“倒過來看世界”
——淺析逆向思維在高中數(shù)學(xué)解題上的應(yīng)用

◎趙忠偉 （平塘民族中學(xué)，貴州 黔南 558300）

作為一種典型的發(fā)散思維，逆向思維具有其獨(dú)特之處．因?yàn)檎Ｇ闆r下，人們遇到問題的時(shí)候，往往會(huì)從問題的發(fā)展過程分析結(jié)果，但逆向思維是相反的，就是從結(jié)果出發(fā)分析問題的過程即原因．在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，不僅能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，還能夠令他們形成敏銳的思維，更好地成長，所以在高中數(shù)學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生形成逆向思維，對提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量以及學(xué)生的個(gè)人能力都具有重要意義．

一、培養(yǎng)逆向思維的重要性

（一）有利于學(xué)生對基礎(chǔ)知識的了解

高中時(shí)期的學(xué)生對數(shù)學(xué)這一科目的認(rèn)知還處于初級的基礎(chǔ)階段，此時(shí)他們對數(shù)學(xué)的了解程度就是他們對數(shù)學(xué)概念的理解程度．在此階段，概念的學(xué)習(xí)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)．提高他們對數(shù)學(xué)概念的理解程度就能提高高中數(shù)學(xué)的整體教學(xué)水平．在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中利用逆向思維方式能夠深化學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和掌握，了解這些概念的具體用處，可以為學(xué)生在以后學(xué)習(xí)更深層次的數(shù)學(xué)知識和概念打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

（二）有利于提高學(xué)生分析問題的能力及拓展想象空間

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，逆向思維主要運(yùn)用在解題過程中．學(xué)生在解數(shù)學(xué)題的時(shí)候可以選擇雙向思維的方式．在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要求學(xué)生掌握的定理和逆定理、運(yùn)算和逆運(yùn)算等這些能促進(jìn)雙向思維能力的發(fā)展，這也是一種逆向思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用體現(xiàn)．另外，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的時(shí)候，首先會(huì)從概念入手對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，在學(xué)生明確概念內(nèi)容之后，再要求他們利用逆向思維進(jìn)行思考，這樣就可以避免學(xué)生被思維阻礙，提高他們對數(shù)學(xué)問題的想象力和計(jì)算能力，最終提高學(xué)生的整體素質(zhì)．

（三）有利于提升學(xué)生的創(chuàng)新能力

目前很多學(xué)生都習(xí)慣用固定的思維方式去分析問題，用固定的思維去解決問題，但并不是所有的問題都可以通過這種思維去解決，所以數(shù)學(xué)老師需要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用逆向思維，讓他們學(xué)會(huì)從不同的角度去分析問題．通過這一方式能夠令他們更加輕松地解決問題．讓學(xué)生在面對問題的時(shí)候能夠從不同的角度去分析，選擇最佳的方式解決問題．學(xué)生形成這種思維之后，往往會(huì)針對一道題產(chǎn)生幾種不同的解題思路，從而提高學(xué)生的創(chuàng)新能力．

二、逆向思維在解題中的運(yùn)用

（一）逆用定義和逆用公式

在數(shù)學(xué)解題過程中往往會(huì)運(yùn)用到許多數(shù)學(xué)知識，而巧妙運(yùn)用定義進(jìn)行解題則對學(xué)生起到了相應(yīng)的導(dǎo)向作用，在實(shí)際解題過程中如果采用逆向思維的方式運(yùn)用定義，那么在一定程度上能夠起到事半功倍的效果，因此需要加強(qiáng)對逆用定義解題方法的重視．與此同時(shí)，數(shù)學(xué)公式的運(yùn)用對解決數(shù)學(xué)問題也有著積極的作用，通常情況下，在解題過程中運(yùn)用公式往往是按照從左向右的邏輯思維進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的解決，然而其并不是固定不變的，在某種情況下可以從右往左進(jìn)行，采用逆向思維方式進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的解決．

1．關(guān)于逆用定義解題，要充分利用概念的定義，對其進(jìn)行逆向思維的運(yùn)用，以達(dá)到簡化問題的效果．

例1已知對｜1-a｜-｜a-4｜進(jìn)行簡化可以得出2a-5，求a 的取值范圍．

想要快速地解出這道數(shù)學(xué)題，可以通過運(yùn)用逆向思維的方法，從而實(shí)現(xiàn)對絕對值概念的逆用．根據(jù)題目中的意思表達(dá)可以得出｜1-a｜-｜a-4｜＝2a-5，與此同時(shí)，通過運(yùn)用逆向思維方式得出1-a≤0，a-4≤0，根據(jù)得出的這兩個(gè)條件，最終得出1≤a≤4．

例2已知F1，F(xiàn)2是雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，求雙曲線的離心率．

在解答的時(shí)候就要用到雙曲線的定義．因?yàn)椤鱉F1F2是正三角形且邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則設(shè)邊MF1的中點(diǎn)為P，有∠F1PF2＝90°，∠PF1F2＝60°，從而有｜PF2｜＝，｜PF1｜＝c，所以根據(jù)雙曲線的定義可知，若點(diǎn)P 的軌跡是雙曲線，則等式2a＝｜PF2｜-｜PF1｜恒成立，則2a ＝｜PF2｜-解得離心率這道題的解法就是對定義的逆用，當(dāng)已知是何種圓錐曲線且與兩焦點(diǎn)有關(guān)時(shí)，可以直接利用定義求解，以達(dá)到簡省思路、簡化運(yùn)算的目的．

2．關(guān)于逆用公式，可以運(yùn)用到解答此題上：求tan 17°＋的值．

我們注意到17°＋43°＝60°，那么我們就可以利用到公式

無論是逆用定義還是逆用公式，都是在正向運(yùn)用概念和公式解題受阻時(shí)可以派上用場的，對公式和定義、定理等的逆向運(yùn)用，往往能易化解題難度，還能幫助學(xué)生開拓思維空間，使學(xué)生受益無窮．

（二）反證法和正難則反

1．運(yùn)用反證法解決問題

在高中數(shù)學(xué)中，關(guān)于數(shù)學(xué)命題的證明方法主要有直接法與間接法，其劃分依據(jù)主要是根據(jù)其所證明的對象．而反證法屬于間接證法中的一種，其往往用于證明等價(jià)命題，也是在遇到很多問題時(shí)，經(jīng)常被采用的方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)無法從正面解決的難題，然而換個(gè)角度從反面來分析問題就會(huì)變得較為簡單．

例1圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分．

分析假設(shè)兩條不是直徑的相交弦能互相平分，那么交點(diǎn)到兩條弦在圓上的點(diǎn)的距離相等，所以交點(diǎn)為圓心．又因?yàn)檫@兩條相交弦不是直徑，所以圓還有一個(gè)圓心，這樣同一個(gè)圓有兩個(gè)圓心，而這是不可能的，所以假設(shè)錯(cuò)誤，即圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分．

例2已知一個(gè)整數(shù)的平方能被2 整除，求證這個(gè)數(shù)是偶數(shù)．

用反證法可以先設(shè)這個(gè)整數(shù)a 為奇數(shù)，且a 的平方能被2 整除，那么設(shè)a ＝2m＋1（m 是整數(shù)），那么a2＝（2m＋1）2＝4m2＋4m＋1＝4m（m＋1）＋1，因此a2是奇數(shù)，這與已知相沖突，因此假設(shè)不成立，所以a 是偶數(shù)．

例3已知a≠0，求證關(guān)于x 的方程ax＋b＝0 有且只有一個(gè)根．

我們可以假設(shè)方程ax＋b＝0（a≠0）至少存在兩個(gè)根，則可設(shè)其中的兩個(gè)根分別為x1和x2，且x1≠x2，則ax1＝-b，ax2＝-b，所以ax1＝ax2，則ax1-ax2＝0，a（x1-x2）＝0．因?yàn)閤1≠x2，那么x1-x2≠0，那么a ＝0，然而這與已知的a≠0 矛盾，故假設(shè)不成立，而結(jié)論成立．

例4求證是無理數(shù)．

由此可見，反證法的巧妙之處就在于它通過設(shè)定一個(gè)與原題結(jié)論相矛盾的條件，然后進(jìn)行推理，最后得出設(shè)定條件與自身出現(xiàn)矛盾，從而充分地證明了假設(shè)的不正確性，證明了原題結(jié)論的合理性．這在以順向思維證明結(jié)論受阻時(shí)，能起到迂回解決問題的作用．

2．運(yùn)用正難則反解決問題

正難則反是解題過程中一個(gè)重要的思維方法，當(dāng)遇到的問題從正面思考不能解決時(shí)，可以通過逆向思維，從問題的反面出發(fā)，逆向運(yùn)用知識來解決問題．大概的意思是當(dāng)我們遇到這個(gè)題目，經(jīng)過仔細(xì)研究后，感覺順推有困難時(shí)，就要嘗試運(yùn)用逆推的原理，不要認(rèn)準(zhǔn)一條思路．許多事情都說明了：對問題正面思考陷入困境后，使用反向思維往往會(huì)使人恍然大悟．

例1設(shè)有兩個(gè)實(shí)數(shù)a 和b，若a2＋b2＝0，則a 和b 必須同時(shí)為零．

證明設(shè)a，b 至少有一個(gè)不為0，

則有a2＋b2＞0，這與已知矛盾，

所以假設(shè)不成立，原結(jié)論成立，即a＝b＝0．

例2已知b＝b1＋b2，其中b1與a 成正比例關(guān)系，b2與a 成反比例關(guān)系，并且當(dāng)a＝1 時(shí)，b ＝4；a ＝2 時(shí)，b ＝5．求b 與a 之間存在的函數(shù)關(guān)系．

解答此題的時(shí)候，用常規(guī)的思維會(huì)受阻，應(yīng)當(dāng)運(yùn)用正難則反的方式來解決問題．那么依據(jù)題意可以設(shè)b1＝k1a，b2＝則由已知條件可以列方程組：解此方程組得因此b 與a 之間的函數(shù)關(guān)系式為

由此可見，通過運(yùn)用逆向思維，可以解決用常規(guī)正向思維不能順利解決的問題，用正難則反的方式，往往能簡化對問題的解答，從而開拓出新的解答問題的途徑．

綜上所述，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維有利于開拓學(xué)生的思維空間，提高其數(shù)學(xué)知識的掌握水平．逆向思維的運(yùn)用不會(huì)局限于數(shù)學(xué)這一科目，但是在中學(xué)時(shí)期培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的最佳課程卻是數(shù)學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)教師在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中重視培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，能夠提高學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展．