中考“面積問(wèn)題”的教學(xué)實(shí)踐與思考

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于解決問(wèn)題。好的數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)與學(xué)生的實(shí)際生活有著直接的聯(lián)系，應(yīng)當(dāng)具有較強(qiáng)的探索性、現(xiàn)實(shí)意義和趣味性以及知識(shí)性。面積問(wèn)題是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中的“連結(jié)點(diǎn)”，其常結(jié)合一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、三角形全等和相似、四邊形、圓等初中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容成為考試試題。

一、認(rèn)識(shí)：面積問(wèn)題的類型

面積問(wèn)題為學(xué)生提供了一個(gè)觀察、分析、猜想并進(jìn)行說(shuō)理驗(yàn)證的探究模型，以圖形的運(yùn)動(dòng)變化為策略，使學(xué)生能在一個(gè)動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)情境中感悟知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，探索問(wèn)題的結(jié)論和規(guī)律的變化，真正理解圖形的性質(zhì)。

1.公式法

例1.如圖，將一塊三角板和半圓形量角器按圖中方式疊放，三角板一邊與量角器的零刻度線所在直線重合，重疊部分的量角器弧對(duì)應(yīng)的圓心角(∠AOB)為120°，OC 的長(zhǎng)為2cm，則三角板和量角器重疊部分的面積為_(kāi)____。

分析：在Rt△OBC中求出OB、BC，然后求出扇形OAB及△OBC的面積即可得出答案。本題考查了扇形的面積計(jì)算，解答本題關(guān)鍵是求出扇形的半徑，熟練掌握扇形的面積公式。

面積問(wèn)題，有的是直接計(jì)算面積，有的是以面積為條件求其他，更多的情況是由圖形的運(yùn)動(dòng)引起圖形的變化，從而建立面積函數(shù)關(guān)系。中考命題中如何從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)材料，并將獲得的材料符號(hào)化，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、應(yīng)用性、實(shí)踐性、開(kāi)放性、探究性，這是中考數(shù)學(xué)試題的重要特征。

2.割補(bǔ)法

例2.如圖，AE是半圓O的直徑，弦，弦CD=DE=4，連結(jié)OB、OD，則圖中兩個(gè)陰影部分的面積和為_(kāi)___。

分析：根據(jù)弦AB=BC，CD=DE，可得∠BOD=90°，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，OG⊥CD于點(diǎn)G，在四邊形OFCG中可得∠FCD=135°，過(guò)點(diǎn)C作CN∥OF，交OG于點(diǎn)N，判斷△CNG、△OMN為等腰直角三角形，分別求出NG、ON，繼而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圓O的半徑，代入扇形面積公式求解即可。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)是學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)體系的過(guò)程，學(xué)生只有通過(guò)自身的操作活動(dòng)和主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)才是有效的。在學(xué)生動(dòng)手操作、探究的過(guò)程中，逐步形成分析、判斷、推理、歸納、表達(dá)等能力。

3.整體法

例3.如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為點(diǎn)M，AB=20，分別以CM、DM為直徑作兩個(gè)大小不同的⊙O1和⊙O2，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)___(結(jié)果保留π)。

分析：因?yàn)轭}目中沒(méi)有告知⊙O1和⊙O2的半徑大小，說(shuō)明所求陰影部分的面積與其大小是沒(méi)有關(guān)系的，這是一道選擇題，在考試的時(shí)候，直接計(jì)算顯然是不可取的，計(jì)算量大，費(fèi)時(shí)且容易出錯(cuò)，可用特殊值法整體考慮求解。

二、實(shí)踐：面積問(wèn)題的解題策略

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，同時(shí)也必將應(yīng)用于生活，學(xué)數(shù)學(xué)就是為了解決生活中所碰到的實(shí)際問(wèn)題。近幾年的中考題相當(dāng)注重運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的考查，考查層次非常豐富，不同水平的學(xué)生可以充分展示自己不同的探究深度，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法去探索規(guī)律、獲取新知的能力。

例4.如圖，直線l1⊥x軸于點(diǎn)A(2，0)，點(diǎn)B是直線l1上的動(dòng)點(diǎn)。直線l2：y=x+1 交l1于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作直線l3垂直于l2，垂足為D，過(guò)點(diǎn)O、B的直線l4交l2于點(diǎn)E。當(dāng)直線l1、l2、l3能圍成三角形時(shí)，設(shè)該三角形面積為S1，當(dāng)直線l2、l3、l4能圍成三角形時(shí)，設(shè)該三角形面積為S2。1.若點(diǎn)B在線段AC上，且S1=S2，則B點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_▲__；2.若點(diǎn)B在直線l1上，且，則∠BOA的度數(shù)為_(kāi)_▲__。

分析：1.設(shè)B的坐標(biāo)是(2，m)，則△BCD是等腰直角三角形，即可表示出S1，求得直線l1的解析式，解方程組即可求得E的坐標(biāo)，則S2的值即可求得，根據(jù)S1=S2，即可得到一個(gè)關(guān)于m的方程從而求得m的值；2.根據(jù)，即可得到一個(gè)關(guān)于m的方程從而求得m的值，得到AB的長(zhǎng)，從而求得∠BOA的正切值，求得角的度數(shù)。

“能使學(xué)生獲得受用終生的東西的教育，才是最高尚最好的教育?！睌?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，正是這樣一件富有意義的工作。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，不論將來(lái)從事什么工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法，可以隨時(shí)隨地會(huì)發(fā)生作用，使他們受益終生。