數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的應(yīng)用

◎楊高峰 （安徽省亳州市亳州第五完全中學(xué)，安徽 亳州 236800）

新課改中明確要求高中教師要改變傳統(tǒng)的授課方法，讓課堂更多樣化，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增加學(xué)生和教師之間的互動(dòng)．教師在高中數(shù)學(xué)課堂上將數(shù)形結(jié)合思想和數(shù)學(xué)知識(shí)融在一起，可以有效地完成新課改中對(duì)教師的教學(xué)要求，而且學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合的方法可以強(qiáng)化對(duì)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，對(duì)提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力都有著十分大的幫助．在實(shí)際的教學(xué)課堂中，雖然有些學(xué)生很早就開(kāi)始學(xué)習(xí)使用數(shù)形結(jié)合思想解答問(wèn)題，卻不能在解題過(guò)程中有效地將數(shù)形結(jié)合思想引入，不能發(fā)揮出數(shù)形結(jié)合思想的重要解題作用．針對(duì)這種情況，下面提供幾種能有效地將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的策略．

一、讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)形結(jié)合的正確性,合理地應(yīng)用到數(shù)學(xué)知識(shí)中

要想讓高中學(xué)生將數(shù)形結(jié)合思想正確地應(yīng)用在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，首先，高中數(shù)學(xué)教師要與學(xué)生增加溝通，了解學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想的程度，再給學(xué)生正確的指導(dǎo)，從而讓學(xué)生充分地掌握數(shù)形結(jié)合思想．其次，要讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)形結(jié)合思想對(duì)解決問(wèn)題的重要性，例如，在學(xué)習(xí)人教版“函數(shù)與方程”這節(jié)課的時(shí)候，教師可以先讓學(xué)生以傳統(tǒng)的解題方式進(jìn)行解題，然后教師在黑板上展示數(shù)形結(jié)合的解題思路，讓學(xué)生意識(shí)到利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的效率和準(zhǔn)確性，這對(duì)刺激學(xué)生學(xué)好利用數(shù)形結(jié)合思想解題的思路以及間接地提升課堂效率有著十分積極的意義．

當(dāng)然，正確地使用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題，不但可以讓復(fù)雜、抽象的知識(shí)以更簡(jiǎn)單的圖形方式呈現(xiàn)出來(lái)，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成正確的思維都有著十分積極的意義．教師在教學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想的時(shí)候一定要注意不是所有的題目都適合學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題，一些簡(jiǎn)單的題目并不適宜用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行解題，而且畫圖也會(huì)浪費(fèi)學(xué)生大量的解題時(shí)間，這并不利于學(xué)生高效地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．通常數(shù)形結(jié)合思想會(huì)用在方程、函數(shù)、解析幾何或者三角函數(shù)這些具有一定難度的數(shù)學(xué)問(wèn)題中．

二、數(shù)形結(jié)合在函數(shù)和方程中的具體應(yīng)用策略

高中的數(shù)學(xué)知識(shí)相對(duì)初中的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)說(shuō)是十分復(fù)雜和抽象的，而函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，更是讓一部分學(xué)生望而卻步，以至于函數(shù)的教學(xué)成了高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)．在原本的教學(xué)過(guò)程中，教師只是先教學(xué)生學(xué)會(huì)相關(guān)的函數(shù)知識(shí)點(diǎn)，再讓學(xué)生根據(jù)這些知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生需要具備十分強(qiáng)的數(shù)學(xué)邏輯思維和較高的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，這就把多數(shù)同學(xué)擋在了門外，而那些優(yōu)秀的學(xué)生也是根據(jù)數(shù)學(xué)題目中的已知條件，結(jié)合學(xué)習(xí)的函數(shù)知識(shí)一步一步地推導(dǎo)，這個(gè)過(guò)程無(wú)疑加大了解題的難度，同時(shí)也降低了解題的速度．如果在這個(gè)過(guò)程中，高中數(shù)學(xué)教師引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生將已知條件在圖形和坐標(biāo)系上表現(xiàn)出來(lái)，這樣能更直接地表達(dá)已知條件中的函數(shù)關(guān)系，大大地降低了學(xué)生解決函數(shù)的難度，同時(shí)也降低了學(xué)生解決問(wèn)題的難度，這對(duì)提升學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的自信心有著十分積極的意義．

除了函數(shù)以外，學(xué)生在解決高中的方程時(shí)也是費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而且面對(duì)方程中的大量計(jì)算時(shí)也十分容易出錯(cuò)，而在方程中有效地使用數(shù)形結(jié)合思想，找出方程中的已知條件之間的關(guān)系，將其在坐標(biāo)系上正確地標(biāo)記出來(lái)，這樣不但有助于學(xué)生更直觀地對(duì)已有的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，更有助于確定答案的范圍，減少學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的概率．在解決問(wèn)題的時(shí)候，高中數(shù)學(xué)教師可以根據(jù)數(shù)學(xué)方程和函數(shù)之間的密切關(guān)系，將數(shù)學(xué)方程轉(zhuǎn)化成函數(shù)，再利用數(shù)形結(jié)合思想建立合適的坐標(biāo)系，確定方程中零點(diǎn)所在的范圍和零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，這個(gè)過(guò)程可以大大地減少學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的概率，而且建立圖形可以幫助學(xué)生認(rèn)真地分析題目中給出的條件，從而讓學(xué)生順利地解決問(wèn)題．在高中課堂上有效地引入數(shù)形結(jié)合思想對(duì)提升學(xué)生分析高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力和解題技巧都有著十分重要的幫助．

三、以形助數(shù),使抽象問(wèn)題變得形象直觀

在高中數(shù)學(xué)教材中，有很多抽象、復(fù)雜的問(wèn)題，對(duì)于這些數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生理解起來(lái)并不容易，也很難找到解題的思路和方法．若是在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解題，那么學(xué)生就可以通過(guò)直觀的方式來(lái)解決問(wèn)題，避免了煩瑣的計(jì)算過(guò)程，還能夠使學(xué)生掌握正確的解題方式，在今后能夠熟練地應(yīng)用這些解題技巧．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)變成直觀的圖形問(wèn)題，學(xué)生能夠快速地找到已知條件、未知關(guān)系，形成解題思路，這樣就能夠有效地解決這些數(shù)學(xué)難題．

在高中數(shù)學(xué)題中，特別是一些數(shù)量關(guān)系既復(fù)雜又抽象的問(wèn)題，學(xué)生難以理解，不容易找到解題的思路和方法，如果運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生就可以把復(fù)雜、抽象的“數(shù)”的問(wèn)題用直觀的圖形來(lái)解決，這樣就可以繞開(kāi)冗長(zhǎng)煩瑣的數(shù)量計(jì)算過(guò)程．利用圖形能夠幫助學(xué)生有效地解決復(fù)雜的數(shù)量問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)題目中的數(shù)量關(guān)系能夠正確理解，快速準(zhǔn)確地找出已知條件、未知關(guān)系，形成解題思路，從而有效地突破解題難點(diǎn)．例如，在學(xué)習(xí)“圓錐曲線與方程”的知識(shí)時(shí)，由于教材中的例題比較抽象復(fù)雜，學(xué)生在理解題意的時(shí)候就很容易出現(xiàn)困難，更不用說(shuō)應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題了．如已知一個(gè)動(dòng)圓P 與兩個(gè)定圓相外切，定圓C1的方程是（x＋4）2＋y2＝25，定圓C2的方程是（x-4）2＋y2＝1，求這個(gè)動(dòng)圓P 的圓心的軌跡方程．學(xué)生在解這道題時(shí)，通過(guò)直接求方程的方式是非常復(fù)雜的，若是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，借助兩個(gè)圓的“形”，來(lái)求方程的“數(shù)”，這樣問(wèn)題就變得簡(jiǎn)便多了．設(shè)動(dòng)圓的圓心為P，半徑為r，C1的圓心為（-4，0），半徑為5，C2的圓心為（4，0），半徑為1．借助圖形能夠直觀地得到動(dòng)圓P 與定圓C1是相外切的，與定圓C2是相外切的，依據(jù)題意就可以得出｜PC1｜＝5＋r，｜PC2｜＝1＋r，然后可得出｜PC1｜-｜PC2｜＝（5＋r）- （1＋r）＝4 ＜｜C1C2｜，所以點(diǎn)P 的軌跡是雙曲線的右支，再依據(jù)圖形可得出a＝2，c ＝4，b2＝12，動(dòng)圓P 的圓心的軌跡方程是在解這道題時(shí)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想，利用圖形的直觀性，通過(guò)作輔助線的方式，可以很快形成解題思路，這很明顯地突出了“以形助數(shù)”的思想．

四、巧妙利用數(shù)形結(jié)合思想解決教學(xué)重難點(diǎn)

在高中階段的數(shù)學(xué)教育中，函數(shù)既是一個(gè)基礎(chǔ)性的知識(shí)點(diǎn)，又貫穿了高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程．高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)知識(shí)涉及的種類較多，如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等，并且這些知識(shí)具有一定的難度，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)起來(lái)是很困難的．在以往的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師一般先為學(xué)生講解知識(shí)點(diǎn)，然后通過(guò)習(xí)題訓(xùn)練學(xué)生的解題技巧，使學(xué)生在機(jī)械化的解題過(guò)程中將這些解題方式進(jìn)行死記硬背，在這種教學(xué)模式下，并不能明顯地提升教學(xué)效果，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師可以合理地滲透數(shù)形結(jié)合思想組織教學(xué)活動(dòng)，利用數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)變，幫助學(xué)生條理清晰地掌握函數(shù)知識(shí)，提升學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力．

例如，方程sin 2x＝sin x，在區(qū)間x∈（0，2）中，解的個(gè)數(shù)有多少？ 學(xué)生在解決這類問(wèn)題時(shí)，一般是按照已掌握的解題方法，但在應(yīng)用知識(shí)的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)明顯地感到難，此時(shí)，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解決問(wèn)題．首先，教師需要引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)函數(shù)方程繪制出對(duì)應(yīng)的圖像，利用圖像來(lái)解決這個(gè)函數(shù)問(wèn)題．而對(duì)于圖像的繪制，教師可以讓學(xué)生將兩個(gè)三角函數(shù)的圖像繪制在同一個(gè)坐標(biāo)系中，并讓學(xué)生對(duì)圖像進(jìn)行觀察．學(xué)生在觀察之后會(huì)發(fā)現(xiàn)在三角函數(shù)的圖像中存在三個(gè)解．從例題中可以看出，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想輕松地將問(wèn)題解決了，大大地提升了解題的效率，還加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的印象，增強(qiáng)了學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力．

五、以數(shù)解形,使學(xué)生的解題思維更嚴(yán)謹(jǐn)

從數(shù)學(xué)這門學(xué)科來(lái)看，數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)性的特點(diǎn)，這就要求學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和解數(shù)學(xué)題的過(guò)程中，都要保持嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維．很多學(xué)生在解數(shù)學(xué)題時(shí)，會(huì)存在思考不全面、不嚴(yán)謹(jǐn)、粗心大意的問(wèn)題，這就很容易導(dǎo)致找不到正確的解題思路，或者解錯(cuò)題．而學(xué)生在解決較為復(fù)雜的圖形問(wèn)題時(shí)，則可以發(fā)揮“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)性，將圖形中所包含的數(shù)量關(guān)系找出來(lái)，以此作為解題的依據(jù)，這樣不僅能夠幫助學(xué)生找到正確的解題思路，還能夠鍛煉學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性．比如，在解決幾何圖形問(wèn)題時(shí)，學(xué)生單純地憑借直覺(jué)是很難發(fā)現(xiàn)圖形中存在的特點(diǎn)和規(guī)律的，此時(shí)運(yùn)用“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)性、準(zhǔn)確性，則能夠深入地將幾何圖形中隱藏的條件挖掘出來(lái)，確保解題過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性．

例題：有一個(gè)圓M 介于直線和拋物線所圍成的封閉區(qū)間里（含邊界區(qū)域），求這個(gè)圓M 在此區(qū)域中能取得的半徑的最大值是多少．在這道例題中，學(xué)生能夠從圖形上大概看出圓的半徑，卻不能將數(shù)值進(jìn)行精確的定位，所以此時(shí)就可以發(fā)揮代數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性，將圓的半徑的數(shù)值求出來(lái)．

六、凸顯數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值,確保教學(xué)活動(dòng)的合理性

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師若想有效地發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價(jià)值，不僅需要教師充分認(rèn)識(shí)數(shù)形結(jié)合思想的重要性，還要將其融入解題中，并依據(jù)數(shù)形結(jié)合思想的特點(diǎn)和規(guī)律，合理地引導(dǎo)學(xué)生解題．因此，在開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)時(shí)，教師就要做好和學(xué)生的溝通工作，了解學(xué)生的實(shí)際水平．教師還要結(jié)合高中數(shù)學(xué)教材的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)出具有層次感的教學(xué)內(nèi)容，確保能夠?qū)?shù)形結(jié)合思想貫穿到教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生在“數(shù)”和“形”互相轉(zhuǎn)換的過(guò)程中獲得理想的解題效果．

七、結(jié)束語(yǔ)

總而言之，教師在高中課堂上適當(dāng)?shù)匾脭?shù)形結(jié)合思想，有助于學(xué)生更加準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，并且對(duì)學(xué)生適應(yīng)高中學(xué)習(xí)的急迫和壓力也有著十分重要的意義．因此，高中數(shù)學(xué)教師一定要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)并重視使用數(shù)形結(jié)合思想，優(yōu)化高中學(xué)生的解題思路的同時(shí)讓學(xué)生更容易學(xué)會(huì)高中一些重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)，對(duì)提升高中學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)有著十分積極的意義．在教師教會(huì)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想解題的過(guò)程中也打破了傳統(tǒng)的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的模式，可以啟迪學(xué)生從更多的角度去理解數(shù)學(xué)知識(shí)，這不但順應(yīng)了教育改革的要求，也對(duì)促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)思維有著十分密切的關(guān)系．