三維Laplace 方程柯西問題具有Dirichlet 核的軟化正則解

何尚琴， 馮秀芳

（1.北方民族大學 數(shù)學與信息科學學院，寧夏 銀川750021； 2.寧夏大學 數(shù)學統(tǒng)計學院，寧夏 銀川750021）

數(shù)學物理反問題研究已成為應用數(shù)學中發(fā)展和成長最快的領域之一［1］.關于反問題理論和方法的研究最早可追朔到20 世紀20 年代Hadamard 在研究線性偏微分方程的Cauchy 問題對反問題不適定性的陳述和研究［2］.反問題一般有2 種形式，最普遍的形式是已知系統(tǒng)和輸出求輸入，另一種系統(tǒng)未知的情況通常也被視為反問題［1］.許多反問題很難解決，有些反問題卻很容易得到答案.顯然，易于解決的問題不會比很難解決的問題更能引起人們的興趣，那些很難被解決的問題則被稱為不適定的［1］.一個不適定問題通常是病態(tài)的，并且不論是簡單的還是復雜的，改變問題本身的形式都不會顯著地改善病態(tài)問題.另一方面，病態(tài)問題不一定是不適定的，因為通過改變問題的形式往往可以改善病態(tài)問題.在嚴格的數(shù)學意義上，通常不可能對不適定問題進行求解并得到準確解答.然而，通過使用先驗知識，通常有希望能夠得到一個接近準確解答的答案［3］.

求解不適定問題的普遍方法是：用一族與原不適定問題相“鄰近”的適定問題的解去逼近原問題的解，這種方法稱為正則化方法［4］.如何建立有效的正則化方法是反問題領域中不適定問題研究的重要內(nèi)容.通常的正則化方法有基于變分原理的Tikhonov正則化、各種迭代方法以及其他的一些改進方法，這些方法都是求解不適定問題的有效方法，在各類反問題的研究中被廣泛采用，并得到深入研究［4］.

Laplace方程又稱調(diào)和方程、位勢方程，是一種偏微分方程，是橢圓型方程的典型代表［5］，在電磁學、流體力學、地球物理、無損探傷、醫(yī)學和軍事中有廣泛的應用.在工程和實際問題中，人們經(jīng)常會遇到Laplace方程Cauchy問題的求解，而該問題是一類嚴重的不適定反問題.針對Laplace 方程Cauchy 問題的求解，目前有Tikhonov 正則化方法［6］、逆可逆正則化方法［7］、小波正則化方法［8］、中心差分正則化方法［9］、Fourier 正則化方法［10］以及軟化法（又稱磨光化方法）［11］.用軟化法研究柯西問題最早出現(xiàn)在逆熱傳導問題（IHCP）研究中［12-14］.Murio［15］利用Weierstrass 核研究了逆熱傳導問題（IHCP）的正則化解. Hào［16］以de la Vallée Poussin 核（周期及非周期）以及Dirichlet 核作卷積算子研究了逆熱傳導方程及其一般的拋物方程Cauchy問題的正則解，并在H?lder 空間中討論了收斂階；Hào［17］又以Dirichlet核與de la Vallée Poussin核構造軟化算子，研究了拋物方程的非特征柯西問題（NCP）的解.文獻［11，18 -20］以Gaussian核做卷積算子給出了Laplace 方程、Helmholtz方程以及橢圓方程的正則化解.而關于其他核函數(shù)，比如Féjer核、de la Vallée Poussin 核以及Dirichlet等核用于解決橢圓方程不適定問題的文獻鮮有出現(xiàn).Hào［17］雖然提到用Dirichlet 核構造軟化算子解決二維Laplace方程柯西問題，但在收斂性證明中采用偽逆算子法，以致正則參數(shù)的選取規(guī)則過于復雜，并且該方法不利于三維問題的探究.

本文利用二維Dirichlet 核函數(shù)與觀測數(shù)據(jù)作卷積，構造軟化算子，得到了三維Laplace方程不適定問題的正則化解，同時給出精確解與正則解之間的誤差估計.最后，通過數(shù)值算例驗證所提出方法的有效性和可行性.

考慮定義在柱型域內(nèi)三維Laplace方程Cauchy問題

這里g（·，·）是給定的函數(shù).由于數(shù)據(jù)g（·，·）是建立在物理儀器觀測基礎上，必定存在誤差，記gδ（·，·）為測量數(shù)據(jù)，假設精確數(shù)據(jù)g（·，·）和測量數(shù)據(jù)gδ（·，·）都屬于L2（R2）且滿足

其中，δ ＞0 表示誤差水平，‖·‖2表示L2-范數(shù).

1 問題不適定性分析

設＾u（w，η，z）表示函數(shù)u（x，y，z）關于變量r=（x，y）∈R2的Fourier變換［21］

其中，f（x，y）∈L2（R2），＾f（ξ）∈L2（R2）為f（x，y）的Fourier變換.

對問題（1）兩邊關于變量r=（x，y）作Fourier變換，轉(zhuǎn)化為下列常微分方程初值問題

2 軟化法求解

下面用具有二維Dirichlet 核的軟化法求解問題（1）.引入二維Dirichlet核函數(shù)［16］

其中uα，δ為問題（1）對應于擾動數(shù)據(jù)gδ的正則化近似解.根據(jù)Dirichlet核的性質(zhì)（3）有

利用Dα的性質(zhì)（4）得

注1在假設（2）之下有

其中k是正有限常數(shù).

由（7）式可知，當函數(shù)g（x，y）和對應測量數(shù)據(jù)gδ（x，y）滿足‖g-gδ‖2≤δ 時，對應的軟化算子與函數(shù)g（x，y）之間的誤差不超過kδ.

下面證明當δ→0+時，近似解uα，δ（x，y，z）收斂于精確解u（x，y，z），并給出誤差估計式.

3 誤差估計及參數(shù)選擇

容易證得下列引理.

引理1設0 ＜z＜d，函數(shù)

下面首先考慮在0 ＜z＜d情形下正則化近似解與精確解之間的誤差估計，假設有如下先驗界成立

定理1設u（x，y，z）是Laplace方程（11）的精確解，uα，δ（x，y，z）是問題（1）用Dirichlet 核軟化后的正則近似解.假設條件‖g-gδ‖2≤δ 和假設（8）成立，則當0 ＜z＜d時，有不等式

若取正則化參數(shù)

則有誤差估計

證明由Parseval等式（3），有

其中，每一Dk（k=1，2，…，9）見圖1.

圖1 每一Dk（k=1，2，…，9）Fig. 1 For each Dk（k=1，2，…，9）

即

下面考慮邊界z=d處的情況.為了恢復z=d處解u（x，y，z）的穩(wěn)定性，引入比（8）式更強的先驗界

定理2設u（·，·，d）和uα，δ（·，·，d）是Laplace方程（1）在邊界z=d處的精確解和Dirichlet核軟化后的近似解，假設條件‖g-gδ‖2≤δ和先驗假設（11）式成立，有下面結果

若取正則化參數(shù)

4 數(shù)值實驗

本節(jié)給出一個數(shù)值例子驗證Dirichlet 核軟化正則化方法先驗參數(shù)選取規(guī)則的有效性，所有計算在Matlab R2017b中實現(xiàn).數(shù)值例子中，離散區(qū)間選取為［-10，10］×［-10，10］，這里取d=1.為了產(chǎn)生測量數(shù)據(jù)gδ（x，y），方差為? 正態(tài)分布的隨機擾動被加到數(shù)據(jù)g上，即

在數(shù)值實現(xiàn)中，要對各個函數(shù)進行二維離散的Fourier變換及離散的Fourier逆變換［21］.

例1取函數(shù)

為問題（1）在［-10，10］×［-10，10］上的精確數(shù)據(jù)函數(shù).記

為精確解及其近似解之間的相對誤差.檢驗了N=100，z=0.3，δ 取不同值δ =10-2，δ =10-3，δ =10-4，δ =10-5時對應精確解與正則逼近解之間的相對誤差.表1 列出了不同誤差水平下精確解和逼近正則解之間的相對誤差及其正則參數(shù)α的值.圖2 為精確輸入數(shù)據(jù)與z=0.5 時問題（1）的精確解.圖3 給出了z=0.5 處δ =10-3與δ =10-5時問題（1）的正則近似解.圖4 展示了z=0.5 處δ =10-4與δ=10-5時精確解與正則逼近解之間的誤差u-uα，δ.圖5 給出邊界z=1 處精確解與p=3，δ=10-5正則逼近解.圖6 為邊界z=1 處精確解分別與p=3，δ=10-6及p=0.5，δ=10-6時正則逼近解之間的誤差.

由表1 以及圖2 至圖6 可以看出，隨著誤差水平δ的減小，逼近效果越好。也就是說，隨著誤差水平δ的減小，數(shù)值解越來越穩(wěn)定。

數(shù)據(jù)誤差δ 正則參數(shù)α 相對誤差rel（u ）1 ×10 -26.582 2 1.622 8 1 ×10 -3 7.733 5 0.304 1 1 ×10 -4 8.884 8 0.056 0 1 ×10 -5 10.036 1 0.008 0

5 結論

本文考慮了三維Laplace 方程Cauchy 問題，利用帶有參數(shù)的二元Dirichlet 核函數(shù)與測量數(shù)據(jù)gδ（x，y）作卷積，構造軟化算子，進而求得正則逼近解.采用先驗選取規(guī)則計算正則參數(shù)，得到了正則近似解與精確解之間的誤差估計.數(shù)值算例驗證了所采用軟化正則化方法的可行性和有效性.

致謝北方民族大學科研基金項目（2020KYQD15）對本文給予了資助，謹致謝意.