教學(xué)案例《用二分法求方程的近似解》

侯杰

【課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)要求】

根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。

【分解依據(jù)】

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)要求以及考試說明進(jìn)行分解，從學(xué)生已有的認(rèn)知水平進(jìn)行解讀.

用二分法求方程的近似解是新課程中新增內(nèi)容。教科書分三個(gè)層面來展現(xiàn)：第一層面，從簡單的一元二次方程和二次函數(shù)入手，建立起方程的根和函數(shù)的零點(diǎn)的聯(lián)系。第二層面，通過二分法求方程近似解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系。第三層面，通過建立函數(shù)模型以及運(yùn)用模型解決問題，進(jìn)一步體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系。

本課正處于第二個(gè)層面，本節(jié)內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具性、應(yīng)用性，同時(shí)也滲透了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、算法思想和逼近思想等數(shù)學(xué)思想。

從學(xué)生的已有知識(shí)情況看，學(xué)生通過第一課時(shí)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)知道了方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的聯(lián)系，并且已經(jīng)學(xué)會(huì)了判斷函數(shù)零點(diǎn)存在性的方法，所以本節(jié)課應(yīng)重點(diǎn)強(qiáng)化函數(shù)與方程的關(guān)系，并利用二分法求方程的近似解，以體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。

具體分解如下：

【課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)】

由以上解讀與分解，確立本單元的學(xué)習(xí)目標(biāo)如下：

（1）通過實(shí)例演示，學(xué)生初步感知二分法思想；

（2）通過學(xué)生舉例及實(shí)例分析，歸納二分法的實(shí)質(zhì)；

（3）通過具體數(shù)學(xué)問題，感知新舊知識(shí)的聯(lián)系及實(shí)際問題與數(shù)學(xué)問題的聯(lián)系，及二分法思想、逼近思想；

（4）通過幾何畫板展示，讓學(xué)生歸納用二分法求方程近似解的步驟；

（5）通過觀察與探究，學(xué)生嘗試用二分法求方程的近似解；

（6）通過梳理，說出二分法的定義，及用二分法求方程近似解的步驟；

（7）經(jīng)歷二分法定義與用二分法求方程近似解步驟的探究與應(yīng)用過程，體會(huì)“觀察—?dú)w納—猜想—驗(yàn)證（或證明）—應(yīng)用” 的思想方法，并能應(yīng)用它解決數(shù)學(xué)問題。

【教學(xué)重點(diǎn)】

1.對(duì)二分法基本思想的理解；

2.借助計(jì)算器用二分法求方程近似解的步驟和過程的掌握。

【教學(xué)難點(diǎn)】

1.精確度的理解；

2.求方程近似解的步驟的概括和理解。

【過程設(shè)計(jì)與評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)】

一、設(shè)置問題情境，理解二分法思想

1. 設(shè)置情境：某天，某學(xué)校的一棟宿舍樓內(nèi)的二樓的樓道里出現(xiàn)了一只老鼠，在發(fā)現(xiàn)老鼠的第一時(shí)間內(nèi)，學(xué)生將各個(gè)宿舍的門及樓梯口都堵住了，使得老鼠只能在樓道這個(gè)封閉的空間內(nèi)活動(dòng)，開始準(zhǔn)備抓老鼠，如果你在現(xiàn)場，你將采用怎樣的方法去抓老鼠呢？

（學(xué)生思考給出解決問題的方法，教師通過flash演示給出其中一種方法，讓學(xué)生從中體會(huì)一分為二的思想方法。）

2. 提出問題：在現(xiàn)實(shí)生活中還有哪些實(shí)際問題可以利用一分為二的方法快速解決？

學(xué)生互相討論，給出具體的例子。教師展示幾個(gè)具體的例子。（海底電纜，稱重，猜價(jià)格）

3. 分析實(shí)例：分析猜價(jià)格的例子，視頻演示給出豆?jié){機(jī)的價(jià)格，給出游戲規(guī)則，豆?jié){機(jī)的價(jià)格在200——500之間，每次猜價(jià)后主持人會(huì)給出高了或低了的提示，每個(gè)選手只有4次機(jī)會(huì)，若所猜價(jià)格與商品實(shí)際價(jià)格之間的誤差不超過20元就算猜中。

教師給出四個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生思考：

問題一：主持人給出的高了或低了的提示有什么作用？

問題二：誤差不超過20元，如何理解？

問題三：參賽者，在4次內(nèi)怎樣猜，可以猜中價(jià)格？

問題四：若將誤差縮小為10元，在4次內(nèi)能否猜中價(jià)格？

4.分析歸納：在誤差允許的范圍內(nèi)，要找到某個(gè)特定值的近似解，可以通過取特定值所在的范圍的中點(diǎn)的方法逐步縮小其范圍，從而取得近似值。

二、用二分法求方程的近似解

1.實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)銜接及實(shí)際問題到數(shù)學(xué)問題的知識(shí)遷移，教師設(shè)置四個(gè)問題：

問題一：函數(shù)y=lnx+2x-6在區(qū)間（2，3）上有零點(diǎn)嗎？

問題二：函數(shù)y=lnx+2x-6在區(qū)間（2，3）上有幾個(gè)零點(diǎn)？

問題三：你能找到這個(gè)零點(diǎn)？即解方程lnx+2x-6=0.

問題四：能否求方程lnx+2x-6=0的近似解？

2.展示幾何畫板，展示縮小區(qū)間的過程，并引出精確度的概念，學(xué)生思考用二分法求方程近似解的步驟。

3.學(xué)生試著求方程lnx+2x-6=0的近似解（精確度0.1）。

（ln2≈0.6931， ln3 ≈1.0986， ln2.5 ≈0.9163，ln2.25 ≈0.8109，

ln2.75 ≈1.0116，ln2.625 ≈0.9651， ln2.5625 ≈0.9410， ln2.53125 ≈0.9287）

學(xué)生到黑板展示自己的解題過程。

三、形成概念、方法歸納

教師給出二分法的定義，并強(qiáng)調(diào)定義中的重點(diǎn)。

學(xué)生總結(jié)歸納用二分法求方程近似解的步驟。

教師用框圖結(jié)構(gòu)進(jìn)一步展示用二分法求方程近似解的步驟，滲透算法思想。

評(píng)價(jià)和說明

1、這節(jié)課安排了創(chuàng)設(shè)問題情境，設(shè)置問題組、引發(fā)認(rèn)知沖突；問題調(diào)整、直面主題；問題深入、嘗試探求；交流合作，解決問題；歸納總結(jié)、揭示新知；應(yīng)用新知、解決問題；小結(jié)評(píng)價(jià)、布置作業(yè)等環(huán)節(jié)。本節(jié)課以問題為主線，圍繞數(shù)形結(jié)合、逼近、化歸的數(shù)學(xué)思想方法這一主題來展開的。

2、本設(shè)計(jì)注意應(yīng)用建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論，引導(dǎo)認(rèn)知主體積極參與到探索、發(fā)現(xiàn)、討論、交流的學(xué)習(xí)活動(dòng)中去，使課堂教學(xué)成為學(xué)生親自參與的充滿豐富生動(dòng)的數(shù)學(xué)思想場所。

3、教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)課程和信息技術(shù)的整合，利用幾何畫板軟件、flash軟件、ppt課件等，畫面豐富生動(dòng)，使學(xué)生的多種感官獲得外部刺激，有利于完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高教學(xué)效率。

（河北衡水中學(xué)）