熟悉的陌生人
——如何解多項選擇題

端木彥

多項選擇題，即正確選項不止一個的選擇題.模擬卷中的評分規(guī)則為：全部選對得5分，有選錯的得0 分，部分選對的得3 分.2021年高考很有可能有此種題型.

以往高中數(shù)學試題中沒有多項選擇題，不過有一類我們很熟悉的題，表面是單項選擇題，其實與多項選擇題相似.

右欄的這道題你會做嗎？2019年，全國有4 份高考卷中出現(xiàn)了這種題型．看來，多項選擇題對我們來說還真是一位熟悉的陌生人，那就來深入了解一下這位朋友．直接法、排除法、數(shù)形結合法、特值法等單項選擇題常用方法，都可以用來招呼這位朋友；比較異同法、綜合法等方法，這位朋友也挺喜歡．

一、直接法

即從已知條件出發(fā)，結合相關定理、法則、定義等，通過準確的運算、嚴謹?shù)耐评淼贸稣_結論的方法．簡言之，直接求．

例1在平面直角坐標系xOy中，角α以Ox為始邊，終邊經(jīng)過點P(1,m)(m＜0)，則下列各式一定為正的是（ ）

A．sinα+cosαB．cosα-sinα

C．sinαcosαD．

引例（2019年全國Ⅰ理科卷）關于函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四個結論：

①f(x)是偶函數(shù)；②f(x)在區(qū)間上單調遞增；③f(x)在[-π,π]有4個零點；④f(x)的最大值為2．其中所有正確結論的編號是（ ）

A．①②④ B．②④

C．①④ D．①③

（答案見例6）

解析

由任意角的三角函數(shù)的定義結合三角函數(shù)的象限符號求解，正確答案為BD．

二、排除法

“去偽存真”的奧義在此法中體現(xiàn)無疑，解題時可通過排除一些較易判定的、不合題意的選項，縮小選擇范圍.

例2下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0,+∞)上單調遞增的是（ ）

A.y=x3B.y=x-2C.y=e|x|D.y=lgx2

三、數(shù)形結合法

把抽象的數(shù)學語言與直觀的幾何圖形結合起來，使抽象問題具體化，常用于解決有幾何背景的問題.

例3已知兩點M(-3,0)，N(3,0)，給出下列曲線方程，在其所對應的曲線上存在點P滿足PM+PN=10的曲線方程為（ ）

A.x-y+5=0 B.y2=4x

四、特值法

運用題設條件的某些特殊數(shù)值、特殊位置、特殊關系、特殊圖形等對各選項進行校驗或推理，利用一般與特殊的辯證關系判斷正誤.

例4若方程所表示的曲線為C，則下面四個命題中正確的是（ ）

A.若1 ＜t＜5，則C為橢圓；

B.若t＜1，則C為雙曲線；

C.若C為雙曲線，則焦距為4；

D.若C為焦點在y軸上的橢圓，則3 ＜t＜5．

五、比較異同法

這類多項選擇題的特點十分明顯，即選項中存在內容對立的情況，此時應考慮從對立選項中選出正確的．

例5對于給定的正整數(shù)數(shù)列{an}，滿足an+1=an+bn，其中bn是an的末位數(shù)字，下列關于數(shù)列{an}的說法正確的是（ ）

A.如果a1是5 的倍數(shù)，那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}必有相同的項；

B.如果a1是5 的倍數(shù)，那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}必沒有相同的項；

C.如果a1不是5 的倍數(shù)，那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}只有有限個相同的項；

D.如果a1不是5 的倍數(shù)，那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}有無窮多個相同的項．

解析

由“偶函數(shù)”排除A，由“遞增”排除B，故正確答案為CD．

解析

根據(jù)橢圓定義，P點軌跡方程為橢圓，故可通過作圖看公共點情況進行快速求解．正確答案為ABC．

解析

當t=3時，曲線C為圓，故A 錯．當t=0時，方程表示雙曲線，但此時焦距不為4，故C 錯．當t=4時，方程表示焦點在y軸上的橢圓．對于B,D，特殊值代入正確，可進一步精確計算：若曲線C為雙曲線，則(5-t)(t-1)＜0，得t＞5 或t＜1；若曲線C為焦點在y軸上的橢 圓，則0 ＜5-t＜t-1，得3 ＜t＜5.故選BD．

敲黑板

因為多項選擇的答案不唯一，所以選取特殊值時需要格外謹慎．如例4 的A 選項，若選擇范圍內的其他特殊值，都會掉入陷阱．

六、綜合法

在多項選擇題中常與直接法結合使用.如引例，我們可以將它改編為多項選擇題如下：

例6已知函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|，下述四個結論中正確的是（ ）

A.f(x)是偶函數(shù)

B.f(x)在區(qū)間上單調遞增

C.f(x)在[-π,π]上有4個零點

D.f(x)的最大值為2

值得注意的是，多選題的每一個選項都可能是滿足題意的，所以逐一計算審核選項的過程必然會增加答題時間.常見的典型錯誤、容易混淆的概念、不夠全面的思考，都可能成為干擾我們得分的因素.所以，同學們更要認真審題，認真分析選項情況，再通過驗證等方式檢驗，保證選項完全正確.最后，認真、規(guī)范地填寫答案.

知己知彼，百戰(zhàn)不殆，希望同學們可以與多項選擇題成為好朋友.

小試牛刀

1.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知S9=72,a7=10，則（ ）

A.an=n+3 B.an=2n-4

2.已知函數(shù)f(x)=xlnx+x2，x0是函數(shù)f(x)的極值點，以下幾個結論中正確的是（ ）

答案：1.AC；2.AD

解析

因為選項中AB 為一組，CD 為一組，各組內兩選項彼此對立．故只需在兩組內圍繞關鍵詞研究即可．

當a1是5 的倍數(shù)，則數(shù)列{an}的末位數(shù)字是5 或0，數(shù)列{2n}的末位數(shù)字只能是2，4，6，8，不存在相同的項，則B 正確．當a1不是5 的倍數(shù)時，這個數(shù)加上它的末位數(shù)字所得數(shù)的末位數(shù)字只能是2，4,6，8，數(shù)列{an}的末位數(shù)字只能是2，4,6,8,數(shù)列{2n}的末位數(shù)字有且只有2，4，6，8，故它們必有相同的項，且有無窮多個相同的項，則D 正確．故此題答案為BD．

解析

很明顯A 正確，易知f(0)=0，故f(x)在關于原點對稱的區(qū)間內只可能有奇數(shù)個零點，由此排除C 選項．再用直接法得到區(qū)間上的f(x)=2 sinx，故B 錯誤．對D 的判斷則可以用極限法，因 為sin|x|≤1 且|sinx|≤1，故只要兩個等號同時成立則D 正確，顯然時成立．所以，正確答案是AD．

敲黑板

多項選擇題的得分規(guī)則“多選得0分，部分選對得3分”也很重要．一旦出現(xiàn)拿捏不準的選項，可采用保守策略，寧“缺”勿“濫”，得保險分．不過話雖如此，能得5分才是王道哦！