可以作為傳統(tǒng)軌跡擬合的輔助信息,在整體上尋找軌跡將有利于目標(biāo)參數(shù)的進(jìn)一步深度融合。本文提出的軌跡擬合算法在應(yīng)用層面、理論層面都存在一定的不足,但作為該方向的一個(gè)初步的探索,解決了部分理論難題,并梳理出初步的理論架構(gòu),仍然具有重要的借鑒意義。

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