巧設(shè)問題 激發(fā)興趣
——“兩角差的余弦公式”教學(xué)設(shè)計(jì)

管良梁

(安徽省合肥市第四中學(xué),233000)

本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)》人教A版必修4第三章“三角恒等變換”的3.1.1節(jié)“兩角差的余弦公式”，屬于新授課.本節(jié)內(nèi)容是三角恒等變形的基礎(chǔ),是正弦線、余弦線和誘導(dǎo)公式等知識(shí)的延伸,也是兩角和、差、倍、半角等公式的基礎(chǔ).

教學(xué)過程設(shè)計(jì)如下：

一、創(chuàng)設(shè)情境

問題1某城市的電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上.在地平面上有一點(diǎn)A,測(cè)得A，C兩點(diǎn)間距離約為60米，從A觀測(cè)電視發(fā)射塔的視角(∠CAD)約為45°，觀測(cè)小山的視角(∠CAB)約為15°，求這座電視發(fā)射塔頂端D距離地面高度(如圖1).

師:請(qǐng)應(yīng)用已有的知識(shí)將電視塔的高度表示出來．

設(shè)計(jì)意圖問題1是由《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》(數(shù)學(xué))人教A版必修4第124頁(yè)的問題改編而來的.由學(xué)生獨(dú)立上黑板完成.這類問題學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過,對(duì)學(xué)生而言是非常熟悉的問題.從熟悉的問題出發(fā),對(duì)已知經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行回顧,在回顧的過程中發(fā)現(xiàn)問題.

二、 探索嘗試

問題2cos 15°=?

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生憑直覺容易犯cos(α-β)=cosα-cosβ這樣的錯(cuò)誤.通過教師提問,學(xué)生動(dòng)筆計(jì)算發(fā)現(xiàn)，cos(α-β)=cosα-cosβ一般不成立.這樣也可避免學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)過程中犯同樣的錯(cuò)誤,同時(shí)激發(fā)學(xué)生的求知欲和探究的動(dòng)力.

三、 探索新知

問題3如圖2，若α≠β+2kπ,k∈Z，在平面直角坐標(biāo)系中作單位圓,以x軸非負(fù)半軸為始邊作角α,β, (α-β),它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為P1，A1，P,則P1，A1，P三點(diǎn)的坐標(biāo)如何表示?

生:P1(cosα,sinα)，A1(cosβ,sinβ)，P(cos(α-β),sin(α-β)).

問題4如何將sin(α-β)，cos(α-β)，sinα，cosα，sinβ，cosβ這六者聯(lián)系起來?

生:由圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性可知，弧P1A1等于弧PA，故有P1A1=PA.再由兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)出cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

師:當(dāng)α=β+2kπ,k∈Z時(shí),很容易證明上式.所以,對(duì)于任意角α，β有

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.(Cα-β)

引導(dǎo)學(xué)生試著應(yīng)用公式解決例1遺留的問題.

問題5兩角差的余弦公式有什么結(jié)構(gòu)特點(diǎn)?

生:發(fā)現(xiàn)公式左邊是差角的余弦,右邊是單角同名三角函數(shù)值乘積之和.

設(shè)計(jì)意圖通過教師的引導(dǎo),激發(fā)學(xué)生自覺回顧三角函數(shù)和兩點(diǎn)間的距離公式的相關(guān)知識(shí),為公式的探索提供思路.通過帶有指向性的問題,使學(xué)生意識(shí)到,代數(shù)問題幾何化,幾何問題代數(shù)化,培養(yǎng)學(xué)生自主探索和數(shù)形結(jié)合的能力;使學(xué)生體會(huì)和認(rèn)識(shí)嚴(yán)格的推導(dǎo)過程，是獲取數(shù)學(xué)結(jié)論的方法.由學(xué)生通過自身的努力得到結(jié)論,讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課上體驗(yàn)成功.

培養(yǎng)學(xué)生用自己的語(yǔ)言描述公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的表達(dá)能力，加深對(duì)公式的印象,為下一步公式的應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

四、例題講解

例1(1)cos 50°cos 20°+sin 50°sin 20°的值為______;

(2)cos(-15°)的值為______;

(3)化簡(jiǎn)cos(α+45°)cosα+sin(α+45°)sinα=______.

設(shè)計(jì)意圖例1是兩角差的余弦公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用.通過本例幫助學(xué)生注意以下三點(diǎn):

(1)在兩角差的余弦公式中,α，β既可以是單角,也可以是復(fù)角;

(2)要注意誘導(dǎo)公式的應(yīng)用;

(3)公式的應(yīng)用具有靈活性,解題時(shí)要注意正向、逆向和變式形式的選擇.

設(shè)計(jì)意圖例2是利用三角函數(shù)值求角，即給值求角問題.通過本例使得學(xué)生掌握解決這類問題的步驟:(1)求角的某一三角函數(shù)值;(2)確定角所在的范圍;(3)根據(jù)角的范圍寫出所求角.

五、 課堂小結(jié)

師:通過這節(jié)課的學(xué)習(xí),你都有哪些收獲呢?

生:(1)了解了兩角差余弦公式的推導(dǎo)過程；

(2) 掌握了兩角差余弦公式及其應(yīng)用.

問題6兩角差的余弦公式的應(yīng)用需要注意什么?

生:注意公式的正向、逆向和變式的選擇以及角的范圍.

設(shè)計(jì)意圖加深學(xué)生的記憶,注意:(1)兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；(2)忽略角的范圍而產(chǎn)生增根.

本節(jié)課從學(xué)生熟悉的問題出發(fā),在應(yīng)用已知問題解決未知問題的過程中發(fā)現(xiàn)新的問題,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.巧妙設(shè)置六個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)分析問題,尋求解決問題的途徑和方法,在老師的幫助下推導(dǎo)出兩角差的余弦公式,最后應(yīng)用公式解決問題.在教學(xué)的過程中，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程,發(fā)展創(chuàng)新意識(shí).