高超聲速飛行器的模糊分數(shù)階PID控制*

張迎雪 管 萍 戈新生

北京信息科技大學 自動化學院，北京 100192

0 引 言

高超聲速飛行器在國防事務和民用方面具有較高的戰(zhàn)略價值[1]。2010年美國“獵鷹”計劃下的HTV-2飛行器因未能有效應對氣動參數(shù)的劇烈攝動，導致飛行失敗[2]。因此構(gòu)建一個能有效處理氣動參數(shù)變化導致的不確定性的高精度姿態(tài)控制系統(tǒng)是目前亟待解決的問題之一。然而，面對復雜的飛行環(huán)境，傳統(tǒng)PID控制具有一定的局限性。近年來，采用非線性和智能化的方法改進傳統(tǒng)PID算法，獲得了更高的精度和更強的魯棒性[3]。文獻[4]中俯仰通道控制器的設計融合了模糊與模型參考自適應方法，通過實時調(diào)節(jié)PID參數(shù)使系統(tǒng)具有自適應能力。文獻[5]設計了PID控制和自抗擾控制互為補充的無擾切換控制，解決了兩種模式之間的過渡問題。然而，上述文獻僅考慮了單一俯仰通道的設計。文獻[6]設計的模糊控制器帶有修正因子，在姿態(tài)控制仿真實驗中，取得了較好的控制效果。然而并未考慮氣動參數(shù)大范圍變化給系統(tǒng)帶來的影響。將分數(shù)階微積分與PID控制相結(jié)合構(gòu)成分數(shù)階PID控制，不僅調(diào)節(jié)范圍更廣，而且能夠為系統(tǒng)提供更加靈活、準確的控制[7]。

本文為實現(xiàn)高超聲速飛行器在氣動參數(shù)劇烈變化時快速精準跟蹤姿態(tài)角期望值，構(gòu)建了模糊分數(shù)階PID控制器。分數(shù)階PID的計算由于增加了2個可調(diào)參數(shù)，調(diào)節(jié)范圍得到進一步擴展，計算中有對過去項的累加，使系統(tǒng)具有記憶特性，能提升控制精度及穩(wěn)定性。為更好處理氣動特性快速變化帶來的不確定性，加入模糊的方法對控制器參數(shù)進行在線調(diào)節(jié)，以提高系統(tǒng)的動態(tài)性能和自適應性。由仿真結(jié)果可以看出，所提出的控制策略能夠更好地實現(xiàn)飛行器姿態(tài)角的精準跟蹤，并驗證了對氣動參數(shù)攝動的魯棒性。

1 高超聲速飛行器模型

根據(jù)高超聲速飛行器的飛行特點，得到飛行器姿態(tài)控制的仿射非線性數(shù)學模型[8]，如式(1)～(2)：

(1)

(2)

式中參數(shù)具體釋義詳見文獻[9]。在運動過程中，因氣動參數(shù)變化導致模型中含有不確定項。令fΩ=fΩ0+DΩ，fΩ0是fΩ的標稱值，DΩ是因fΩ中CL,α,CY,β變化產(chǎn)生的不確定部分。令Mδ=Mc+ΔMδ，Mc=[lcmcnc]T是由氣動舵面偏轉(zhuǎn)δ=[δeδaδr]T產(chǎn)生的控制力矩，ΔMδ是Mδ中因氣動參數(shù)變化產(chǎn)生的不確定項。令fω=fω0+Δfω，fω0是fω的標稱值，Δfω是fω中因laero,maero和naero中氣動參數(shù)變化產(chǎn)生的不確定部分。令Dω=gωΔMδ+Δfω。通過引入氣動參數(shù)變化導致的不確定項，可將式(1)和(2)轉(zhuǎn)換為：

(3)

(4)

本文的控制目標是，設計合適的控制力矩Mc，讓高超聲速飛行器可以快速精確跟蹤姿態(tài)角期望值，并且能對氣動參數(shù)出現(xiàn)的大幅變化進行有效抑制，具備強魯棒特性。

2 基于模糊分數(shù)階PID控制器設計

2.1 分數(shù)階的計算

(5)

由上述分析可得在此定義下μ的分數(shù)階積分：

(6)

在上式中有對u(t-ih)項的累加，過去時刻的函數(shù)值對此時分數(shù)階微積分均有一定程度的影響。利用信息記憶能力，系統(tǒng)可以取得更優(yōu)的控制性能。

2.2 分數(shù)階次λ，μ的選取對控制系統(tǒng)性能的影響

分數(shù)階PID控制器的一般形式為：

U=kp·e(t)+ki·D-λe(t)+kd·Dμe(t)

(7)

kp,ki和kd為控制器中比例、積分、微分項系數(shù)，μ和λ表示微分、積分階次。Dμ和D-λ分別表示對系統(tǒng)誤差e(t)的μ階導數(shù)和λ階積分。U為控制器的輸出。

在傳統(tǒng)PID控制中，積分項可以起到減小穩(wěn)態(tài)誤差的作用，實現(xiàn)對期望值的精確跟蹤?？刂破髦幸敕謹?shù)階次λ后，當λ較小時，控制系統(tǒng)可以取得較快的響應速度，上升時間和調(diào)節(jié)時間縮減，超調(diào)小，然而可能存在一定的靜態(tài)誤差。隨著λ的增大，積分作用逐漸增強，伴隨超調(diào)量、上升時間和調(diào)節(jié)時間的增加，系統(tǒng)的穩(wěn)定性明顯變?nèi)酢．敠诉^大時，系統(tǒng)會出現(xiàn)嚴重的振蕩[11]。

傳統(tǒng)PID控制中，選取合適的微分項可以減少系統(tǒng)的超調(diào)量和動態(tài)誤差，增強穩(wěn)定性。引入分數(shù)階次μ后，隨著μ的減小，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差逐漸減少，動態(tài)響應精度明顯提高，會增大超調(diào)和響應時間。若μ過小，控制系統(tǒng)將很難穩(wěn)定。當分數(shù)階次μ逐漸增大，系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間會相應減少[11]。λ和μ的引入，增加了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的靈活性，控制精度得到改善，魯棒性更強。

2.3 模糊分數(shù)階PID控制器設計

高超聲速飛行器需要克服氣動參數(shù)攝動帶來的不確定影響。加入模糊的方法對控制器參數(shù)進行在線調(diào)節(jié)，可有效處理系統(tǒng)的不確定部分，增強魯棒性。為此本文針對高超聲速飛行器的姿態(tài)控制系統(tǒng)構(gòu)建了模糊分數(shù)階PID控制器。

基于奇異攝動理論將整個控制系統(tǒng)分為快速、慢速閉環(huán)回路，并分別設計模糊分數(shù)階PID控制器?？旎芈肥强刂平撬俣鹊膬?nèi)環(huán)，慢回路是控制姿態(tài)角的外環(huán)，飛行器控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖1 高超聲速飛行器控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

將姿態(tài)角期望值Ωref與實際值Ω之間的誤差eΩ(t)作為姿態(tài)角分數(shù)階PID控制器的輸入，將eΩ(t)和ecΩ(t)作為外環(huán)模糊控制器的輸入，由外環(huán)模糊控制器推算得到姿態(tài)角分數(shù)階PID控制參數(shù)的修正量ΔkpΩ,ΔkiΩ,ΔkdΩ,ΔλΩ,ΔμΩ。用修正后得到的分數(shù)階PID參數(shù)計算出角速度期望值ωref。將ωref與實際角速度ω之間的差值eω(t)作為角速度分數(shù)階PID控制器的輸入。利用eω(t)及ecω(t)作為內(nèi)環(huán)模糊控制器輸入，在線修正kpω,kiω,kdω,λω和μω5個參數(shù)，并用修正后的參數(shù)計算控制力矩Mc，用于飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)。

2.3.1 外環(huán)回路控制器的設計

系統(tǒng)姿態(tài)角的期望值Ωref=[αrefβrefμref]T與姿態(tài)角實際值Ω=[αβμ]T之間的誤差為：

eΩ(t)=Ωref-Ω

(8)

將eΩ(t)作為姿態(tài)角分數(shù)階PID控制器的輸入，通過式(15)計算得到角速度參考值ωref：

ωref=kpΩ·eΩ(t)+kiΩ·D-λΩeΩ(t)+
kdΩ·DμΩeΩ(t)

(9)

kiΩ，kpΩ和kdΩ代表姿態(tài)角控制器中的PID參數(shù)，μΩ和λΩ分別是微分和積分階數(shù)，ωref=[prefqrefrref]T。

為了增強系統(tǒng)的魯棒性，引入模糊控制對kpΩ,kiΩ,kdΩ,λΩ和μΩ進行實時調(diào)節(jié)。限于篇幅，在此僅詳細介紹外環(huán)模糊控制器中俯仰通道的設計，滾轉(zhuǎn)及偏航通道的設計與此相類似。外環(huán)模糊控制器在俯仰通道上的輸入為eΩ1(t),ecΩ1(t)，輸出為ΔkpΩ1(t),ΔkiΩ1(t),ΔkdΩ1(t),ΔλΩ1(t)和ΔμΩ1(t)。

根據(jù)攻角誤差eΩ1(t)及其變化率ecΩ1(t)確定實際變化范圍[-eΩ1max,eΩ1max]，[-ecΩ1max,ecΩ1max]，將其均變換到離散論域[-0.6,0.6]上[8]。

選取外環(huán)模糊控制器輸出變量ΔλΩ1(t),ΔμΩ1(t)的離散論域為[-0.6,0.6]，分別乘以比例因子KΔλΩ1和KΔμΩ1后，得到ΔλΩ1(t),ΔμΩ1(t)的實際值[-ΔλΩ1max,ΔλΩ1max],[-ΔμΩ1max,ΔμΩ1max]。

對eΩ1(t),ecΩ1(t)和ΔλΩ1(t),ΔμΩ1(t)選取模糊集合均為NB，NS，NM，ZO，PS，PM，PB；其隸屬度函數(shù)均選為高斯型函數(shù)。參照上述λ和μ的調(diào)節(jié)方法，設計了分數(shù)階ΔλΩ1，ΔμΩ1的模糊控制規(guī)則表，如表1～2所示。

表1 ΔλΩ1的模糊規(guī)則表

表2 ΔμΩ1的模糊規(guī)則表

外環(huán)模糊控制器采用Mamdani型，根據(jù)表1～2進行模糊推理，并采用重心法進行反模糊化。圖2～3分別為ΔλΩ1和ΔμΩ1的模糊推理規(guī)則表面圖。

圖2 ΔλΩ1的模糊推理規(guī)則表面圖

圖3 ΔμΩ1的模糊推理規(guī)則表面圖

由外環(huán)模糊控制器得到精確修正量，對λΩ1,μΩ1實時調(diào)整如下：

(10)

對于外環(huán)模糊控制器其它輸出變量ΔkpΩ1(t),ΔkiΩ1(t)和ΔkdΩ1(t)，選取離散論域為[-6,6]的范圍。將其乘以比例因子KΔ kpΩ1,KΔ kiΩ1,KΔ kdΩ1，得到輸出變量的實際值。

外環(huán)模糊控制器的輸出ΔkpΩ1(t),ΔkiΩ1(t),ΔkdΩ1(t)與ΔλΩ1,ΔμΩ1的模糊集合選取一致，其隸屬度函數(shù)均為高斯型。ΔkpΩ1,ΔkiΩ1,ΔkdΩ1的模糊規(guī)則表可參考文獻[11]。模糊PID控制器使用Mamdani型推理，用重心法解模糊。經(jīng)外環(huán)模糊控制器調(diào)節(jié)后的PID系數(shù)更新如下：

(11)

通過式(10)和式(11)對5個系數(shù)進行在線調(diào)整，利用更新后的kpΩ1,kiΩ1,kdΩ1,λΩ1和μΩ1作用于控制器(式(9))，得到角速度的期望值ωref。

2.3.2 內(nèi)環(huán)回路控制器的設計

姿態(tài)角分數(shù)階PID控制器的輸出=ωref與實際角速度ω之間的誤差為eω(t)：

eω(t)=ωref-ω

(12)

將eω(t)作為角速度分數(shù)階PID控制器的輸入，通過式(13)計算得到控制力矩Mc：

Mc=kpω·eω(t) +kiω·D-λωeω(t) +kdω·
Dμωeω(t)

(13)

kpω,kiω和kdω為PID系數(shù),λω,μω為分數(shù)項階次。

將姿態(tài)角誤差eω(t)及其導數(shù)ecω(t)共同作用于內(nèi)環(huán)模糊控制器。限于篇幅僅介紹內(nèi)環(huán)模糊控制器中俯仰通道的設計，偏航與滾轉(zhuǎn)通道的設計與此相似。俯仰通道中5個模糊控制器的輸入均為eω1(t),ecω1(t)，輸出分別為Δkpω1(t),Δkiω1(t),Δkdω1(t),Δλω1(t)和Δμω1(t)。

與外環(huán)模糊控制器設計相似，將內(nèi)環(huán)模糊控制器輸入變量eω1(t),ecω1(t)的實際變化范圍變換到離散論域[-0.3,0.3]上。分別選取輸出變量Δλω1(t),Δμω1(t)和Δkpω1(t),Δkiω1(t),Δkdω1(t)的離散論域為[-0.3,0.3]和[-3,3]的范圍。

eω1(t),ecω1(t),Δλω1(t),Δμω1(t)Δkpω1(t),Δkiω1(t),Δkdω1(t)選取模糊集合PB,NB,PM,NM,PS,NS,ZO，隸屬度函數(shù)為高斯型。Δλω1,Δμω1,Δkpω1,Δkiω1,Δkdω15個參數(shù)的模糊規(guī)則表與外環(huán)模糊控制器相似，限于篇幅不再列出。內(nèi)環(huán)模糊控制器仍采用Mamdani型，依照規(guī)則表進行模糊推理，用重心法去模糊化最終輸出精確值的修正量。根據(jù)內(nèi)環(huán)模糊控制器求出的精確修正值對5個參數(shù)進行如下實時調(diào)節(jié)。

(14)

用在線修正后得到的參數(shù)值計算姿態(tài)角速度分數(shù)階PID控制(式(13))。通過在線調(diào)節(jié)控制器參數(shù)以解決氣動參數(shù)擾動帶來的不確定問題。

3 仿真研究

對高超聲速飛行器采用模糊分數(shù)階PID控制并進行仿真驗證。仿真驗證中高超聲速飛行器采用式(1)～(2)所示的非線性模型形式，其中參數(shù)M=82310kg,Ma=8.8,b=223.79m,c=12.07m。高超聲速飛行器的慣性矩陣為[8]：

初始姿態(tài)角和初始角速率分別為Ω0=[2° 1° 3°]T,ω0=[0 0 0]T，姿態(tài)角的期望值為Ωref=[5° 0° 6°]T。

經(jīng)反復調(diào)試，內(nèi)環(huán)控制器參數(shù)較優(yōu)的初值可取kpω= [50 12 80]T,kiω= [0.1 0.01 0.1]T,kdω= [0.1 0.1 0.1]T,λω=0.6,μω=0.6。外環(huán)可將kpΩ= [20 60 40]T，kiΩ= [0.8 0.1 0.1]T,kdΩ= [0.1 0.1 0.1]T,λΩ=0.6,μΩ=0.6作為控制器參數(shù)的初值。

對高超聲速飛行器分別采用所提的模糊分數(shù)階PID控制與傳統(tǒng)PID控制進行仿真。標稱氣動參數(shù)下，可得到如圖4～6的響應曲線。

標稱氣動參數(shù)下姿態(tài)角動態(tài)響應的性能指標如表3。由仿真結(jié)果可以看出，在傳統(tǒng)PID控制中姿態(tài)角到達穩(wěn)態(tài)的響應時間較長，且具有較大的超調(diào)；而在所提的模糊分數(shù)階PID控制下，3個姿態(tài)角到達穩(wěn)態(tài)的時間更短。本文所提的控制策略通過對歷史項的累加，使控制系統(tǒng)具有記憶特性，加快了系統(tǒng)的響應速度。對比姿態(tài)角速度和控制力矩響應曲線，模糊分數(shù)階PID控制策略不僅超調(diào)量小，而且能夠迅速實現(xiàn)精準跟蹤。

為了驗證所提控制策略對氣動參數(shù)變化的魯棒性，對飛行器氣動參數(shù)攝動做了仿真研究，圖7～8是不同情況姿態(tài)角響應曲線。

姿態(tài)角的調(diào)節(jié)時間如表3所示。與傳統(tǒng)PID控制相比，模糊分數(shù)階PID控制器增加了2個可調(diào)參數(shù)，擴大了調(diào)節(jié)范圍。引入模糊方法能夠?qū)崿F(xiàn)控制器參數(shù)的在線調(diào)節(jié)。故當氣動參數(shù)劇烈變化時，傳統(tǒng)PID控制下姿態(tài)角響應出現(xiàn)了較大的波動，超調(diào)大且響應時間長，而本文采用的控制策略姿態(tài)角響應快，超調(diào)量小，自適應性強。仿真結(jié)果顯示模糊分數(shù)階PID控制對氣動參數(shù)變化的抑制能力更強，體現(xiàn)了更好的魯棒性。

圖4 標稱情況下姿態(tài)角α,β.μ 對比曲線

圖5 標稱情況下姿態(tài)角速度q,r,p對比曲線

圖6 標稱情況下控制力矩mc,nc,lc 對比曲線

圖7 氣動參數(shù)增加50%時α,β,μ跟蹤對比曲線

圖8 氣動參數(shù)減少50%時α,β,μ跟蹤對比曲線

表3 不同控制策略性能指標對比

4 結(jié) 論

考慮高超聲速飛行器氣動參數(shù)攝動，提出模糊分數(shù)階PID控制策略?？刂破髦幸蚣尤敕謹?shù)階運算，系統(tǒng)具有更廣闊的調(diào)節(jié)空間，且分數(shù)階的計算具有信息記憶特性等優(yōu)勢，從而加快了系統(tǒng)響應，增強了穩(wěn)定性。采用模糊的方法對系統(tǒng)參數(shù)在線調(diào)整，增強了系統(tǒng)對氣動參數(shù)變化的魯棒性。兼具分數(shù)階PID和模糊控制兩者優(yōu)勢的模糊分數(shù)階PID控制策略，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)飛行器姿態(tài)角快速精準跟蹤，還有效抑制了氣動參數(shù)的劇烈變化。仿真結(jié)果顯示本控制策略有更好的動態(tài)性能、魯棒性強，且算法簡單，易于工程實現(xiàn)，具有廣闊的應用前景。