帶有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階四點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性

劉 洋， 解大鵬， 李春紅

(1.合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 安徽 合肥 230601；2.淮陰師范學(xué)院 學(xué)報(bào)編輯部, 江蘇 淮安 223001)

0 引言

近年來(lái),分?jǐn)?shù)階微分方程引起了廣泛的關(guān)注．分?jǐn)?shù)階微分方程和帶有p-Laplacian算子的微分方程成為很多數(shù)學(xué)工作者的研究熱點(diǎn)，并取得了許多研究成果[1-8]．Chai研究了如下帶有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題[5]

Tian等運(yùn)用Krasnosel’skii不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了如下帶有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微積分的邊值問(wèn)題正解的存在性[6]

Tian等運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了以下帶有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微積分邊值問(wèn)題的正解[7]

其中φp(s)=|s|p-2s,p>1,α∈(1,2],0<β≤α-1,ξ,η∈(0,1),a,b∈[0,∞)，并且1-aξα-β-1>0, 1-bp-1ηγ-1>0,f∈C([0,1]×R+,R+),Dα，Dβ，Dγ是Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階方程導(dǎo)數(shù)．

Han等借助p-Laplacian算子, 得到了如下分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題的正解存在性[8]

基于上述結(jié)果，本文研究以下帶有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階四點(diǎn)邊值問(wèn)題

(1)

1 預(yù)備知識(shí)和引理

引理1 假設(shè)y∈C[0,1],則分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題

(2)

證明易知，問(wèn)題(2)的通解為

由問(wèn)題(2)的邊值條件知，C2=C3=0,

故

引理2 假設(shè)w∈C[0,1], 則分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題

(3)

證明易知，問(wèn)題(3)等價(jià)于

由問(wèn)題(3)的邊值條件知，C2=0且

故

引理3G(t,s)有如下性質(zhì)：

(i) 當(dāng)(t,s)∈[0,1]×[0,1]時(shí)，0≤G(t,s)≤G(1,s);

(ii) 當(dāng)(t,s)∈I×(0,1)=(1/4,3/4)×(0,1)時(shí)，G(t,s)≥(1/4)α-1G(1,s).

因此，當(dāng)(t,s)∈[0,1]×[0,1]時(shí),

故，當(dāng)(t,s)∈[0,1]×[0,1]時(shí),0≤G(t,s)≤G(1,s).

故，當(dāng)(t,s)∈I×(0,1)=(1/4,3/4)×(0,1)時(shí),

引理4H(t,s)有如下性質(zhì)：

(ii) 當(dāng)(t,s)∈I×(0,1)=(1/4,3/4)×(0,1)時(shí)，H(t,s)≥φ(s)H11(s,s)，

其中

故，當(dāng)(t,s)∈I×(0,1)=(1/4,3/4)×(0,1)時(shí)，

2 主要結(jié)果

為了方便,引入以下記號(hào)：

定理1 若存在兩個(gè)正數(shù)r1,r2使得r1

(B1) 當(dāng)(t,u)∈[0,1]×[0,r1]時(shí)，f(t,u)≥φ(r1N4α-1);

(B2) 當(dāng)(t,u)∈[0,1]×[0,r2]時(shí)，f(t,u)≤φ(r2M).

則分?jǐn)?shù)階四點(diǎn)邊值問(wèn)題(1)至少存在一個(gè)正解u,并且滿(mǎn)足r1≤‖u‖≤r2.

證明首先證明算子T:K→K是全連續(xù)的,事實(shí)上由G,H,f的連續(xù)性可知T:K→K是連續(xù)的.對(duì)于(t,s)∈(1/4,3/4)×(0,1),u∈K, 由引理3知

這意味著T(K)?K.故應(yīng)用Arzela-Ascoli定理易證算子T:K→K是全連續(xù)的.

下面我們令Ω1={u∈K:‖u‖≤r1},那么對(duì)于u∈?Ω1, 由引理3,引理4及(B1)知

故，當(dāng)u∈?Ω1時(shí), ‖Tu‖≥‖u‖.

令Ω2={u∈K:‖u‖≤r2},那么對(duì)于u∈?Ω2,由引理3,引理4及(B2)知

因此，對(duì)于u∈?Ω2,‖Tu‖≤‖u‖.

綜上,由Krasnosel’skii不動(dòng)點(diǎn)定理可知,分?jǐn)?shù)階四點(diǎn)邊值問(wèn)題(1)至少存在一個(gè)正解u, 并且滿(mǎn)足r1≤‖u‖≤r2.(證畢)