基于隱馬爾可夫隨機(jī)場(chǎng)和共軛梯度算法的腦部MRI圖像分割算法研究

東南大學(xué)醫(yī)學(xué)院附屬江陰醫(yī)院 影像科，江蘇 江陰 214400

引言

MRI成像由于良好的空間分辨率、較高的組織對(duì)比度和非侵入性等特性，被廣泛應(yīng)用于圖像引導(dǎo)介入、外科手術(shù)引導(dǎo)、放療計(jì)劃等方面[1-3]。MRI圖像處理是診斷腦部疾病的基礎(chǔ)，其中MR腦部圖像分割作為圖像處理的第一步，能輔助識(shí)別腦白質(zhì)、灰質(zhì)和腦脊液形態(tài)，提取病變區(qū)域，達(dá)到定量評(píng)估癡呆、精神分裂癥、阿爾茲海默等神經(jīng)性疾病，但MRI腦部圖像分割一直面臨著諸多挑戰(zhàn)。

MR圖像分割算法主要分為手工分割、半自動(dòng)分割技術(shù)和全自動(dòng)分割技術(shù)[4-6]。臨床醫(yī)師常用手工分割方法，當(dāng)病灶數(shù)量較少且對(duì)比度較大時(shí)，主要操作簡(jiǎn)單、分割精度相對(duì)較高，但分割結(jié)果主觀(guān)差異大，耗時(shí)較多。半自動(dòng)分割技術(shù)主要包括圖像閾值法、區(qū)域增長(zhǎng)法、聚類(lèi)分析法、基于特定理論法等，其中閾值法簡(jiǎn)單高效，借助圖像灰度直方圖選取分割閾值，將圖像劃分為背景和目標(biāo)區(qū)域，但對(duì)灰度不均圖像經(jīng)常無(wú)法確定閾值，且對(duì)噪聲敏感，分割精度很難得到保證。基于區(qū)域分割算法是根據(jù)相似性準(zhǔn)則將像素或區(qū)域聚合為更大區(qū)域的過(guò)程，能有效克服空間不連續(xù)的缺點(diǎn)，但對(duì)相似性準(zhǔn)則要求較高，且容易過(guò)度分割。聚類(lèi)分析將圖像空間像素用對(duì)應(yīng)特征空間點(diǎn)表示，然后根據(jù)距離準(zhǔn)則對(duì)特征空間進(jìn)行分割，適用于存在不確定性和模糊性的圖像，對(duì)初始聚類(lèi)中心設(shè)置極為敏感。全自動(dòng)分割技術(shù)不必借助腦圖譜等分割參考圖像，往往需要借助圖像紋理、位置、方向等經(jīng)驗(yàn)知識(shí)對(duì)圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，然后根據(jù)概率論構(gòu)建自動(dòng)分割模型。

隱馬爾可夫隨機(jī)場(chǎng)是一種有效的圖像分割模型[7-8]，主要基于最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則模擬目標(biāo)函數(shù)最小值。而共軛梯度算法（Conjugate Gradient，CG）是一種最實(shí)用的參數(shù)優(yōu)化算法，能快速準(zhǔn)確計(jì)算目標(biāo)函數(shù)最小值。基于此，本研究嘗試將隱馬爾可夫隨機(jī)場(chǎng)和共軛梯度算法應(yīng)用于腦部MRI圖像分割。

1 隱馬爾可夫隨機(jī)場(chǎng)

馬爾科夫隨機(jī)場(chǎng)是一個(gè)由無(wú)向圖表示的概率分布模型[9]，圖中每個(gè)結(jié)點(diǎn)表示一個(gè)或者一組變量，結(jié)點(diǎn)之間的邊表示兩個(gè)變量之間的依賴(lài)關(guān)系。隱馬爾可夫隨機(jī)場(chǎng)則是一種統(tǒng)計(jì)模型，用來(lái)描述一個(gè)隱含未知參數(shù)的馬爾可夫過(guò)程[10]。假定S={s1,s2,….sM}是圖像節(jié)點(diǎn)的集合，圖像由M個(gè)像素構(gòu)成，每個(gè)節(jié)點(diǎn)s有一個(gè)鄰域集合Vs(S)，鄰域系統(tǒng)V(S)符合公式(1)描述的特質(zhì)。

則第r個(gè)鄰域系統(tǒng)X可由公式(2)定義，式中d(s,t)表示像素s與t之間的歐氏距離，僅由像素位置決定。

定義c為S的一個(gè)子集，其中所有元素互為鄰域，對(duì)于一個(gè)非獨(dú)立點(diǎn)集合，滿(mǎn)足公式(3)，其中第p個(gè)子集Cp包含p個(gè)點(diǎn)。

采用y=(y1,y2,…,yM)表示待分割圖像的像素點(diǎn)，x=(x1,x2,…,xM)表示已分割完成圖像的像素點(diǎn)，M為像素點(diǎn)數(shù)量。yi和xi分別為第i個(gè)像素點(diǎn)灰度值，y和x可看成馬爾可夫隨機(jī)場(chǎng)家族Y的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)和X的對(duì)應(yīng)真實(shí)分割結(jié)果，其中馬爾可夫變量灰度空間Ey={0,1，…,255}，離散空間Ex={1,…,K}，K為圖像區(qū)域分類(lèi)數(shù)量。分割圖像過(guò)程即可描述為在y發(fā)生時(shí)尋找最優(yōu)X中x發(fā)生的概率，隱馬爾可夫隨機(jī)場(chǎng)可以通過(guò)最大化條件概率模擬此過(guò)程，見(jiàn)公式(4)。

根據(jù)貝葉斯定理[11-12]，可將公式(4)轉(zhuǎn)換成公式(5)，P[Y=y]是常數(shù)。

由于所有像素點(diǎn)均相互獨(dú)立，且根據(jù)中心極限定理，相同類(lèi)別數(shù)據(jù)在大樣本下總是趨于高斯分布，因此所有像素點(diǎn)灰度值滿(mǎn)足正態(tài)分布，可得公式(6)和(7)。

由于所有像素點(diǎn)相互獨(dú)立且同步，依據(jù)Hammerskey-Clifford定理，該隱馬爾可夫隨機(jī)場(chǎng)等價(jià)于Gibbs分布[13]，可得公式(8)，其中T為控制參數(shù)。

此處U(x)是由Potts模型定義的條件似然能量函數(shù)[14]，見(jiàn)公式(9)，其中β是常數(shù)。δ是克羅內(nèi)克函數(shù)，見(jiàn)公式(10)。

將公式(7)和(8)帶入公式(5)，可得公式(11)，μxs，σxs分別是類(lèi)別xs的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，當(dāng)β＞0時(shí)，優(yōu)先被分割均勻度較高區(qū)域，且區(qū)域大小由β控制，A是常數(shù)。

求概率函數(shù)P[X=x|Y=y]最大值等價(jià)于求函數(shù)Ψ(x,y)的最小值，如公式(12)。

直接準(zhǔn)確計(jì)算分割結(jié)果x*是不可能的，因此采用最優(yōu)化算法計(jì)算最佳估計(jì)值是x? 必要的。

設(shè) μ=(μ1,μ2,…,μK)和 σ=(σ1,σ2,…,σK)分 別 為 分 割 圖 像x=(x1,x2,…,xM)中K類(lèi)區(qū)域像素灰度均值和標(biāo)準(zhǔn)差，見(jiàn)公式(13)，則計(jì)算函數(shù)Ψ(x,y)的最小值可轉(zhuǎn)化為求Ψ(μ)的最小值?？筛鶕?jù)ys歸類(lèi)到最接近的μj來(lái)計(jì)算x，如果最接近ys的均值是μj，則xs=j，因此尋找μ*即可得到x*，μ集合為μ=[0,…255]K，見(jiàn)公式 (14)。

2 共軛梯度算法

由此，隱馬爾科夫隨機(jī)場(chǎng)模型將圖像分割過(guò)程轉(zhuǎn)化為尋求目標(biāo)函數(shù)Ψ(μ)最小值，本研究采用共軛梯度算法進(jìn)行求解。共軛梯度算法是一種最小化類(lèi)的迭代算法，主要思想是[15-17]：選擇一個(gè)優(yōu)化方向后，采用本次選擇的步長(zhǎng)更新完此方向的誤差，隨后在優(yōu)化更新過(guò)程中不再朝此方向更新。由于每次將一個(gè)方向優(yōu)化到極小，后面優(yōu)化過(guò)程不再影響之前優(yōu)化方向上的極小值，因此理論上對(duì)N維問(wèn)題求極小只用對(duì)N個(gè)方向都求出極小即可，但需要每次優(yōu)化方向共軛正交。

采用共軛梯度算法求解Ψ(μ)最小值時(shí)，需對(duì)Ψ(μ)進(jìn)行一階求導(dǎo)，此處一階導(dǎo)數(shù)由中心差逼近形式表達(dá)，見(jiàn)公式(15)，則此一階導(dǎo)數(shù)的充分逼近取決于ε值，經(jīng)測(cè)試ε取0.01時(shí)效果最佳。

3 評(píng)價(jià)指標(biāo)

圖像分割準(zhǔn)確性采用Dice相似性系數(shù)和特異性（Sensitivity）評(píng)估[18-19]，表示分割結(jié)果與真實(shí)結(jié)果的接近程度，取值范圍均為[0,1]，評(píng)價(jià)指標(biāo)越接近于1表明分割結(jié)果越精確，見(jiàn)公式(16)和(17)。其中A代表分割結(jié)果，B代表真實(shí)結(jié)果，TP、TN、FP和FN分別代表真陽(yáng)性、假陽(yáng)性、假陽(yáng)性和假陰性。

4 結(jié)果

4.1 實(shí)驗(yàn)材料

為了驗(yàn)證本研究提出分割算法的可行性和準(zhǔn)確性，選用兩組不同分辨率的腦部MR-T1加權(quán)圖像進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。①選自IBSR腦圖庫(kù)臨床實(shí)例MRI圖像30幅[20]，圖像大小為256×256×63 個(gè)體素，體素大小1 mm×3 mm×1 mm，算法中常數(shù)β設(shè)置為1，溫度T為10，初始點(diǎn)μ0=(1,5,140,190)；② 選自BrainWeb腦圖庫(kù)仿真圖像20幅[21]，圖像大小為181×217×181 個(gè)體素，體素大小1 mm×1 mm×1 mm，且在圖像中加入（0,0）、（3%,20%）和（5%,20%）的噪聲。算法中參數(shù)設(shè)置如下：常數(shù)β為1，Brain Web-3控制參數(shù)T分別為10、4和1，初始點(diǎn)μ0均為（1,45,110,150）。并將本研究提出算法與經(jīng)典馬爾可夫隨機(jī)場(chǎng)算法和三種改進(jìn)的馬爾可夫隨機(jī)場(chǎng)算法進(jìn)行比較，所有的仿真實(shí)驗(yàn)均在MATLAB平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)。

4.2 臨床實(shí)例腦部MRI圖像分割結(jié)果比較

本研究提出算法能完整清晰地識(shí)別出IBSR庫(kù)腦部MRI臨床圖像的白質(zhì)、灰質(zhì)、腦脊液和背景部分（圖1），表明本研究提出算法的可行性。經(jīng)典MRF算法所得平均Dice相似性系數(shù)和特異性值均最低，表面該算法分割效果最差。其次，兩種改進(jìn)MRF算法所得平均Dice相似性系數(shù)和特異性值稍高于MRF算法，且大致相等，表明改進(jìn)的MRF算法分割性能有所提升。基于本研究提出算法分割所得灰質(zhì)、白質(zhì)、腦脊液和總體平均Dice相似性系數(shù)分別達(dá)到0.895、0.855、0.832和0.848，特異性值分別達(dá)到0.902、0.912、0.923和0.912，且Dice相似性系數(shù)在各功能分區(qū)均有所提升：灰質(zhì)（10.41%～11.12%）、白質(zhì)（3.14%～3.39%）、腦脊液（4.26%～6.26%）和總體平均（5.87%～6.67%）；特異性值提升如下：灰質(zhì)(1.69%～7.89%)、白質(zhì)(2.93%～6.54%)、腦脊液(5.01%～9.75%)和總體平均(3.17%～8.16%)，表明本研究提出算法的有效性和優(yōu)越性。定量分析結(jié)果，見(jiàn)表1。

圖1 IBSR庫(kù)腦部MRI圖像分割結(jié)果

表1 不同算法分割I(lǐng)BSR庫(kù)腦部MR圖像所得Dice相似性系數(shù)

4.3 不同噪聲水平腦部MRI圖像分割結(jié)果比較

由圖2可知，本研究提出算法可將BrainWeb庫(kù)不同噪聲水平MRI腦部合成圖像準(zhǔn)確分割成灰質(zhì)、白質(zhì)、腦脊液和背景部分，表明本研究提出算法的準(zhǔn)確性與抗噪性。定量分析結(jié)果如表2所示，在噪聲水平為0時(shí)，MRF改進(jìn)算法所得腦區(qū)各部分Dice相似性系數(shù)和特異性值均低于本研究提出的HMRF-CG算法，表明本研究提出算法的優(yōu)越性。噪聲水平從（0，0）增加到（5%，20%）時(shí)，MRF改進(jìn)算法所得平均Dice相似性系數(shù)有所升高，從0.705上升到0.918，平均特異性值呈下降趨勢(shì)，從0.864下降到0.816，主要是該算法誤將噪聲誤劃分為圖像目標(biāo)區(qū)域像素所致，導(dǎo)致分割特異性下降?；诒狙芯刻岢鏊惴ú煌肼曀剿肈ice相似性系數(shù)特異性值均微弱下降，但分割精度仍大于0.9，且均高于MRF改進(jìn)算法所得對(duì)應(yīng)值。不同噪聲水平下不同腦分區(qū)Dice相似性系數(shù)下降幅度為：灰質(zhì)（39.17%～0.66%）、白質(zhì)（48.43%～0.11%）、腦脊液（27.96%～3.47%）和總體平均值（38.15%～1.42%），特異性值提升幅度為：灰質(zhì)（14.20%～15.86%）、白質(zhì)（14.13%～14.27%）、腦脊液（10.20%～12.35%）和總體平均值（12.85%～14.22%），表明本研究提出算法的抗噪性和特異性均較強(qiáng)。

圖2 BrainWeb庫(kù)不同噪聲水平MRI腦部圖像分割結(jié)果

5 結(jié)論

本文聯(lián)合使用隱馬爾可夫隨機(jī)場(chǎng)和共軛梯度算法分割MRI腦部圖像，其中隱馬爾可夫隨機(jī)場(chǎng)為圖像分割過(guò)程建模，共軛梯度算法提供目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化解法。定性與定量分析顯示，基于本研究提出算法能獲得清晰準(zhǔn)確地劃分腦部各功能分區(qū)，臨床實(shí)例和包含噪聲MRI腦部圖像分割所得Dice相似性系數(shù)和特異性值均高于其他算法，表明本研究提出算法的可行性、抗噪性和魯棒性，適用于臨床MRI腦部圖像分割。

表2 Brainweb庫(kù)不同噪聲水平腦部圖像分割所得Dice系數(shù)