指數(shù)-伽馬模型下在險(xiǎn)價(jià)值和條件在險(xiǎn)價(jià)值貝葉斯估計(jì)的中偏差原理

嚴(yán)鈞，章熙堯

( 揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州225002)

1.引言

在險(xiǎn)價(jià)值(VaR，Value-at-Risk)和條件在險(xiǎn)價(jià)值(CVaR，conditional Value-at-Risk)是兩種常用的風(fēng)險(xiǎn)度量.Jorion[1]較完整地描述了VaR的定義，通過(guò)進(jìn)一步研究推廣而廣泛的用于風(fēng)險(xiǎn)度量領(lǐng)域[2-5].由于VaR具有一些缺點(diǎn)，例如不滿足次可加性且忽略了分位點(diǎn)的信息，僅考慮了預(yù)期最大損失.所以人們引入了風(fēng)險(xiǎn)度量CVaR[6]，它不僅滿足平移不變性，次可加性，正齊性以及單調(diào)性，而且具有VaR特有的性質(zhì)[7-8].設(shè)X為定義在概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的隨機(jī)變量，累積分布函數(shù)為F.X的水平α的VaR定義為

其中，F(xiàn)-1(s)=inf{t;F(t)≥s}為分布函數(shù)F的廣義反函數(shù).X的水平為α的CVaR定義為

等價(jià)地[9]

特別地，如果X服從密度為θe-θx，x ＞0的指數(shù)分布，則

在金融市場(chǎng)中，參數(shù)θ反映了隨機(jī)變量X的風(fēng)險(xiǎn)特征，考慮到風(fēng)險(xiǎn)的非齊次性[10]，不妨假定θ為隨機(jī)變量，滿足某種先驗(yàn)分布，此時(shí)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)X的度量和評(píng)估落入貝葉斯框架[11].章溢等[12]考慮了指數(shù)-伽馬模型下VaR的貝葉斯估計(jì)的漸近性質(zhì).具體地，設(shè)θ服從密度為π(θ)=(βλ/Γ(λ))θλ-1e-βθ，θ ＞0，設(shè)在θ給定的條件下，X1，X2...，Xn獨(dú)立同分布，它們共同的密度為f(x|θ)=θe-θx，x ＞0.章溢等[12]構(gòu)造了如下的估計(jì)量

風(fēng)險(xiǎn)度量估計(jì)量的漸近行為的研究是風(fēng)險(xiǎn)管理的熱點(diǎn)問(wèn)題.GAO[13]研究了經(jīng)驗(yàn)CVaR的大偏差原理和中偏差原理，XING[14]研究了投資組合損失的尾部失真風(fēng)險(xiǎn)度量和各個(gè)資產(chǎn)損失的在險(xiǎn)價(jià)值之和的漸近比率，CAI[15]研究了幾種風(fēng)險(xiǎn)度量的漸近等價(jià)性.受這些研究結(jié)果的啟發(fā)，本文研究?jī)蓚€(gè)貝葉斯估計(jì)量(X1，X2，...，Xn) 和(X1，X2，...，Xn) 的中偏差原理.

2.指數(shù)-伽馬模型下VaR和CVaR貝葉斯估計(jì)的中偏差原理

定理2.11)-VaRα(X)，n ≥1} 滿足速度函數(shù)為速率函數(shù)為V(x)的中偏差原理

即對(duì)于任意的A ?R

即對(duì)于任意的B ?R

證1) 根據(jù)大偏差理論[16]，我們需要計(jì)算

事實(shí)上，

由Taylor展開

所以

由于

所以

進(jìn)一步

同理

因此

2) 證明與1)類似，故省略具體的證明過(guò)程.

3.數(shù)值模擬

下面我們給出主要結(jié)果的隨機(jī)模擬，具體地，在定理2.1中，取A=B =(-∞，?]∪[?，+∞)，?＞0，則有

即對(duì)于充分大的n，有

取

1) α=0.95，?=0.1，λ=4，β =2;

2) θ 取1000個(gè)服從Γ(4，2)隨機(jī)數(shù)的中位數(shù);

3) a(n)=n0.99.

為了方便，記

模擬結(jié)果如下:

表3.1 P(n)，Q(n)，P*(n)，Q*(n)的模擬結(jié)果

圖3.1 P(n)和Q(n)的模擬結(jié)果(左圖)與P*(n)和Q*(n)的模擬結(jié)果(右圖)

圖3.1左邊為P(n)和Q(n)的模擬結(jié)果，顯然P(n)趨向于0，當(dāng)n充分大時(shí)，P(n)和Q(n)吻合情況很好；右邊為P*(n)和Q*(n)的模擬結(jié)果，P*(n)同樣趨向于0，當(dāng)n充分大時(shí)，P*(n)和Q*(n)吻合情況也很好.