基于未知動態(tài)觀測器雙慣量伺服系統(tǒng)低頻主動諧振抑制

王樹波 ，李冬伍，任雪梅

(1.青島大學(xué)自動化學(xué)院，山東青島 266071;2.北京無線電測量研究所，北京 100854;3.北京理工大學(xué)自動化學(xué)院，北京 100081)

1 引言

雙慣量伺服系統(tǒng)是典型的控制系統(tǒng)，廣泛的應(yīng)用于軍事裝備以及航空航天等領(lǐng)域[1-5].伺服系統(tǒng)中的機械諧振受伺服機構(gòu)、傳動系統(tǒng)、負載特征等多方面因素的影響，表現(xiàn)形式為諧振點多，諧振特性有時會隨負載姿態(tài)和環(huán)境因素的變化而發(fā)生變化，雙慣量電機驅(qū)動系統(tǒng)的諧振特征則更加復(fù)雜機械諧振的存在會限制系統(tǒng)帶寬，并將嚴重影響系統(tǒng)的穩(wěn)定，影響了伺服系統(tǒng)的動態(tài)與靜態(tài)性能.

目前，針對伺服系統(tǒng)存在的機械諧振，研究人員從不同角度對其展開了深入的研究.Kaneko等[6]提出通過加速度反饋的方法抑制系統(tǒng)的機械諧振，但是需要安裝加速的傳感器測量加速度信號，增加成本不利于實際應(yīng)用.為了減少成本，很多學(xué)者采用在系統(tǒng)中串聯(lián)陷波器的方法，對諧振點進行抑制.如文獻[7]設(shè)計了數(shù)字濾波器通過調(diào)整參數(shù)消除系統(tǒng)的機械諧振.此外，擾動觀測技術(shù)被用來抑制伺服系統(tǒng)的機械諧振.文獻[8]基于Q-濾波技術(shù)設(shè)計了擾動觀測器，利用擾動觀測器估計二慣量系統(tǒng)的模型誤差及參數(shù)不確定性并融入到控制設(shè)計中有效的抑制了二慣量系統(tǒng)的機械振動.文獻[9]設(shè)計了擾動觀測器技術(shù)補償輸入不確定性及未知動態(tài)，并通過結(jié)合反演控制提出了魯棒跟蹤控制器抑制二慣量系統(tǒng)機械振動.文獻[10]利用負載端加速度信號設(shè)計力矩控制控制提高二慣量伺服系統(tǒng)的控制性能.一種力矩補償控制被用來抑制二慣量伺服系統(tǒng)的齒隙[11].文獻[12]研究了魯棒陷波器抑制二慣量伺服系統(tǒng)的彈性振動.另外，隨著人工智能技術(shù)的發(fā)展，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊邏輯控制被用來抑制伺服系統(tǒng)的機械振動[13-16].但是，陷波器等方法對諧振頻率，諧振寬度以及諧振振幅的辨識精度要求較高，魯棒性較差，同時辨識誤差會對臨近頻域產(chǎn)生影響，尤其是在低頻諧振補償時，陷波器對低頻特性影響嚴重.針對伺服系統(tǒng)的低頻機械諧振，采用主動諧振抑制策略也鮮有報道，而采用傳統(tǒng)觀測器來估計，則會遇到結(jié)構(gòu)復(fù)雜、調(diào)節(jié)參數(shù)多，造成控制系統(tǒng)瞬態(tài)性能差.

近來，滑?？刂凭哂休^強的魯棒性被廣泛的用于非線性系統(tǒng)的控制，但是傳統(tǒng)的滑?？刂拼嬖谄娈愋裕菀滓鹣到y(tǒng)的不穩(wěn)定[17-18].為了消除顫振現(xiàn)象，許多學(xué)者提出了各種改進的滑模面設(shè)計方法，如非奇異終端滑?？刂芠19]、新型非奇異終端滑?？刂芠20]，這些算法從一定程度上消除了傳統(tǒng)滑模存在的顫振現(xiàn)象.文獻[21]針對永磁同步電機伺服控制系統(tǒng)，設(shè)計了滑模力矩控制器改進了電機的控制精度.文獻[22]針對含不匹配擾動的直流變換器，設(shè)計了離散快速終端滑?？刂破鞲倪M變換器的性能.文獻[23]研究了自適應(yīng)模糊滑模控制在線性直流電機中的應(yīng)用.在上述的滑?？刂浦?，當切換面s=0，切換律不等于零，并且大多數(shù)現(xiàn)有工作的穩(wěn)態(tài)誤差界的分析主要針對離散系統(tǒng)，而對于連續(xù)時間系統(tǒng)則很少.

通過以上分析，本文針對雙慣量伺服系統(tǒng)，基于擾動觀測器提出了一種滑模主動控制諧振抑制方法.將雙慣量伺服系統(tǒng)的負載端等效到電機端，利用測量得到的電機端速度，通過濾波操作并根據(jù)不變流形原理設(shè)計未知擾動估計器，該估計器結(jié)構(gòu)簡單，只有一個可調(diào)參數(shù)(濾波時間常數(shù))，并將擾動估計值嵌入到控制設(shè)計中，實現(xiàn)對諧振的抑制.另外，為了消除傳統(tǒng)滑?？刂拼嬖诘念澱駟栴}，本文基于正切函數(shù)提出了一種新穎滑模到達律設(shè)計方法，利用新穎的滑模到達律設(shè)計了滑模控制器，實現(xiàn)對期望位置的精確跟蹤，并通過李雅普諾夫穩(wěn)定性理論分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.最后，通過與其他方法相比較，實驗驗證了本文提出的控制方法有效性.本文的主要貢獻點為:1)將負載端等效到電機端得到雙慣量系統(tǒng)動態(tài)方程，通過引入通濾波對雙慣量系統(tǒng)動態(tài)方程兩邊進行濾波操作得到濾波變量，并根據(jù)不變流形原理設(shè)計擾動觀測器，該觀測器只有一個可調(diào)參數(shù)(濾波時間常數(shù))，在實際應(yīng)用中方便可;2)將傳遞力矩(負載力矩)看成電機控制的擾動，通過設(shè)計觀測器觀測傳遞力矩，利用觀測信號構(gòu)建反饋回路，提升系統(tǒng)阻尼，抑制二慣量伺服系統(tǒng)的諧振;3)為了實現(xiàn)精確跟蹤，本文提出一種新穎的基于雙曲正切函數(shù)滑模面設(shè)計方法，該方法可以有效的避免傳統(tǒng)滑?？刂拼嬖诘拇駟?

2 問題描述

首先對雙慣量伺服系統(tǒng)機械諧振特性進行建模分析.雙慣量伺服系統(tǒng)傳動機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示，主要由伺服電機、減速器、末級大齒輪(從動輪)、伺服機構(gòu)(含傳動軸)共同組成.伺服電機帶動減速器，減速器輸出通過齒輪帶動末級大齒輪轉(zhuǎn)動，末級大齒輪直接帶動伺服機構(gòu)和負載運動.實際系統(tǒng)中，減速器傳動剛度Kr，與末級大齒輪和小齒輪的傳動剛度Kg基本相當，與伺服機構(gòu)的剛度Kθ相比非常小，因此在傳動系統(tǒng)中，主要體現(xiàn)的是減速器及末級齒輪的傳動剛度，在此定義傳動系統(tǒng)的傳動剛度為Kl.整個傳動系統(tǒng)的主要的慣性負載包括伺服電機、減速器、末級大齒輪及伺服機構(gòu)，一般情況下伺服電機、伺服機構(gòu)和負載的轉(zhuǎn)動慣量基本相當，末級大齒輪的轉(zhuǎn)動慣量Jg相比較很小，可以忽略，在此定義伺服電機及減速器的轉(zhuǎn)動慣量之和為Jm，伺服機構(gòu)與負載轉(zhuǎn)動慣量之和為Jl.通過上面分析可知，系統(tǒng)可以等效為典型的雙慣量系統(tǒng)，如圖2所示.

圖1 單電機驅(qū)動伺服系統(tǒng)傳動機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Structure diagram of single motor drive servo system transmission mechanism

圖2 簡化的雙慣量系統(tǒng)原理示意圖Fig.2 Simplified schematic diagram of two-inertia system

如圖2所示，忽略系統(tǒng)摩擦傳動齒隙影響，雙慣量伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型可以表示為

其中:θm為電機角位置，θl為負載角位置，Tm為電機端輸入力矩，Ts為傳遞力矩，Tl為負載力矩，Jm為電機慣量，Jl為負載慣量，Kl為彈性系數(shù).

由式(1)得到雙慣量系統(tǒng)方框圖如圖3所示.

圖3 雙慣量系統(tǒng)框圖Fig.3 Block diagram of two-inertia system

Tm到θm的開環(huán)傳遞函數(shù)如式(2)所示，Tm到θl的開環(huán)傳遞函數(shù)如式(3)所示:

從式(2)和式(3)可以計算得到系統(tǒng)的諧振頻率fr和反諧振頻率far如式(4)和式(5)所示:

其中R為慣量比.

本文的控制目標:1)設(shè)計未知擾動估計器在線估計傳遞力矩，并將估計值融入到控制設(shè)計中實現(xiàn)在線補償;2)設(shè)計滑?？刂破魇沟幂敵鑫恢媚軌驕蚀_地跟蹤期望位置.

3 基于擾動觀測器主動諧振抑制

該部分將基于未知動態(tài)估計器設(shè)計滑?？刂破鳎淇刂平Y(jié)構(gòu)如圖4所示.

圖4 控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.4 Block diagram of control structure

3.1 未知動態(tài)估計器設(shè)計

由式(1)可以得到雙慣量系統(tǒng)的運動方程為

其中:ωm表示電機端速度;u為控制輸入;b=; d為系統(tǒng)擾動，主要包括總的傳遞力矩Ts、摩擦和其他擾動力矩的共同作用.

假設(shè)1未知擾動d 是有界的，并且導(dǎo)數(shù)滿足其中? ＞0是常數(shù).

定義x1=θm，x2=ωm，系統(tǒng)方程可以寫成

為了方便設(shè)計擾動觀測器估計未知擾動，對式(8)進行濾波可以得到濾波變量x2f和uf:

其中κ表示濾波時間常數(shù).

接下來，采用不變流形來設(shè)計擾動觀測器，有以下引理:

引理1考慮方程(8)，定義輔助變量γ為

γ是有界且以指數(shù)形式遞減，并且

從上式可以看出，(x2-x2f)/κ-(buf+d)=0是一個時不變流型.

證對變量γ求導(dǎo)，可得選擇李雅普諾夫函數(shù)為V1=γ2/2，對其求導(dǎo)可得

根據(jù)以上分析，擾動觀測器設(shè)計為

為了分析擾動觀測器的收斂性，對方程(8)進行低通濾波s/(κs+1)，可以得到

根據(jù)方程(9)，可以得到

其中df表示d的濾波變量.可以得到觀測誤差

估計誤差可以進一步寫成

引理2對帶有擾動觀測器的雙慣量伺服系統(tǒng)，估計誤差ed是有界的，可以表示為

證考慮李雅普諾夫函數(shù)對其求導(dǎo)得

3.2 控制器設(shè)計

傳統(tǒng)的滑?？刂拼嬖谄娈愋?，容易引起系統(tǒng)不穩(wěn)定.為了消除奇異性，本文提出一種新型到達律.系統(tǒng)的跟蹤誤差定義為

本文提出一種新型的滑模到達律:

其中:k1和k2為控制器參數(shù)，α 和β為設(shè)計參數(shù)，q＞0 表示奇數(shù)，tanh s=為雙曲正切函數(shù)，a sinh s=是反雙曲正弦函數(shù).

注1本文提出的滑模到達律(22)可以收斂到平衡點附近但是不能夠穿越.因此，一旦滑模面s 到達理想?yún)^(qū)域[0，δ]內(nèi)，s 可以被認為實際收斂的，并且收斂時間為t=其中ks是δ的坡度.

定義滑模面為

對上式求導(dǎo)得

將式(7)代入式(24)，可得

根據(jù)以上分析，控制器可以設(shè)計為

3.3 穩(wěn)定性分析

定理1考慮雙慣量伺服系統(tǒng)(1)，以及由控制器(26)，擾動觀測器(14)組成的閉環(huán)控制系統(tǒng)，所有的信號是穩(wěn)定的并且跟蹤誤差能夠收斂到足夠小的區(qū)域內(nèi).

證選擇李雅普諾夫函數(shù)為

對上式求導(dǎo)可以得到

將控制器(26)代入上式得

根據(jù)有界性理論[24]，從不等式(29)中可以看出，滑模面s和擾動估計誤差ed是有界的，并且滑模面s可以最終收斂到一個小的領(lǐng)域內(nèi).因此，根據(jù)滑模面的定義(22)，滑模面s和跟蹤誤差e都可以收斂到一個小的有界集合內(nèi).證畢.

通過上述分析可知，對任意給的初始值滑模變量是有界的.這意味著跟蹤誤差是有界的，并且觀測誤差也是有界的.因此根據(jù)滑模面的定義，可以得到跟蹤誤差可以收斂到零附近一個小的區(qū)域內(nèi).

4 仿真與實驗

4.1 仿真結(jié)果

為了驗證本文提出雙曲正切函數(shù)滑模面算法的有效性，該部分對數(shù)值仿真進行研究.電機慣量參數(shù)Jm=0.1 kg·m2，控制器參數(shù)為

以及p=10.滑模面參數(shù)為λ=12，未知動態(tài)估計器濾波時間常數(shù)κ=0.05.系統(tǒng)摩擦力

采用正弦信號xd=sin(πt)作為參考信號.仿真結(jié)果如圖5所示.從圖5可以看出，本文采用雙曲正切函數(shù)設(shè)計的滑模能夠有效的克服傳統(tǒng)滑?？刂浦写嬖诘拇瘳F(xiàn)象，并且本文提出的控制方法產(chǎn)生的跟蹤誤差較小.

圖5 仿真結(jié)果:本文方法與傳統(tǒng)滑模方法比較Fig.5 Simulation results:the proposed method and conventional sliding mode method

為了驗證本文提出未知動態(tài)估計器的估計性能，本文采用擴張狀態(tài)觀測器作為比較，比較結(jié)果如圖6所示.從圖6可以看出，擴張?zhí)珷顟B(tài)觀測器也能夠觀測系統(tǒng)的擾動，但是估計值產(chǎn)生了延時，而本文提出的擾動觀測器能夠有效的估計擾動.除此之外，與基于擴張狀態(tài)估計器控制器相比較，基于本文提出的未知動態(tài)估計器的控制方法產(chǎn)生了跟小的跟蹤誤差.

圖6 仿真結(jié)果:本文方法與擴張狀態(tài)觀測器方法比較Fig.6 Simulation results:the proposed method and extended state observer method

4.2 實驗平臺

為了驗證文中所提的主動諧振抑制方法，本節(jié)對實驗進行研究，雙慣量伺服系統(tǒng)實驗平臺如圖7所示，圖7所示為四電機驅(qū)動伺服系統(tǒng)實驗平臺，該系統(tǒng)由4個松下交流電機作為驅(qū)動電機，其脈寬調(diào)制放大器集成在驅(qū)動板卡(Panasonic MCDDT3520)中，采用米格永磁同步電機(180ST-M35105)作為負載，其編碼器分辨率，為360度/64000轉(zhuǎn);4個數(shù)字信號處理板卡用于實現(xiàn)電機與上位機的通信，上位機為Pentium 3.0 GHz的PC機，采用C++語言在CCS 5.0環(huán)境下實現(xiàn)軟件開發(fā).上位機通過編碼器和傳感器的采樣信號，實時掌握電機和負載的位置和速度，并提供相應(yīng)的控制命令實現(xiàn)電機的在線控制.此外，該設(shè)備的采樣時間為ts=0.001 s.系統(tǒng)參數(shù)如表1所示.

圖7 慣量驅(qū)動伺服系統(tǒng)實物圖Fig.7 Diagram of inertia drive servo system

表1 雙慣量伺服系統(tǒng)參數(shù)Table 1 Parameters of two-inertia servo system

4.3 控制器設(shè)計

為了驗證本文所提算法的有效性，采用以下3種控制算法作為比較:

1) 基于擾動觀測器的主動補償控制(disturbance observer based active compensation control，DOBACC):由本文提出的控制器(26)和擾動觀測器(14)組成.控制器參數(shù)為k1=3，k2=1，k3=4，p=3，α=0.5，β=1，滑模面參數(shù)為λ1=10，濾波時間常數(shù)κ=0.01.

2) 基于擴張狀態(tài)觀測器的主動補償控制(extend state observer based active compensation control，ESOACC):本文采用擴張狀態(tài)觀測器(extended state observer)[25]，作為比較，擴張觀測器的增益β1=60，β2=120，控制器參與DOB-ACC控制器參數(shù)一致.

3) PID控制器:PID控制增益為Kp=300，Ki=0.1，Kd=2.

為了說明本文提出的控制算法的有效性，采用以下3種性能指標[25].

1) 跟蹤誤差最大絕對值:

2) 跟蹤誤差平均值:

其中N為樣本數(shù)量.

3) 跟蹤誤差的偏差:

4.4 實驗結(jié)果

為了驗證本文所提算法的有效性，采用幅值為8周期為4 的正弦信號xd=6 sin(2πt/4)作為輸入信號.負載的位置跟蹤、跟蹤誤差以及控制信號如圖8所示.從圖中可以看出，本文提出的基于擾動觀測器的主動控制方法具有更好的跟蹤性能，跟蹤誤差較小.通過比較DOB-ACC與ESO-ACC，本文提出的控制方法的跟蹤誤差小于ESO-ACC.在這3 種控制算法中，PID控制產(chǎn)生了較大的跟蹤誤差.這是由于本文提出的擾動觀測器融入到控制器設(shè)計中能有效的抑制雙慣量伺服系統(tǒng)諧振.

圖8 參考信號xd=6 sin(2πt/4)實驗結(jié)果:位置跟蹤和控制信號Fig.8 Experimental results for xd=6 sin(2πt/4):position tracking and control signals

為了進一步驗證算法的有效性，一種慢速時變的正弦信號xd=5 sin(2πt/6)作為參考信號.實驗結(jié)果如圖9所示.從圖中可以看出，與PID和ESO-ACC控制方法想比較，本文提出的DOB-ACC控制算法誤差較小，這是由于引入擾動觀測器能夠有效的估計系統(tǒng)的未知擾動，提高了系統(tǒng)的跟蹤性能.

圖9 參考信號xd=5 sin(2πt/6)實驗結(jié)果:位置跟蹤和控制信號Fig.9 Experimental results for xd=5 sin(2πt/6):position tracking and control signals

性能比較結(jié)果如表2-3所示，從表中可以看出，與PID和ESO-ACC相比較，本文提出控制方法在性能指標Me，Ae，Se優(yōu)于PID和ESO-ACC控制方法，這是因為本文采用未知動態(tài)估計器能夠有效的估計未知擾動，并融入到控制設(shè)計中能夠?qū)ξ粗獢_動進行補償.

表2 性能指標(xd=6 sin(2πt/4))Table 2 Performance indexes(xd=6 sin(2πt/4))

最后，采用幅值為5的階躍信號作為輸入信號測試系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng).實驗結(jié)果如圖10所示，從圖10可以看出，與另外兩種控制方法相比較，本文提出的控制方法具有較好的跟蹤性能.

圖10 階躍響應(yīng)Fig.10 Set-point response

5 結(jié)論

本文針對雙慣量伺服系統(tǒng)提出了一種基于擾動觀測器的滑模主動控制諧振抑制方法.通過設(shè)計結(jié)構(gòu)簡單的位置擾動觀測器在線估計雙慣量伺服系統(tǒng)的位置擾動，并將估計器融入到控制器設(shè)計中實現(xiàn)對諧振的主動抑制.為了提高雙慣量伺服系統(tǒng)的跟蹤精度，本文通過雙曲正切函數(shù)取代傳統(tǒng)滑模控制中的符號函數(shù)，提出了一種新穎的滑模面設(shè)計方法，在此基礎(chǔ)上設(shè)計滑?？刂破?該控制器能夠有效的對參考信號進行精確的跟蹤，提高了雙慣量伺服系統(tǒng)的控制精度.將所提的方法在多電機伺服系統(tǒng)實驗平臺驗證了算法的有效性.