分數階對流擴散方程在大氣污染中的應用淺析

劉桃花，尹修草

(湖南科技大學 數學與計算科學學院，湖南 湘潭，411201)

隨著經濟的快速發(fā)展和人類活動的增強，大氣污染問題尤其是PM2.5污染問題日益嚴重，因此，準確預測PM2.5濃度對控制和治理PM2.5以及改善社會民生都具有非常重要的意義。目前，國際上主要通過大氣環(huán)境定點監(jiān)測方式獲取各城市PM2.5的污染狀況，運用多元線性回歸統(tǒng)計方法、統(tǒng)計空間插值方法、神經網絡方法等對PM2.5的濃度進行預測[1-6]。

XIE等[7]在研究廣州市空氣中PM2.5的擴散情況時，討論了一類帶Dirichelet邊界條件的分數階對流擴散方程，給出了數值方法及其應用。分數階對流擴散方程用于模擬物理、生物、經濟上的許多問題[8-10]。帶分數階邊界條件的這類方程更適合實際問題的應用[11-15]，據此，對帶有分數階邊界條件的分數階對流擴散方程進行了數值研究，建立了隱性差分格式，然后分析了該方法的解的相容性、存在唯一性、穩(wěn)定性以及收斂性，并探討了該方法在長株潭地區(qū)大氣污染中的應用?？紤]污染物的分布情況及風速、溫度、濕度等因素，建立長株潭地區(qū)PM2.5的擴散方程，對污染物的濃度進行預測，從而對該地區(qū)PM2.5的濃度進行預測。

考慮如下一類帶有分數階邊界條件的分數階對流擴散方程：

(1)

分數階初邊值條件為

(2)

u(x，0)=q(x)，0≤x≤R

(3)

(4)

其中：Γ(·)為Gamma函數。

1 差分格式的建立

移位的Grünwald-Letnikov分數階算子定義為

(5)

標準的Grünwald-Letnikov分數階算子定義為

(6)

(7)

并且Grünwald系數滿足如下引理。

引理1[16]假設α為正實數且整數n≥1，有

采用移位的Grünwald-Letnikov分數階算子對方程中Riemann-Liouville分數階導數進行離散，采用標準的Grünwald-Letnikov分數階算子對分數階邊界條件中Riemann-Liouville分數階導數進行離散，得到：

利用向后Euler差分方法，定義一階時間和空間導數：

得到方程式(1)～(3)在點(xi，tm)處的隱性差分格式為

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

由方程(11)～(12)可知，建立的隱性差分格式是相容的。

2 隱性差分格式的理論分析

上面已經建立了方程(1)～(3)的隱性差分格式，下面討論該格式的解的存在唯一性，穩(wěn)定性以及收斂性。將方程(8)～(10)整理為

(13)

(14)

(15)

其中：

(16)

定理1如果β>0，方程(1)～(3)的隱性差分格式(8)～(10)的解存在且唯一的。

證明假設ri是第i行除了對角線元素ai，i之外所有元素絕對值之和，根據引理1，則有

(17)

(18)

(19)

(20)

定理2若β>0，則方程(1)～(3)的差分格式(8)～(10)是無條件穩(wěn)定的。

由引理1得

(21)

結合上面的不等式，由方程(20)可得

(22)

重復利用不等式(22)m-1次，則有

‖εm‖∞<‖ε0‖∞，1≤m≤M。

綜上，方程(1)～(3)的差分格式(8)～(10)是無條件穩(wěn)定的。

定理3若β>0，則存在不依賴于h和Δt的非負常數C，使得

(23)

(24)

由Gamma函數的Stirling公式[17]，則有

(25)

結合方程(24)和(25)，則有

(26)

(27)

重復利用不等式(27)共m-1次，有

‖em‖∞≤(m-1)ΔtC2(Δt+h)。

又因為(m-1)Δt≤T，所以，存在一個常數C=C2T，使得

‖em‖∞≤C(Δt+h)

(28)

即存在不依賴于h和Δt的非負常數C，‖em‖∞≤C(Δt+h)，所以，此格式收斂。

3 分數階擴散方程在長株潭地區(qū)大氣污染中的應用探討

本文中t表示擴散時間，x表示擴散距離；d(x)≥0，v(x)≥0，k(x)≥0，分別表示x軸方向的擴散系數(m2/s)、風速(m/s)和衰減系數(s-1)；f(x，t)表示點x在t時刻污染物的排放量；u(x，t)為污染物的質量濃度(μg/m3)。首先，根據長株潭地區(qū)的風速情況，估計v(x)的值。根據斐克定律，求出擴散系數d(x)。若PM2.5在不治理的情況下很難自動消失，則可以考慮k(x)=0。近幾年來，國家致力于生態(tài)文明建設，空氣質量明顯好轉。可以通過這幾年的PM2.5估計出k(x)。根據檢測數據，一般使用實測法計算，只需要查找某些數據，或者通過調查實測等估算污染物的排放量。其次，可以采用化學質量平衡CMB受體模型，通過分析污染源和受體樣品中的化學成分來評價不同類型的污染源對環(huán)境污染物質濃度的貢獻。其中，NKCMB 1.0是南開大學國家環(huán)境保護城市空氣顆粒物污染防治重點實驗室基于此模型開發(fā)的一個工具軟件，使用此軟件，可以得到長株潭地區(qū)的污染源類型和化學成分，然后，使用最小二乘法計算出各類污染源的貢獻值，從而得出污染物的濃度。根據PM2.5的濃度變化評估治理效果等。

4 結論

本文考慮了一個帶有分數階邊界條件的分數階對流擴散方程，給出了一個隱性差分格式，證明該格式的解的存在唯一性，穩(wěn)定性以及收斂性。結合該模型的實際背景，探討了該分數階對流擴散方程在長株潭地區(qū)大氣污染中的應用。