旋轉(zhuǎn)懸臂Rayleigh軸的Galerkin近似解1)

張玉環(huán) 任勇生 張金峰

(山東科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，山東青島266590)

在機(jī)械工程領(lǐng)域，蒸汽機(jī)、燃?xì)鈾C(jī)、內(nèi)燃機(jī)驅(qū)/傳動(dòng)軸、機(jī)床主軸以及鏜/銑削刀具，均可簡(jiǎn)化為一類(lèi)典型的旋轉(zhuǎn)軸力學(xué)模型，精確地描述旋轉(zhuǎn)軸的動(dòng)力學(xué)建模和動(dòng)力學(xué)特性對(duì)于提高機(jī)械效率和/或者機(jī)床加工精度具有重要的理論指導(dǎo)意義。旋轉(zhuǎn)軸的動(dòng)力學(xué)建模理論包括經(jīng)典的Euler-Bernoulli梁理論、在Euler-Bernoulli梁模型中引入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的Rayleigh梁理論，以及在Rayleigh梁模型中引入剪切變形的Timoshenko梁理論。其中，Euler-Bernoulli梁理論適用于分析細(xì)長(zhǎng)軸的低階振動(dòng)特性。既然鏜/銑削系統(tǒng)的顫振大多數(shù)是圍繞細(xì)長(zhǎng)刀桿結(jié)構(gòu)的低階固有頻率發(fā)生的[1]，并且由于旋轉(zhuǎn)軸上陀螺效應(yīng)的存在，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響也是不容忽視的，所以，為了精確揭示旋轉(zhuǎn)細(xì)長(zhǎng)軸的動(dòng)力學(xué)特性，采用Rayleigh梁理論對(duì)旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模與數(shù)值分析是十分必要的。

Dimentberg[2]采用Euler-Bernoulli梁導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)軸的特征方程。Lee等[3]給出旋轉(zhuǎn)Rayleigh簡(jiǎn)支軸和懸臂軸的特征值和特征函數(shù)。Katz等[4]基于Timoshenko梁理論分析了旋轉(zhuǎn)軸的動(dòng)力學(xué)特性。Zu等[5-6]基于模態(tài)分析法對(duì)具有不同邊界條件的旋轉(zhuǎn)Timoshenko軸進(jìn)行自由振動(dòng)分析。Shiau等[7]給出旋轉(zhuǎn)簡(jiǎn)支Rayleigh軸渦動(dòng)頻率的封閉解。Sheu等[8]建立簡(jiǎn)支旋轉(zhuǎn)Rayleigh軸的渦動(dòng)頻率的解析表達(dá)式。Banerjee等[9]導(dǎo)出Euler-Bernoulli復(fù)合材料梁的動(dòng)剛度矩陣并采用Wittrick-Williams算法求解自由振動(dòng)和臨界轉(zhuǎn)速。任勇生等[10]建立Euler-Bernoulli黏彈性復(fù)合材料旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)方程，采用Galerkin法求解得到渦動(dòng)頻率與阻尼。

經(jīng)典的求解方法是利用分離變量法對(duì)偏微分運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行求解，建立表征模態(tài)振型的特征方程，由于特征方程與特征值是渦動(dòng)頻率和轉(zhuǎn)速的非線性函數(shù)，所以無(wú)法得到渦動(dòng)頻率解的封閉表達(dá)式，只能采用數(shù)值計(jì)算的方法求解非線性特征方程，以獲得Rayleigh軸的渦動(dòng)頻率和臨界轉(zhuǎn)速。Galerkin法是一種尋求振動(dòng)系統(tǒng)連續(xù)偏微分方程近似解的實(shí)用、有效近似解法，已經(jīng)在線性與連續(xù)非線性振動(dòng)系統(tǒng)的求解中得到了廣泛的應(yīng)用[11-12]。

本文研究旋轉(zhuǎn)懸臂軸的渦動(dòng)頻率和臨界轉(zhuǎn)速。為了獲得渦動(dòng)頻率和臨界轉(zhuǎn)速的近似解，首先給出基于分離變量解法的旋轉(zhuǎn)懸臂軸的渦動(dòng)頻率和臨界轉(zhuǎn)速求解數(shù)學(xué)公式，其次采用Galerkin法將軸的偏微分運(yùn)動(dòng)方程化為常微分方程，然后通過(guò)求解矩陣特征值問(wèn)題得到渦動(dòng)頻率和臨界轉(zhuǎn)速的近似解，分別選用不旋轉(zhuǎn)Euler-Bernoulli軸的振型函數(shù)和旋轉(zhuǎn)Rayleigh軸的振型函數(shù)為Galerkin過(guò)程的試探函數(shù)。并且將Galerkin法與基于經(jīng)典方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 運(yùn)動(dòng)方程與自由振動(dòng)經(jīng)典解

單位長(zhǎng)度質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)速為Ω，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，半徑為R的圓截面均勻無(wú)阻尼旋轉(zhuǎn)軸(如圖1所示)的運(yùn)動(dòng)方程為[8]

式中，v和w分別表示軸上任意一點(diǎn)x沿y和z方向的位移，E表示楊氏模量，I表示直徑慣性矩，J表示軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

圖1 旋轉(zhuǎn)軸結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

m和J計(jì)算表達(dá)式分別為

式中，ρ為密度。

對(duì)運(yùn)動(dòng)方程采用無(wú)量綱變換

式中，EI表示抗彎剛度。

無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)方程為

引入復(fù)變量U=ˉv+iˉw，運(yùn)動(dòng)方程(5)和方程(6)可以合并為一個(gè)復(fù)方程

將式(8)代入式(7)，得

方程(9)的解為

其中

渦動(dòng)振型函數(shù)為

其中，系數(shù)C1，C2，C3，C4由邊界條件確定。

懸臂軸在ˉx=0固支，在ˉx=L自由，則邊界條件可以表示為

由條件(13)得到特征方程

對(duì)應(yīng)的渦動(dòng)振型函數(shù)為

為了求得渦動(dòng)頻率，首先將式(10)和式(11)代入方程(14)，得到的方程(14)是渦動(dòng)頻率的超越方程，沒(méi)有封閉解。借助于數(shù)值解法，可以獲得它的兩個(gè)根，其中，正根對(duì)應(yīng)于正進(jìn)動(dòng)渦動(dòng)頻率γf，負(fù)根對(duì)應(yīng)于反進(jìn)動(dòng)渦動(dòng)頻率γb。如果將求解得到的渦動(dòng)頻率代入方程(15)，即可得到對(duì)應(yīng)的正、反進(jìn)動(dòng)渦動(dòng)振型函數(shù)φf(shuō)和φb。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，φ(ˉx)，λ1和λ2的下標(biāo)j不再寫(xiě)出。

1.2 Galerkin近似解

1.2.1 采用旋轉(zhuǎn)Rayleigh梁振型函數(shù)

假設(shè)

將式(16)和式(17)代入式(5)和式(6)，再乘以φj，在[0，1]上積分，得

其中

通過(guò)求解振動(dòng)方程組的特征值問(wèn)題，可以得到渦動(dòng)頻率。

1.2.2 采用不旋轉(zhuǎn)Euler-Bernoulli梁振型函數(shù)

令

其中，不旋轉(zhuǎn)Euler-Bernoulli梁的振型函數(shù)φj(ˉx)為

特征方程為

將式(20)和式(21)代入式(5)和式(6)可得相同形式的方程組(18)，方程系數(shù)為

與不旋轉(zhuǎn)Euler-Bernoulli梁的振型函數(shù)(22)相比，旋轉(zhuǎn)Rayleigh梁的振型函數(shù)(15)不僅包含了無(wú)量綱旋轉(zhuǎn)速度ˉΩ，同時(shí)也包含了無(wú)量綱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量l的影響。如果在方程(10)和方程(11)中令旋轉(zhuǎn)速度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量同時(shí)為零，則有λ1=λ2。由此得到的特征方程(14)和渦動(dòng)振型函數(shù)(15)即可分別退化為不旋轉(zhuǎn)Euler-Bernoulli梁的特征方程(23)和振型函數(shù)(22)。

2 數(shù)值結(jié)果與討論

圖2 和圖3給出利用式(15)畫(huà)出的旋轉(zhuǎn)軸的歸一化正進(jìn)動(dòng)和反進(jìn)動(dòng)振型曲線，并且為了比較，圖中還展示了利用式(22)畫(huà)出的不旋轉(zhuǎn)Euler-Bernoulli梁的振型曲線。圖2表示旋轉(zhuǎn)速度對(duì)正、反進(jìn)動(dòng)振型曲線的影響，結(jié)果表明，正、反進(jìn)動(dòng)振型之間是存在差別的，這種差別隨著轉(zhuǎn)速的增加而增加；另外，旋轉(zhuǎn)振型曲線與不旋轉(zhuǎn)振型曲線之間的差別也隨著轉(zhuǎn)速的增加而增加。圖3表示長(zhǎng)徑比對(duì)正、反進(jìn)動(dòng)振型曲線的影響，結(jié)果表明，正、反進(jìn)動(dòng)振型曲線之間的差別隨著長(zhǎng)徑比的增加而減?。涣硗?，旋轉(zhuǎn)振型曲線與不旋轉(zhuǎn)振型曲線之間的差別隨著長(zhǎng)徑比的增加而減小，由此可見(jiàn)，長(zhǎng)徑比對(duì)振型曲線的影響與轉(zhuǎn)速對(duì)振型曲線的影響剛好是相反的。

圖4～圖6 表示前三階渦動(dòng)頻率隨長(zhǎng)徑比的變化曲線(Ω=50)，其中包括采用式(10)，式(11)和式(14)得到經(jīng)典解，以及分別采用旋轉(zhuǎn)振型和不旋轉(zhuǎn)振型的Galerkin近似解。結(jié)果表明，采用上述三種解法得到的結(jié)果基本一致。

圖7～圖9 表示前三階正進(jìn)動(dòng)渦動(dòng)頻率隨轉(zhuǎn)速變化曲線(l=40)。直線Ω=ω與+ωj(j=1，2，3)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)Ωcj代表第j階臨界轉(zhuǎn)速。結(jié)果表明，正進(jìn)動(dòng)渦動(dòng)頻率隨轉(zhuǎn)速變化曲線的經(jīng)典解與基于旋轉(zhuǎn)振型的Galerkin解重合，基于不旋轉(zhuǎn)振型的Galerkin解雖然與上述兩種解法得到的曲線不重合，但是相互之間的差距非常小。

圖2 旋轉(zhuǎn)軸的正進(jìn)動(dòng)和反進(jìn)動(dòng)振型(l=15)

圖3 旋轉(zhuǎn)軸的正進(jìn)動(dòng)和反進(jìn)動(dòng)振型(Ω=50)

圖4 第一階渦動(dòng)頻率隨長(zhǎng)徑比變化曲線(Ω=50)

圖5 第二階渦動(dòng)頻率隨長(zhǎng)徑比變化曲線(Ω=50)

圖6 第三階渦動(dòng)頻率隨長(zhǎng)徑比變化曲線(Ω=50)

圖7 第一階正進(jìn)動(dòng)渦動(dòng)頻率隨轉(zhuǎn)速變化曲線(l=40)

圖8 第二階正進(jìn)動(dòng)渦動(dòng)頻率隨轉(zhuǎn)速變化曲線(l=40)

圖9 第三階正進(jìn)動(dòng)渦動(dòng)頻率隨轉(zhuǎn)速變化曲線(l=40)

表1 表示長(zhǎng)徑比對(duì)前三階臨界轉(zhuǎn)速的影響。其中列出了采用三種不同方法得到的計(jì)算結(jié)果。方法1、方法2和方法3分別表示經(jīng)典解法、基于旋轉(zhuǎn)和不旋轉(zhuǎn)振型的Galerkin法。結(jié)果表明，臨界轉(zhuǎn)速隨著長(zhǎng)徑比的增加而減小。采用三種方法得到的臨界轉(zhuǎn)速的數(shù)值是相同的。

為了檢驗(yàn)Galerkin近似解法的收斂性，表2給出振型函數(shù)個(gè)數(shù)N對(duì)前三階渦動(dòng)頻率的影響。其中，下標(biāo)n表示不旋轉(zhuǎn)，r表示旋轉(zhuǎn)，“+”表示正進(jìn)動(dòng)；“-”表示反進(jìn)動(dòng)。結(jié)果表明，采用Galerkin法得到的近似解具有很好的收斂性，例如，采用不旋轉(zhuǎn)振型函數(shù)求解，N=3即可得到收斂的第一階正進(jìn)動(dòng)頻率+ωn1=3.544 5，反進(jìn)動(dòng)頻率-ωn1=3.519 3。如果采用旋轉(zhuǎn)振型函數(shù)，則取得相同收斂結(jié)果所需要的振型函數(shù)的個(gè)數(shù)是N=4。采用經(jīng)典解法得到的前三階渦動(dòng)頻率為：+ω1=3.544 2，-ω1=3.514 9，+ω2=22.358 2，-ω2=21.990 9，+ω3=62.241 1，-ω3=61.405 9。這說(shuō)明本文的Galerkin近似解收斂到經(jīng)典解。因此，為了確保收斂性，在本文的數(shù)值結(jié)果中，不旋轉(zhuǎn)振型函數(shù)的個(gè)數(shù)為3，旋轉(zhuǎn)振型函數(shù)的個(gè)數(shù)為4。表3表示前三階臨界轉(zhuǎn)速近似解的收斂性。結(jié)果表明，振型函數(shù)只要取較少的項(xiàng)數(shù)即可得到足夠精確的結(jié)果(注：采用經(jīng)典解法得到的前三階臨界轉(zhuǎn)速分別為3.518 7，22.026 5，62.601 5)。

表1 長(zhǎng)徑比對(duì)前三階臨界轉(zhuǎn)速的影響

表2 前三階渦動(dòng)頻率隨振型函數(shù)個(gè)數(shù)的變化(l=20，Ω=50)

表3 臨界轉(zhuǎn)速的收斂性驗(yàn)證(l=20)

3 結(jié)論

本文給出懸臂旋轉(zhuǎn)軸渦動(dòng)頻率和臨界轉(zhuǎn)速的經(jīng)典分析解以及Galerkin近似解的求解公式和計(jì)算過(guò)程，旋轉(zhuǎn)軸動(dòng)力學(xué)模型基于考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和陀螺效應(yīng)的Rayleigh梁理論建立。Galerkin過(guò)程分別采用轉(zhuǎn)速無(wú)關(guān)不旋轉(zhuǎn)Euler-Bernoulli懸臂梁振型函數(shù)和轉(zhuǎn)速相關(guān)旋轉(zhuǎn)Rayleigh懸臂梁振型函數(shù)。結(jié)果表明，Galerkin近似解具有較好的收斂性，僅保留3項(xiàng)不旋轉(zhuǎn)振型函數(shù)或者僅保留4項(xiàng)旋轉(zhuǎn)振型函數(shù)，即可得到收斂的渦動(dòng)頻率和臨界轉(zhuǎn)速。Galerkin近似解與經(jīng)典解之間的差距很小，可以忽略不計(jì)。轉(zhuǎn)速相關(guān)的旋轉(zhuǎn)Rayleigh振型函數(shù)涉及非線性特征方程求解，計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，而不旋轉(zhuǎn)Euler-Bernoulli振型函數(shù)與轉(zhuǎn)速無(wú)關(guān)，易于計(jì)算，為采用不旋轉(zhuǎn)Euler-Bernoulli振型函數(shù)近似求解旋轉(zhuǎn)懸臂軸動(dòng)力學(xué)特性(例如，運(yùn)用于包括鏜、銑削連續(xù)刀桿切削系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析)和簡(jiǎn)化數(shù)值計(jì)算過(guò)程提供了依據(jù)。