在推理中深度理解數(shù)學(xué)模型

臧曉梅

教學(xué)內(nèi)容：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊第七單元“數(shù)學(xué)廣角——植樹問題”。

課前思考：教材通過對現(xiàn)實生活中植樹問題的研究，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)棵數(shù)和間隔數(shù)的規(guī)律，進而抽象出這類植樹問題的數(shù)學(xué)模型。在平時的教學(xué)中，我們常?？吹剑趯θN植樹情況（兩端都栽、只栽一端、兩端不栽）進行分析，建立起棵數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系后教學(xué)就止步了。上課教師之所以這樣處理，有一定的原因：從知識難易上看，植樹問題的難度比較大，在編入教材之前屬于經(jīng)典的奧數(shù)知識，在一節(jié)課上能學(xué)完三種類型已經(jīng)是大容量教學(xué)了;從承載的思想方法上看，化歸、數(shù)形結(jié)合、一一對應(yīng)、模型、推理等都是要體現(xiàn)的思想，不易做好有機整合?；谏鲜隹紤]，筆者重新進行了設(shè)計，力求體現(xiàn)對數(shù)學(xué)模型的有效建構(gòu)，在具體的教學(xué)實踐中也取得了很好的教學(xué)效果。

教學(xué)過程：

一、情境導(dǎo)入，初步感知三種類型

1.聯(lián)系實際，理解間隔

師：（讓前后兩位學(xué)生起立）大家看，這兩位同學(xué)之間產(chǎn)生了一個……

生：間隔、空。

師：我們一般說成一個間隔。

（師依次讓學(xué)生說出這樣站立的4人、100人分別有幾個間隔。）

師：如果產(chǎn)生了這樣的101個間隔，你知道有多少名學(xué)生嗎？

生：有102名學(xué)生。

2.引出課題，感知三種植樹方式的存在

師：這節(jié)課，我們要研究和間隔有關(guān)的問題，數(shù)學(xué)上稱為植樹問題。（師板書，出示下圖。）

師：植樹節(jié)到了，少先隊員在公園內(nèi)通往涼亭的小路一側(cè)義務(wù)植樹，小路全長45米，每隔5米栽一棵，由五年級三個班完成，按班級順序每班各栽15米，請你算一算每班各栽了多少棵？

【意圖】借助“三個班級各栽了多少棵”這個大問題引出了在直線上植樹的三種類型，讓學(xué)生初步感知到解決植樹問題的現(xiàn)實意義。和單一地呈現(xiàn)一種植樹類型相比，這樣更便于學(xué)生在后續(xù)的探究中進行分析、比較，讓學(xué)生能從整體上理解把握。

二、主動探究，感悟模型

1.學(xué)生嘗試解決

師：三個班各栽了多少棵呢？大家可以想一想、畫一畫。

（學(xué)生在線段圖上用畫點或畫小樹的方式表示出要栽的棵數(shù)，師選擇有代表性的作品投影。）

師：你能看懂這些方法嗎？

（學(xué)生對15米處、30米處栽的樹歸哪個班產(chǎn)生了爭執(zhí)，對45米處栽不栽有疑問，師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題意和圖去理解，統(tǒng)一認(rèn)識。）

2.命名三種植樹類型

師：為了便于我們進一步研究，老師把三個班級的植樹情況單獨列了出來，請看屏幕。

師：請你觀察，這三幅圖有什么不同？

生：栽的棵樹不同。

生：栽的方法不同。

師：那你能給它們起個名字嗎？

（根據(jù)學(xué)生發(fā)言，師總結(jié)出兩端都栽、只栽一端、兩端不栽，并在圖上顯示出來。）

3.猜測棵數(shù)和間隔數(shù)關(guān)系

師：觀察這三種植樹方式，相同點在哪里？

生：間隔數(shù)都是3，每班都栽了15米。

師：（指著圖）3個間隔4棵樹，3個間隔3棵樹，3個間隔2棵樹，看來，棵數(shù)和什么有關(guān)？

生：和間隔數(shù)有關(guān)。

師：在不同的植樹類型下，棵數(shù)和間隔數(shù)又會有怎樣的關(guān)系呢？我們進一步來研究。

【意圖】學(xué)生對15米、30米、45米處的“爭執(zhí)”，是學(xué)生在初步感知后對三種植樹類型的進一步理解。在學(xué)生統(tǒng)一認(rèn)識后，教師又把三種類型分開呈現(xiàn)，讓學(xué)生結(jié)合自己的理解給予命名，并引發(fā)學(xué)生進一步思考：為什么同樣的15米，三個班栽的棵數(shù)卻不一樣呢？不同植樹方式下棵數(shù)和間隔數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢？核心問題就此啟動了起來，學(xué)生的探究由表面轉(zhuǎn)向深入。

三、對比分析，建立模型

1.任選一種小組內(nèi)研究

師：小組內(nèi)任選一種類型解決，看看棵數(shù)和間隔數(shù)到底有怎樣的關(guān)系。（出示合作要求：（1）任選一種類型，解決后也可以想想其他類型如何解決。（2）畫出線段圖并列出算式。）

2.匯報交流，深化理解

師：老師先調(diào)查一下，你選擇了哪種植樹情況來解決的？（研究兩端都栽的有2個小組，只栽一端的有9個小組，兩端不栽的有1個小組。）

師：那就先請研究只栽一端的這個小組前來匯報。

生1：大家好，我們小組研究的是只栽一端的情況。先用15米除以5米得到3個間隔，要栽3棵，發(fā)現(xiàn)了間隔數(shù)等于棵數(shù)的關(guān)系，同學(xué)們有什么疑問嗎？

生2：15米除以5米得到的是3個間隔，怎么是3棵樹呢？

師：（匯報學(xué)生剛要解釋，師示意先等等）這個問題問得好啊，明明是3個間隔嗎？怎么成了3棵樹呢？（全班學(xué)生思考后指名學(xué)生發(fā)言。）

師：（對著生1）他們的回答說出了你的意思了嗎？還是你來說說吧！

生1：這里雖然是3個間隔，從圖上看也是3棵數(shù)。（還有部分學(xué)生不明就理。）

師：給你個建議，如果你能在圖上畫一畫、指一指大家就更明白了。

（生1畫出箭頭，并說明了間隔數(shù)和棵數(shù)存在著一一對應(yīng)的關(guān)系。）

師：大家明白了嗎？根據(jù)一一對應(yīng)，這里的單位“個”可以改成什么了？

（生1把“個”改成“棵”。）

【意圖】為什么絕大多數(shù)小組都選擇了只栽一端的方式？這并非意外，而是教師意料之中的事情。因為上課的班級是5年級2班，學(xué)生對自己班級的認(rèn)同度比較高，才會做出這種選擇。更重要的是，通過對這種植樹方式的深度探究，積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，為學(xué)生用這個發(fā)現(xiàn)由此及彼、推理出其他方式做了鋪墊。