群體評價中的序關(guān)系分析法

宮誠舉，李偉偉，郭亞軍

（1.哈爾濱工程大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.東北大學(xué) 工商管理學(xué)院，遼寧 沈陽 110169）

0 引言

20世紀(jì)70年代美國運(yùn)籌學(xué)家Saaty提出了層次分析（AHP）法［1，2］，得到了學(xué)者的廣泛關(guān)注，但應(yīng)用層次分析法時構(gòu)造符合一致性條件的判斷矩陣是一個復(fù)雜的問題，并且Saaty給出的判斷矩陣一致性檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)的科學(xué)性也受到許多學(xué)者的質(zhì)疑［3］。針對層次分析法存在的問題，郭亞軍教授認(rèn)為產(chǎn)生上述問題的根源在于能否真實(shí)唯一的給出指標(biāo)之間的序關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上提出了一種無須一致性檢驗(yàn)的序關(guān)系分析（G1）法［4］。目前序關(guān)系分析（G1）法在國內(nèi)已經(jīng)得到廣泛的研究和應(yīng)用，主要體現(xiàn)在：（1）序關(guān)系分析法的改進(jìn)。文獻(xiàn)［5］摒棄序關(guān)系分析法中要求評價指標(biāo)間滿足強(qiáng)一致性的條件，提出了一種評價指標(biāo)滿足弱一致性條件的改進(jìn)型序關(guān)系分析法；（2）區(qū)間數(shù)序關(guān)系分析法。文獻(xiàn)［6］針對群組評價中各評價者給出的相鄰指標(biāo)重要性比值均為區(qū)間數(shù)的情況進(jìn)行研究，給出一種區(qū)間標(biāo)度群組序關(guān)系分析法；（3）不同標(biāo)度對序關(guān)系分析法的影響。文獻(xiàn)［7］對常用的5種標(biāo)度應(yīng)用在序關(guān)系分析法中的合理性進(jìn)行了分析，并給出了選擇適合序關(guān)系分析法的標(biāo)度的方法。（4）序關(guān)系分析法的應(yīng)用［8］。目前序關(guān)系分析法已經(jīng)廣泛的應(yīng)用在機(jī)械、電力、石油等行業(yè)。

隨著評價問題的復(fù)雜性和信息量的不斷增加，越來越多的評價問題需要多個評價者參與，這便構(gòu)成了群體評價［9～12］，雖然關(guān)于序關(guān)系分析法的研究很多，但很少有研究針對群體評價中的序關(guān)系分析法，文獻(xiàn)［6］的研究雖然是針對區(qū)間數(shù)情況下群體評價中的序關(guān)系分析法，但當(dāng)區(qū)間數(shù)退化為具體數(shù)值時是否與原序關(guān)系分析法計算的權(quán)重相同有待進(jìn)一步的論證。文獻(xiàn)［13］則是通過協(xié)商各評價者對評價指標(biāo)的序關(guān)系和相鄰指標(biāo)重要程度的比值解決群體評價中序關(guān)系分析法的應(yīng)用問題，但是這種方法改變了各評價者最初的想法，甚至?xí)霈F(xiàn)向“權(quán)威”專家妥協(xié)的情況。因此，本文針對群體評價問題的具體情況，提出一種在群體評價中不需要協(xié)商的序關(guān)系分析法，以解決如何將序關(guān)系分析法應(yīng)用在群體評價中的問題。

1 問題描述與假設(shè)條件

1.1 問題描述

對于一個群體評價問題，設(shè)評價者的集合為S＝｛s1，s2，…，sn｝，評價指標(biāo)的集合為X＝｛x1，x2，…，xm｝，被評價對象的集合為O＝｛o1，o2，…，op｝，評價者權(quán)重的集合為＝1。xij表示被評價對象oi在評價指標(biāo)xj下的觀測值，其中，i＝1，2，…，p，j＝1，2，…，m，k＝1，2，…，n，不失一般性，令m，n，p≥3。由于群體評價中各評價者的知識背景、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)以及看待問題的角度均不相同，因此將序關(guān)系分析法應(yīng)用到群體評價時會出現(xiàn)3種情況：（1）各評價者給出的評價指標(biāo)間的序關(guān)系和相鄰指標(biāo)之間重要程度的比值均相同；（2）各評價者給出的評價指標(biāo)間的序關(guān)系完全相同，但相鄰指標(biāo)重要程度的比值不同；（3）各評價者給出的評價指標(biāo)間的序關(guān)系和相鄰指標(biāo)重要程度的比值均不同。顯然第一種情況在群體評價中很難出現(xiàn)，而另外兩種情況比較容易出現(xiàn)，尤其是第3種情況，因此如何在群體評價中應(yīng)用序關(guān)系分析法是綜合評價研究中值得考慮的問題。

1.2 假設(shè)條件

本文的研究基于以下2點(diǎn)前提假設(shè)：

（1）各被評價對象在各評價指標(biāo)下的信息值均為客觀值。

（2）各評價者之間不存在信息交流的情況。

2 序關(guān)系分析法簡介［3］

設(shè)xij為經(jīng)過指標(biāo)類型一致化處理和無量綱化處理后的指標(biāo)信息。

（1）確定評價指標(biāo)間的序關(guān)系

定義1若評價指標(biāo)xa相對于某準(zhǔn)則的重要程度大于或等于xb時，則記為xa?xb，其中xa，xb∈X。

定義2若評價指標(biāo)x1，x2，…，xm相對于某準(zhǔn)則具有關(guān)系式

則稱評價指標(biāo)x1，x2，…，xm之間按“?”確立了序關(guān)系。式中表示｛xj｝按序關(guān)系“?”排定順序后的第j個評價指標(biāo)（j＝1，2，…，m），式（1）的確定方法可參考文獻(xiàn)［3］。為書寫方便且不失一般性，仍記式（1）為

（2）確定相鄰指標(biāo)間相對重要程度的比值

設(shè)評價者關(guān)于評價指標(biāo)xc-1與xc間的重要程度之比ωc-1／ωc的理性判斷為

rc的取值可參考表1選取。

表1 rc取值參考表

定理1若x1，x2，…，xm具有式（2）的序關(guān)系，則rc-1與rc之間滿足

（3）計算各評價指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)

定理2若評價者給出rc的理性賦值滿足定理1，則

3 評價者權(quán)重的確定

群體評價中由于各評價者的知識背景、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)以及看待問題的角度均不相同，因此各評價者對于同一評價問題的貢獻(xiàn)度也不盡相同，各評價者的權(quán)重大小也應(yīng)不盡相同，本文從各評價者對同一評價問題的掌握程度計算各評價者權(quán)重。

（1）從指標(biāo)排序的角度衡量各評價者權(quán)重

（2）從指標(biāo)權(quán)重的角度衡量各評價者權(quán)重

（3）綜合計算各評價者的權(quán)重

μk越大，說明評價者sk對評價問題的綜合掌握程度越大，反之，μk越小，說明評價者sk對評價問題的綜合掌握程度越小。

4 針對群體評價的序關(guān)系分析法

設(shè)計針對群體評價的序關(guān)系分析法的關(guān)鍵之處在于如何根據(jù)群體評價信息確定出一個唯一的指標(biāo)序關(guān)系及相鄰指標(biāo)的重要程度比值，下面給出群體評價中應(yīng)用序關(guān)系分析法的步驟。

（1）確定各評價者給出的指標(biāo)重要程度之比的判斷矩陣

式中，Ak為由評價者sk給出的評價指標(biāo)間的序關(guān)系和相鄰指標(biāo)相對重要程度的比值確定的判斷矩陣表示評價者sk給出的評價指標(biāo)xl與評價指標(biāo)xj間重要程度的比值，且

定理3［13］矩陣Ak是完全一致的判斷矩陣。

證明1設(shè)j＞d＞l，顯然由式（10）有

所以矩陣Ak為完全一致的判斷矩陣。

（2）將Ak集結(jié)成群判斷矩陣A

定理4群判斷矩陣A為完全一致的判斷矩陣。

證明2設(shè)j＞s＞l，顯然有alj＞0，由式（11）有

所以群判斷矩陣A為完全一致性判斷矩陣。

（3）計算各評價指標(biāo)的權(quán)重

a）按照層次分析法求解權(quán)重的方法求解

由于群判斷矩陣A為完全一致性矩陣，因此可按層次分析法直接求解指標(biāo)權(quán)重，即

b）按序關(guān)系分析法求解指標(biāo)權(quán)重

根據(jù)完全一致性群判斷矩陣確定集結(jié)各評價者信息后的指標(biāo)序關(guān)系，記做

并根據(jù)一致性矩陣A中的元素alj確定相鄰指標(biāo)間相對重要程度的比值由式（2）、式（3）可得

定理5無論用層次分析法還是序關(guān)系分析法，計算得到的評價指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)是完全相同的，即方法a）和方法b）計算的結(jié)果相同。

證明3設(shè)評價指標(biāo)的序關(guān)系為x1?x2?…?xm，根據(jù)序關(guān)系分析法可得

又因?yàn)槿号袛嗑仃嘇為完全一致性判斷矩陣，所以有alkakj＝alj，將其帶入式（20）可得ωj＝aj，mωm。若根據(jù)序關(guān)系分析法計算得到的權(quán)重與層次分析法計算得到的權(quán)重相同，則按照序關(guān)系分析法計算得到的權(quán)向量為群判斷矩陣A的特征向量，則有Aω＝λω，即

根據(jù)式（23）可知應(yīng)用序關(guān)系分析法計算出的權(quán)向量是群判斷矩陣A的特征向量，此時的特征值為m，又因?yàn)橥耆恢碌呐袛嗑仃囎畲筇卣鞲扔诰仃嚨碾A數(shù)，所以λ＝λmax（A）＝m，因此可知根據(jù)序關(guān)系分析法計算出的權(quán)向量是群判斷矩陣A的最大特征值對應(yīng)的特征向量，所以定理5成立。

結(jié)論由定理5的證明過程可知，定理5不受確定rc時所選擇的標(biāo)度類型［7］的影響。

可以證明，當(dāng)評價者的數(shù)量n＝1或各評價者給出的評價指標(biāo)序關(guān)系和相鄰指標(biāo)的重要性程度的比值均相同時，本文提出的方法退化為普通的序關(guān)系分析法，證明過程從略。

4 應(yīng)用算例

對于一個群體評價問題，設(shè)有4個評價者分別為s1，s2，s3，s4，4個評價指標(biāo)分別為x1，x2，x3，x4，各評價者給出的指標(biāo)序關(guān)系及相鄰兩個指標(biāo)的重要程度的比值如表2所示。

表2 各評價者的評價信息

（1）由各評價者給出的指標(biāo)序關(guān)系可得到各評價者對于各評價指標(biāo)的排序值，根據(jù)式（7）計算可得ek＝｛0.966，0.909，0.738，0.909｝。由各評價者給出的相鄰指標(biāo)的排序值及序關(guān)系分析法，通過式（5）、式（6）計算各評價者的評價信息按序關(guān)系分析法計算得到的指標(biāo)權(quán)重，并根據(jù)式（8）計算可得hk＝｛0.905，0.835，0.906，0.951｝。

（2）根據(jù)式（9）計算各評價者的權(quán)重系數(shù)，最終的計算結(jié)果為μk＝｛0.276，0.240，0.211，0.273｝。根據(jù)各評價者提供的評價信息及式（10）計算各評價者的判斷矩陣，并按照式（11）對各評價者的判斷矩陣進(jìn)行集結(jié)，得到的群判斷矩陣A如下，可以驗(yàn)證群判斷矩陣A是完全一致的，與文中定理4的結(jié)論相同。

（3）根據(jù)群判斷矩陣A到最終的指標(biāo)排序結(jié)果為x2?x4?x1?x3，且＝1.08，可以看出，最終得到的排序結(jié)果和相鄰指標(biāo)重要程度的比值是結(jié)合所有評價者提供的評價信息的結(jié)果，且相鄰指標(biāo)重要程度的比值更加精確，有利于提高評價結(jié)果的準(zhǔn)確性。

（4）根據(jù)式（17）和式（18）計算各評價指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)為｛0.195，0.373，0.180，0.252｝，通過計算，利用層次分析法得到的權(quán)重系數(shù)與本文計算的結(jié)果完全相同，說明在判斷矩陣為完全一致性矩陣時，應(yīng)用層次分析法和序關(guān)系分析法求解權(quán)重的結(jié)果是相同的，與文中定理5的結(jié)論相同。

5 結(jié)束語

本文針對在群體評價中應(yīng)用序關(guān)系分析法時，各評價者給出的評價指標(biāo)序關(guān)系及相鄰指標(biāo)的重要程度比值通常不相同的問題，提出了一種群體評價中的序關(guān)系分析法，該方法具有如下特征：

（1）與直接集結(jié)各評價者的指標(biāo)權(quán)重相比，該方法考慮的信息更全面，在確定評價者權(quán)重以及確定群判斷矩陣的過程中，綜合考慮了各評價者的評價信息，最終計算的指標(biāo)權(quán)重是各評價者提供的指標(biāo)序關(guān)系、指標(biāo)排序值和相鄰指標(biāo)重要程度比值等共同作用的結(jié)果；

（2）方法中的判斷矩陣無需一致性檢驗(yàn)，方法中各評價者的判斷矩陣以及群判斷矩陣均是完全一致性矩陣，尤其對評價指標(biāo)數(shù)較多的評價問題，大大降低了其計算量；

（3）方法同樣適用于單個評價者的評價問題，當(dāng)評價者的數(shù)量為1時，方法與普通的序關(guān)系分析法得到的指標(biāo)權(quán)重完全相同；

（4）從文中也可以看出序關(guān)系分析法是解決層次分析（AHP）法存在的問題的一種良好的主觀賦權(quán)法。