高中數(shù)學(xué)解題中整合數(shù)形結(jié)合思想的實踐嘗試

摘要：在高中數(shù)學(xué)解題中，數(shù)形結(jié)合思想是一種十分重要的方法，不僅實用性強，還能培養(yǎng)學(xué)生的靈活思維，幫助學(xué)生消化知識。所以在數(shù)學(xué)解題中掌握數(shù)形結(jié)合的思想尤為重要，能夠降低解題難度，緩解學(xué)習(xí)壓力。本文將針對高中數(shù)學(xué)課本中的經(jīng)典問題，提出數(shù)形結(jié)合思想的實踐嘗試，以幫助學(xué)生更好地理解運用此方法。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)解題;整合數(shù)形結(jié)合思想;實踐嘗試

中圖分類號：A 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

引言

高考考綱指出“數(shù)學(xué)科的命題在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，注重對數(shù)學(xué)思想方法的考查”，且在高考數(shù)學(xué)試題中大約57%的題型都涵括數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生用好數(shù)形結(jié)合思想方法，在解題時先想圖、畫圖后再解題，可以達(dá)到事半功倍的效果。

一、高中數(shù)學(xué)解題中整合數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵

在高中數(shù)學(xué)里，整合數(shù)形結(jié)合表現(xiàn)為把數(shù)或數(shù)量的關(guān)系與圖形對應(yīng)起來，借助幾何來研究代數(shù)關(guān)系或者利用代數(shù)關(guān)系來研究幾何的性質(zhì)，可以使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，化繁為簡，化隱為顯?！皵?shù)缺形時不直觀，形少數(shù)時難定量”，把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，可以讓很多問題迎刃而解，提高學(xué)生的解題效率。

二、高中數(shù)學(xué)解題中整合數(shù)形結(jié)合思想的實踐嘗試

（1）學(xué)生應(yīng)牢固掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念

例如，數(shù)與數(shù)軸、函數(shù)與圖像等。數(shù)的定義是數(shù)域里的某一個值，換成幾何的思維就是：在一條能夠表示數(shù)域的軸上（即數(shù)軸），一個數(shù)對應(yīng)一個點。而從幾何來想代數(shù)就是：這條軸上所有點一一對應(yīng)著數(shù)域里所有的數(shù)。函數(shù)的定義是含有未知數(shù)的一種對應(yīng)關(guān)系，換成幾何的思維就是：在某一個運動面上，由滿足函數(shù)表達(dá)式的所有點形成的圖案;而從幾何來想代數(shù)就是：固定正交坐標(biāo)軸后圖像上每一點的橫縱坐標(biāo)都對應(yīng)著滿足函數(shù)表達(dá)式的一對數(shù)值。

（2）教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合的思想

教師要通過積極的方式讓學(xué)生感受到利用數(shù)形結(jié)合思想對數(shù)學(xué)知識輔助掌握的優(yōu)勢，從而在學(xué)習(xí)過程中更多地使用此方法。例如，在學(xué)習(xí)集合時，教師應(yīng)先讓學(xué)生自己想出一個圖形或空間辦法來表示集合的包和并，然后教師展示韋恩圖這個方法，多使用例題讓學(xué)生牢記方法的使用和理解，從而幫助學(xué)生建立數(shù)形結(jié)合思想解題容易且準(zhǔn)確的想法。再比如，以形解數(shù)問題的時候，選取典例“螞蟻路線”。在做題之前先引導(dǎo)學(xué)生畫出長方體的展開方式，標(biāo)出長寬高，然后提出路線問題，直接利用展開圖快捷地解出最短路徑問題，把抽象的空間問題轉(zhuǎn)為簡單的平面問題，這也是數(shù)形結(jié)合思想的另一個優(yōu)點。

（3）讓學(xué)生熟練掌握數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用

技巧一：有效轉(zhuǎn)化圖形與代數(shù)

在高中數(shù)學(xué)應(yīng)試題目中，除去單純的代數(shù)計算，所有題目均可以使用數(shù)形結(jié)合思想，但不是所有題目使用此方法都會變得簡單直接，因此準(zhǔn)確的推理與正確的圖形相互對照才能實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合提高效率的有效性。

例題1 當(dāng) 0<x<1時，x^2，x，1/x之間的大小關(guān)系如何？

本題定義域為（0，1），三個函數(shù)分別為y=x^2，y=x，y=1/x，則可以在坐標(biāo)軸xOy中做出這三個函數(shù)的圖像，放大 0<x<1處的圖像，比較曲線的高低。因為x的定義域已知，則可以在（0，1）內(nèi)取一數(shù)1/2，則x^2=1/4，x=1/2，1/x=2，顯然1/x>x>x^2，大小關(guān)系可以得出。

對比這兩種方法，我們可以看出實際上只做代數(shù)的運算會更簡單，畫函數(shù)圖像反而會影響加大分析過程難度和影響結(jié)果得出。因此，是否選擇數(shù)形結(jié)合的思想來解題這一判斷非常重要。

例題2 利用函數(shù)圖像求不等式解集 2x-6>3x-1

對于本題，分別作直線y=2x-6（紅色）與直線y=3x-1（黑色），它們相交于（-5，-17），所以當(dāng)x<-5時，2x-6>3x-1，得出結(jié)果。然后我們再用代數(shù)的思想來驗證這一結(jié)果，取x=-6，驗算出2×（-6）-6>3×（-6）-1，即（-18）>（-19），不等式成立。

通過此題可以看出，數(shù)與形在解題過程中相互對照，這樣提高了正確率，使數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用變得更加高效。

技巧二：不局限于給出的圖像，善用輔助線構(gòu)造新圖形來解決? ?代數(shù)要求（此技巧多用于解三角形一類題目）

例題3 如圖，已知在三角形ABC內(nèi)，角BAC為60°，角C為40°，P，? ? ?Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是角BAC，角ABC的角平分線。求證： BQ+AQ=AB+BP。

已知兩個角的度數(shù)，通過簡單的計算我們可以得出三角形BCQ為等腰三角形。因此求證的BQ+AQ可以轉(zhuǎn)化為AQ+CQ=AC，且AC如何=AB+BP的問題，很容易聯(lián)想到應(yīng)在AC上截取AD=AB，轉(zhuǎn)而證明BP如何等于CD的問題。此后再證出CD=DP=BP即可解決題目所求。

通過此題可以看出，僅僅依靠所給的圖形來解決三角形的長度問題還不夠，因此在解三角形題目里常用到輔助線，而輔助線里常用的角平分線、中位線、等長線、取半線均有特殊的數(shù)量關(guān)系。利用這些特殊的線得出角度、長度的信息從而解出完整的三角形圖案。這是以數(shù)助形，以形解數(shù)的最普遍利用，學(xué)生應(yīng)牢牢掌握此技巧，在解決空間立體幾何問題時才能游刃有余。

技巧三：在平時的學(xué)習(xí)解題過程中要多加練習(xí)，構(gòu)建自己的數(shù)形結(jié)合聯(lián)想思維，碰到相似題型可以更快捷的直接應(yīng)用已得出的結(jié)論迅速寫出答案。

例題4 若當(dāng)P（m，n）為圓x^2+（y-1）^2=1上任意一點時，不等式m+n+c≥0恒成立，則c的取值范圍是多少？

由m+n+c≥0，可以看作是點P（m，n）在直線x+y+c=0的右側(cè)，而點P（m，n）在圓x^2+（y-1）^2=1上，實質(zhì)上相當(dāng)于是x^2+（y-1）^2=1在直線的右側(cè)并與直線相離或相切。則可以利用直線與圓的距離公式求出c的取值范圍。但當(dāng)學(xué)生學(xué)會了使用三角換元方法：不等式m+n+c≥0恒成立等價于c≥-m-n，由題意，令m=cost，n=sint+1。所以經(jīng)過代換可求等式-m-n=-cost-sint-1=-√2×sin（t+pi/4）-1的最大值為√2-1，則c≥√2-1。此方法更加的簡單便捷。

通過這道題可以看到，熟悉一種解題方法，在經(jīng)過數(shù)形的準(zhǔn)確分析后，遇到同類型的題快捷地使用代換即可求解，這是一種比較更為高級的技巧。

三、結(jié)束語

綜上所述，高中數(shù)學(xué)解題中整合數(shù)形結(jié)合思想可以開拓學(xué)生的解題思維，提高學(xué)習(xí)效率，對學(xué)生來說有著重要的價值。希望通過本文的實踐嘗試，學(xué)生能不斷提升做題思路，總結(jié)出技巧和規(guī)律，真正地將數(shù)形結(jié)合思想貫徹到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去。

參考文獻(xiàn)

[1]李志琴.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的應(yīng)用[J].新課程，2021（31）：128.

[2]鄧偉.高中數(shù)學(xué)解題中整合數(shù)形結(jié)合思想的實踐思考[J].新課程，2021（23）：163.

[3]張曉君. 探析高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用[A]. 教育部基礎(chǔ)教育課程改革研究中心.2021年課堂教學(xué)教育改革專題研討會論文集[C].教育部基礎(chǔ)教育課程改革研究中心：教育部基礎(chǔ)教育課程改革研究中心，2021：2.

[4]陳宏科.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的應(yīng)用方法研究[J].考試周刊，2021（39）：53-54.

作者簡介：馮波（1989年-）男 重慶市 大學(xué)本科 中級職稱 研究方向：高中數(shù)學(xué) 工作單位：重慶市江津第八中學(xué)校