具有缺失數(shù)據(jù)混合泊松分布參數(shù)的估計(jì)①

楊 航， 楊艷秋， 于新龍

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

0 引 言

數(shù)據(jù)缺失情況下的統(tǒng)計(jì)推斷問題一直是熱點(diǎn)問題.有關(guān)一些常見的連續(xù)分布，文獻(xiàn)[1]研究兩個(gè)冪分布在部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失情況下的參數(shù)估計(jì)及檢驗(yàn)問題.文獻(xiàn)[2]研究具有部分缺失數(shù)據(jù)的混合指數(shù)分布的參數(shù)估計(jì)及假設(shè)檢驗(yàn)問題.由于泊松分布是最常見到的非連續(xù)分布,因此對于泊松分布的統(tǒng)計(jì)推斷問題一直是統(tǒng)計(jì)學(xué)家關(guān)心的熱點(diǎn)研究問題.文獻(xiàn)[3]研究兩個(gè)泊松分布總體參數(shù)的估計(jì)及檢驗(yàn).文獻(xiàn)[4]給出含部分缺失數(shù)據(jù)的泊松分布參數(shù)的貝葉斯估計(jì).文獻(xiàn)[5]闡述了泊松分布的由來及發(fā)展.文獻(xiàn)[6]給出泊松分布以及復(fù)合泊松分布的性質(zhì).2016年何朝兵、杜保建等人[7]通過EM算法得到了在不完全信息隨機(jī)截尾試驗(yàn)下的混合泊松分布參數(shù)的點(diǎn)估計(jì).2019年隋崴等[8]得到了雙變量泊松分布參數(shù)的極大似然估計(jì).文中進(jìn)一步研究混合泊松分布在部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失情況下的參數(shù)估計(jì)問題，計(jì)算混合泊松分布總體未知參數(shù)的矩估計(jì)，證明其性質(zhì)，并進(jìn)行隨機(jī)模擬以示其可行性.

1 參數(shù)矩估計(jì)及其性質(zhì)

混合泊松分布的密度函數(shù)為

f(x,q,λ1,λ2)=

其中λi>0(i=1.2)是第一個(gè)總體的參數(shù)，在對總體分布進(jìn)行n次獨(dú)立觀測下，每個(gè)樣本的觀測值以1-p的概率被缺失，以p的概率被觀測，用(Xi,δi),i=1,2,...,n去表示總體的第一個(gè)觀測值，這里Xi表示第一個(gè)混合泊松分布總體的第i個(gè)樣本觀測值，若第i個(gè)觀測值丟失，記δi=0，否則記δi=1.

下面用矩估計(jì)對兩個(gè)未知參數(shù)λ1,λ2進(jìn)行估計(jì)，建立如下矩估計(jì)方程：

其中EX=qλ1+(1-q)λ2,E(X2)=qλ1(λ1+1)+(1-q)λ2(λ2+1).

解得

下面證明：對于上述參數(shù)λi(i=1,2)的矩估計(jì)的漸近正態(tài)性以及相合性.

證明：{Xiδi,1≤i≤n}是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，由強(qiáng)大數(shù)定律可知

這里

E(X1δ1)=E(X1)E(δ1)=p(qλ1+(1-q)λ2).

同理可知

(1-q)λ2(λ2+1)),

進(jìn)而有

其中

定理2在上述記號下有

證明：令Wi=(δi,δiXi,δiXi2),(Wi,i≥1)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且

E(W1)=(p,p(qλ1+(1-q)λ2),
p(qλ1(λ1+1)+(1-q)λ2(λ2+1))).

令∑=E(W1-EW1)(W1-EW1)T，則由多元中心極限定理可知

記

其中

a11=p(1-p),

a12=a21=p(1-p)(qλ1+(1-q)λ2),

a13=a31=p(1-p)(qλ1(λ1+1)+(1-q)λ2(λ2+1)),

a22=p(qλ1(λ1+1)+(1-q)λ2(λ2+1))-

p2(qλ1+(1-q)λ2)2,

a23=a32=p(1-p)(qλ1(λ1+1)+

(1-q)λ2(λ2+1))(qλ1+(1-q)λ2),

a33=p(1-p)

(qλ1(λ1+1)+(1-q)λ2(λ2+1))2,

令

α1=p,

α2=p(qλ1+(1-q)λ2),

α3=p(qλ1(λ1+1)+(1-q)λ2(λ2+1)),

所以

由引理1知

而且

同理令

由引理1可知

其中

2 隨機(jī)模擬

下面利用隨機(jī)模擬說明所給出的方法的可行性，表1分別給定樣本容量為n=50,n=100,n=300,缺失概率1-p=0.10，混合概率q=0.7和q=0.9時(shí)的模擬研究結(jié)果。模擬計(jì)算了不同參數(shù)λ1,λ2下1000次估計(jì)的均方誤差，括號中第一個(gè)數(shù)字是參數(shù)λ1的均方誤差，第二個(gè)數(shù)字是λ2均方誤差.

表1 模擬結(jié)果

從表1中的模擬結(jié)果可以看出，對于不同的參數(shù)以及不同的樣本量，參數(shù)估計(jì)的均方誤差都相對較小，并且誤差也比較穩(wěn)定，說明所給出的估計(jì)方法能夠?qū)ξ粗獏?shù)給出較為精確的估計(jì).

3 結(jié) 論

研究了具有缺失數(shù)據(jù)的混合泊松分布總體參數(shù)的估計(jì)問題。利用矩估計(jì)給出了未知參數(shù)的估計(jì)，同時(shí)考慮了估計(jì)的極限性質(zhì)。也通過模擬分析計(jì)算了估計(jì)的均方誤差，根據(jù)模擬結(jié)果可知，的估計(jì)有較小的均方誤差，說明我們的估計(jì)方法具有可行性.