超導(dǎo)非絕熱幾何量子計(jì)算及其優(yōu)化控制

徐 靖，薛正遠(yuǎn)

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院，廣州 510006)

量子計(jì)算具有巨大的應(yīng)用潛力，因此量子計(jì)算已成為當(dāng)前最受矚目的新興科技. 但是，量子計(jì)算的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)研究仍然面臨著諸多挑戰(zhàn)，其中最顯著的因素包括量子系統(tǒng)與外界環(huán)境相互作用導(dǎo)致退相干，以及量子操控時(shí)存在系統(tǒng)誤差等問(wèn)題. 因此，針對(duì)這些問(wèn)題，快速高魯棒性的量子邏輯操作就顯得尤為重要. 因?yàn)閹缀蜗辔籟1-3]具有內(nèi)稟的抗操作誤差特性[4-5]，所以它可被用于實(shí)現(xiàn)高魯棒性的量子門(mén).

在早期的研究中，幾何量子計(jì)算通過(guò)絕熱演化的方式實(shí)現(xiàn). 此時(shí)，由于絕熱演化過(guò)程要求的操作時(shí)間很長(zhǎng)，所以在此過(guò)程中，量子態(tài)受退相干的影響非常嚴(yán)重. 為了克服這個(gè)問(wèn)題，相關(guān)研究報(bào)道了基于非絕熱阿貝爾[6-9]和非阿貝爾幾何相位[10-11]的量子計(jì)算策略. 然而，這些實(shí)現(xiàn)方案對(duì)系統(tǒng)的控制誤差與動(dòng)力學(xué)門(mén)一樣敏感，因而幾何量子門(mén)的魯棒性優(yōu)勢(shì)被減弱[12-13]. 為了解決這個(gè)問(wèn)題，基于非阿貝爾幾何相位，有研究從理論上[14-15]提出并通過(guò)實(shí)驗(yàn)[16]實(shí)現(xiàn)了可與優(yōu)化控制技術(shù)[17]相結(jié)合的量子計(jì)算方案.

基于非阿貝爾幾何相位量子門(mén)方案的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)研究比較復(fù)雜，而基于二能級(jí)體系的阿貝爾幾何量子門(mén)的實(shí)驗(yàn)更易實(shí)現(xiàn). 另外，由于超導(dǎo)電路系統(tǒng)[18]易實(shí)現(xiàn)大規(guī)模集成且具有非常好的可操控性，因而該系統(tǒng)受到了廣泛關(guān)注. 所以，本文基于超導(dǎo)電路體系提出一種在實(shí)驗(yàn)上切實(shí)可行的非絕熱幾何量子計(jì)算方案. 該方案可以很好地與優(yōu)化控制技術(shù)相結(jié)合，可進(jìn)一步提高量子門(mén)的魯棒性. 因此，本文的工作向著容錯(cuò)固態(tài)量子計(jì)算方向的發(fā)展邁出了重要的一步.

1 研究方法

利用動(dòng)力學(xué)不變量加速絕熱演化過(guò)程，是避免因演化時(shí)間過(guò)長(zhǎng)導(dǎo)致退相干對(duì)量子門(mén)影響過(guò)大的有效手段. 在計(jì)算基矢S1={|0〉,|1〉}中，對(duì)于哈密頓量為

(1)

的二能級(jí)系統(tǒng)，可以找到滿足馮諾依曼關(guān)系式

的對(duì)應(yīng)不變量I. 不變量的矩陣形式可寫(xiě)為

(2)

令?=1，Ω0為具有頻率單位的常數(shù). 不變量的本征態(tài)為

其中,含時(shí)變化的角度χ(t)和β(t)可作為反向設(shè)計(jì)H(t)的輔助參量.

根據(jù)不變量理論，可以找到H(t)相應(yīng)薛定諤方程的2個(gè)正交完備解，即|ψ+(t)〉=eif+(t)|φ+(t)〉、|ψ-(t)〉=eif-(t)|φ-(t)〉，其中f+和f-為相應(yīng)的相位，且有f+=-f-. 為了更方便地得到1個(gè)純幾何相位，本文考慮哈密頓量驅(qū)動(dòng)演化初態(tài)并進(jìn)行循環(huán)演化的情況. 設(shè)定在演化初始時(shí)刻滿足f+(0)=f-(0)=0，此時(shí)薛定諤方程的2個(gè)解與不變量本征態(tài)重合，從而可以利用不變量的本征態(tài)作為獲得幾何相位的演化態(tài). 由于|φ+(t)〉和|φ-(t)〉的演化路徑具有對(duì)稱性，所以僅需設(shè)計(jì)其中一個(gè)態(tài)矢量(如|φ+(t)〉的演化路徑)即可反向確定微波驅(qū)動(dòng)場(chǎng)的波形Ω(t)和相位ξ(t). 在循環(huán)演化的終止時(shí)刻，令γ=f+()，可以將哈密頓量對(duì)應(yīng)的演化算符寫(xiě)為

U()=eiγ|φ+(0)〉〈φ+(0)|+e-iγ|φ-(0)〉〈φ-(0)|，

(3)

其中，相位γ包含動(dòng)力學(xué)部分

(4)

和幾何部分

(5)

當(dāng)消除動(dòng)力學(xué)部分后，即可得到1個(gè)純幾何的相位. 最后，將初始時(shí)刻的不變量本征態(tài)代入演化算符表達(dá)式中可得：

U(

(6)

另外，在2個(gè)電容耦合的超導(dǎo)比特體系中[9]，通過(guò)對(duì)其中一個(gè)超導(dǎo)比特頻率的含時(shí)調(diào)制，使2個(gè)比特之間的耦合達(dá)到等效共振. 此時(shí)，在{|11〉A(chǔ)B,|20〉A(chǔ)B}子空間共振的情況下，2比特的相互作用形式與式(1)的形式完全相同，因此可以類(lèi)比單比特的方式實(shí)現(xiàn)非平庸的2比特幾何量子門(mén).

2 幾何量子門(mén)的實(shí)現(xiàn)及其優(yōu)化控制

根據(jù)上述研究方法，首先，利用非絕熱循環(huán)演化的方式產(chǎn)生阿貝爾幾何相位，從而在超導(dǎo)transmon比特[19]中實(shí)現(xiàn)任意的單比特幾何量子門(mén)；然后給出繞X和Z軸旋轉(zhuǎn)這2種門(mén)操作的具體實(shí)現(xiàn)方案(圖1)，并進(jìn)行數(shù)值模擬；最后采用優(yōu)化控制技術(shù)進(jìn)一步提升量子門(mén)的魯棒性.

圖1 單量子比特門(mén)

2.1 量子門(mén)的構(gòu)建

利用微波共振驅(qū)動(dòng)超導(dǎo)transmon量子比特最低的2個(gè)能級(jí)可以實(shí)現(xiàn)單比特量子門(mén)(圖1A). 但此時(shí)驅(qū)動(dòng)微波場(chǎng)也會(huì)在超導(dǎo)比特高能態(tài)之間引起不必要的色散相互作用. 這里先作簡(jiǎn)化處理，只考慮最低能態(tài)的2個(gè)能級(jí)，則系統(tǒng)的哈密頓量可寫(xiě)為式(1)的形式. 根據(jù)不變量的馮諾依曼公式，可得到輔助參數(shù)χ(t)、β(t)與驅(qū)動(dòng)頻率Ω(t)、相位ξ(t)間的關(guān)系式：

(7)

(8)

由此可以通過(guò)設(shè)計(jì)循環(huán)演化過(guò)程中的輔助參數(shù)χ(t)和β(t),進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,求出Ω(t)和ξ(t). 同時(shí)為了簡(jiǎn)化表述，引入一個(gè)含時(shí)參數(shù)f(t)=-2f+(t). 聯(lián)立(3)、(4)可以得到f(t)的導(dǎo)數(shù)函數(shù):

(9)

在上式的基礎(chǔ)上，只需要選定χ(t)和f(t)的函數(shù)形式，β(t)的形式就可以確定. 接下來(lái)將具體實(shí)現(xiàn)繞X軸旋轉(zhuǎn)的幾何門(mén)和繞Z軸旋轉(zhuǎn)的幾何門(mén).

2.1.1 繞X軸旋轉(zhuǎn)操作的幾何門(mén) 為實(shí)現(xiàn)繞X軸旋轉(zhuǎn)的幾何門(mén)，將循環(huán)過(guò)程分為4個(gè)相等的時(shí)間段，態(tài)矢量|φ+(t)〉的極角和方位角函數(shù)可設(shè)計(jì)為

χ1(t)=π[1+sin2(2πt/)]/2，

β1(0)=0，t[0,/4]；

(10)

χ2(t)=π[1+sin2(2πt/)]/2，

β2(/4)=β1(/4)-γ，t[/4,/2]；

(11)

χ3(t)=π[1-sin2(2πt/)]/2，

β3(/2)=β2(/2)，t[/2,3/4]；

(12)

χ4(t)=π[1-sin2(2πt/)]/2，

β4(3/4)=β3(3/4)+γ，t[3/4,].

(13)

選取fj(t)=cos 2χj(t)/5，每段方位角用

來(lái)計(jì)算. 為了驗(yàn)證循環(huán)演化產(chǎn)生的相位為純幾何相位，首先計(jì)算演化過(guò)程中的動(dòng)力學(xué)相位

(14)

同時(shí)，由于方位角β(t)在t=/4和t=3/4這2個(gè)時(shí)刻發(fā)生突變，從而容易證明幾何相位γg=γ. 這樣就實(shí)現(xiàn)了繞X軸旋轉(zhuǎn)操作的純幾何門(mén).

2.1.2 繞Z軸旋轉(zhuǎn)操作的幾何門(mén) 為了實(shí)現(xiàn)繞Z軸旋轉(zhuǎn)的幾何操作，將單圈演化成2段. 這2段路徑上的極角和方位角分別為

χ1(t)=πsin2(πt/)]，

β1(0)=0，t[0,/2]；

(15)

χ2(t)=πsin2(πt/)]，

β2(/2)=β1(/2)-γ，

t[/2,].

(16)

選取fj(t)=(2χj(t)-sin 2χj(t))/5，和實(shí)現(xiàn)繞X軸旋轉(zhuǎn)操作一樣，每段方位角也用

來(lái)計(jì)算. 同樣可計(jì)算演化過(guò)程的動(dòng)力學(xué)相位

(17)

2.2 量子門(mén)的性能

在量子門(mén)的物理實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，退相干是影響保真度的一個(gè)重要因素. 由于超導(dǎo)transmon量子比特的非諧性較小，本文采取有效的修正方案[20]來(lái)抑制因量子信息泄露導(dǎo)致的誤差. 通常使用Lindblad主方程評(píng)估量子門(mén)的性能. 主方程為

(18)

且有

(19)

圖2 單量子比特幾何門(mén)的實(shí)現(xiàn)及其性能

2.3 量子門(mén)的優(yōu)化控制

基于前面實(shí)現(xiàn)的單比特量子門(mén)，接下來(lái)將優(yōu)化控制技術(shù)[17]應(yīng)用到演化路徑的設(shè)計(jì)上，以實(shí)現(xiàn)繞Z軸旋轉(zhuǎn)的幾何操作. 假設(shè)存在一個(gè)靜態(tài)的系統(tǒng)誤差，即V(t)=εH(t). 由于演化路徑由對(duì)稱的2段組成，所以只需要優(yōu)化第一段演化路徑. 這里用|ψ+(t)〉來(lái)表示演化過(guò)程，則演化初態(tài)為|ψ+(0)〉，理想的目標(biāo)態(tài)為|ψ+(/2)〉. 設(shè)目標(biāo)函數(shù)

(20)

(21)

其中,

為了消除了二階微擾的影響，必須要求z(t)在t=[0,/2]時(shí)間段積分為0. 對(duì)應(yīng)方程解的形式可以寫(xiě)為

f(χ)=2χ+C1sin(2χ)+C2sin(4χ)+…，

(22)

通過(guò)數(shù)值計(jì)算，當(dāng)取C1=-1，其余系數(shù)均取0時(shí)，關(guān)于z(t)的積分為0.

為了評(píng)估本文優(yōu)化方案的效果，給f(t)加系數(shù)f(t)=η[2χ(t)-sin(2χ(t))]. 結(jié)果表明：當(dāng)η=0時(shí)，該方案就退回到優(yōu)化前的方案[6-9]；當(dāng)η=1時(shí)，則對(duì)應(yīng)于本文的優(yōu)化方案.

在系統(tǒng)誤差εΩmax的取值范圍(2π×[-5,5]MHz)內(nèi)，給出2個(gè)方案對(duì)系統(tǒng)誤差的魯棒性對(duì)比圖(圖3). 結(jié)果表明：當(dāng)不考慮退相干影響時(shí)，優(yōu)化方案對(duì)系統(tǒng)誤差的魯棒性效果要遠(yuǎn)優(yōu)于未優(yōu)化方案的效果；當(dāng)考慮實(shí)際情況中退相干的影響時(shí)，優(yōu)化方案的魯棒性依然很出色.

圖3 未優(yōu)化(η=0)與優(yōu)化(η=1)相位門(mén)的保真度

3 結(jié)論

基于超導(dǎo)量子電路，提出了構(gòu)建快速通用的幾何量子計(jì)算方案. 通過(guò)施加共振耦合驅(qū)動(dòng)，在單個(gè)超導(dǎo)比特上實(shí)現(xiàn)了任意的單量子比特門(mén). 同時(shí)提出的方案可以結(jié)合優(yōu)化技術(shù)，提高量子門(mén)對(duì)靜態(tài)系統(tǒng)誤差的魯棒性. 在2比特超導(dǎo)電容耦合體系中可實(shí)現(xiàn)非平庸的雙比特量子門(mén). 由于本文的方案可以直接擴(kuò)展到二維比特陣列情形，因此研究結(jié)果為實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)量子計(jì)算提供了一條可靠的道路.