應(yīng)用動(dòng)能定理進(jìn)行多自由度系統(tǒng)建模探析

薛艷霞, 蘇振超

(廈門大學(xué)嘉庚學(xué)院 土木工程學(xué)院， 福建 漳州 363105)

0 引言

眾所周知, 動(dòng)力學(xué)問題可以利用各種方法進(jìn)行求解, 例如動(dòng)量定理、 動(dòng)量矩定理、 平面運(yùn)動(dòng)微分方程、 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程、 動(dòng)能定理、 功率方程、 機(jī)械能守恒定律、 達(dá)朗貝爾原理、 動(dòng)力學(xué)普遍方程、 拉格朗日方程、 哈密爾頓原理等。 不同方法從不同方面反映和刻畫了物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律, 有各自的使用范圍。 動(dòng)能定理是按照能量的觀點(diǎn), 將動(dòng)能與力的功之間建立起關(guān)系, 從而可以利用微分形式或積分形式的動(dòng)能定理建立其動(dòng)力學(xué)方程。 對于單自由度系統(tǒng)而言, 該方程就可以描述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。 而對于多自由度系統(tǒng), 一般理論力學(xué)或工程力學(xué)教材[1-6]均認(rèn)為雖然可以應(yīng)用動(dòng)能定理, 但必須與其他定理聯(lián)合才能建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程組。 而單獨(dú)應(yīng)用動(dòng)能定理建立多自由度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的情況還很少見。 筆者發(fā)現(xiàn)將系統(tǒng)的動(dòng)能用廣義坐標(biāo)來表示后, 將其微分并令表示為廣義速度的組合, 最后令每一個(gè)廣義速度前的系數(shù)項(xiàng)為零, 也可以得到多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程(本文將這種方法稱為 “多自由度系統(tǒng)微分形式動(dòng)能定理法”)。 在文[7]中也提供了應(yīng)用類似方法建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程, 例如其中的3-38、 3-39、 3-40 等多個(gè)例題為多自由度問題, 整個(gè)求解過程相對簡單, 步驟統(tǒng)一, 相比其他方法具有一定的優(yōu)越性。 但這種方法的理論依據(jù)是什么? 據(jù)筆者檢索, 未發(fā)現(xiàn)國內(nèi)外流行的理論力學(xué)或工程力學(xué)教材對此進(jìn)行論述, 未見提及這種建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的依據(jù)。

本文擬對動(dòng)能定理應(yīng)用于多自由度系統(tǒng)的問題展開討論, 首先給出動(dòng)能定理應(yīng)用于多自由度系統(tǒng)的定理, 然后給出其反例, 以提示使用這種方法的局限性。 需要說明的是, 由于文[7]中的方法是先利用動(dòng)能定理的積分形式, 然后再對時(shí)間求導(dǎo)數(shù), 故本文為節(jié)省篇幅, 直接使用動(dòng)能定理的微分形式進(jìn)行討論。

1 可獨(dú)立用動(dòng)能定理完成建模的一類多自由度系統(tǒng)

定理1 對于受到雙面定常完整理想約束的多自由度系統(tǒng), 如果系統(tǒng)動(dòng)能的表達(dá)式中不顯含廣義坐標(biāo), 則令微分形式動(dòng)能定理的廣義坐標(biāo)展開式中各廣義坐標(biāo)微分的系數(shù)項(xiàng)為零, 即可得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。

證 假設(shè)多自由度系統(tǒng)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)為n, 自由度數(shù)為k, 受到雙面定常完整約束。 若選其廣義坐標(biāo)為： q1, q2, …, qk, 則各質(zhì)點(diǎn)的位置ri可表示為：

因而系統(tǒng)中各質(zhì)點(diǎn)的速度˙ri及系統(tǒng)動(dòng)能T 可表示為：

由于mij= mji, 故式(6)中dqj前面的系數(shù)與用拉格朗日方程求得的式(5)中的左端一致。 即在定理1 的條件下, 利用動(dòng)能定理的微分形式求得的多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程與用拉格朗日方程求得的動(dòng)力學(xué)方程完全一致, 因此可用來求解這種特殊情況下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。

對于單自由度系統(tǒng)而言, 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能自然不包含位置坐標(biāo), 由定理1 可知結(jié)果必然正確, 這也是理論力學(xué)中一般采用的情況。

定理1 表明微分形式的動(dòng)能定理可以用來處理一類特殊的多自由度系統(tǒng), 從而在一定程度上擴(kuò)大了動(dòng)能定理的適用范圍, 擴(kuò)展了人們對微分形式動(dòng)能定理的認(rèn)識, 具體示例不再介紹。 但需要注意的是, 直接令動(dòng)能定理的微分和式中各廣義坐標(biāo)的微分前系數(shù)為零在物理上并不是因?yàn)楦鲝V義坐標(biāo)的微分相互獨(dú)立。 事實(shí)上, 各廣義坐標(biāo)的微分(即微小實(shí)位移) 是不獨(dú)立的, 它們之間存在著一定的聯(lián)系[8], 只是對于滿足定理1 條件的系統(tǒng), 動(dòng)能定理的微分形式中廣義坐標(biāo)微分前的系數(shù)項(xiàng)剛好與拉格朗日方程的虛位移前的系數(shù)項(xiàng)一致, 才使得微分形式動(dòng)能定理具有這樣的適用性。

而對于不滿足定理1 條件的系統(tǒng), 則無法保證動(dòng)能定理的微分形式中廣義坐標(biāo)微分前的系數(shù)剛好與拉格朗日方程虛位移前的系數(shù)一致, 因此也就無法直接令其為零而得到正確的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。 現(xiàn)舉例進(jìn)行比較說明。

2 舉例及討論

文[7]中的例題3-38、 3-39、 3-40 等, 其中的動(dòng)能表達(dá)式中不僅包含廣義速度項(xiàng), 而且顯含廣義坐標(biāo), 故上述定理1 不適用。 對于這類問題的求解, 多自由度系統(tǒng)微分形式動(dòng)能定理法是否也適用呢? 在此給出一個(gè)類似的例子, 并加以討論。

例1 已知位于鉛垂平面的圖1 所示系統(tǒng)中, 桿件OA 和AB 長度分別為2l1和2l2、 質(zhì)量分別為m1和m2, 用光滑鉸鏈連接。 試建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。

解 該系統(tǒng)約束顯然為雙面完整定常的理想約束。 以兩桿的轉(zhuǎn)角θ 和φ 為廣義坐標(biāo)。 由于：

則系統(tǒng)的動(dòng)能為：

圖1 例1 示意圖

式(8)中, 在歸類時(shí)采用將2m2l1l2˙θ˙φsin(φ - θ) ˙φdt項(xiàng)歸結(jié)為2m2l1l2˙φ2sin((φ - θ)dθ , 2m2l1l2˙θ˙φsin(φ- θ)˙θdt 項(xiàng)歸結(jié)為2m2l1l2˙θ2sin(φ - θ)dφ 等。 而外力的元功之和為：

由于dT = δW , 可得：

利用多自由度系統(tǒng)微分形式動(dòng)能定理法, 則該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

經(jīng)驗(yàn)證方程(9)與由拉格朗日方程所得結(jié)果完全相同。

但若將式(8)中2m2l1l2θ˙φ˙sin ( φ - θ) φ˙dt 項(xiàng)歸2m2l1l2θ˙φ˙sin ( φ - θ) θ˙dt 項(xiàng) 歸 結(jié) 為2m2l1l2θ˙φ˙sin ( φ - θ) dθ 。 則類似可得方程為：

由拉格朗日方程可以證明這樣得到的方程(10)是錯(cuò)誤的。

在本例的計(jì)算過程中, 動(dòng)能函數(shù)為廣義坐標(biāo)的二次齊次函數(shù), 但部分系數(shù)中顯含有廣義坐標(biāo), 所以并不滿足定理1 的條件。 對于這類問題,在應(yīng)用時(shí)需要特別留意2m2l1l2˙θ˙φsin (φ - θ) ˙φdt 應(yīng)該 等 于2m2l1l2˙φ2sin (φ - θ) dθ , 而 不 能 等 于2m2l1l2˙θ˙φsin (φ - θ) dφ 。

由此可以看出, 對于不滿足定理1 條件的系統(tǒng)使用定理1, 雖有可能得到正確結(jié)果, 但存在很大的不確定性, 即存在二義性問題, 而對于自由度大于2 的系統(tǒng), 則可能出現(xiàn)多義性問題。 上述多義性問題在文[7] 的3-38、 3-39、 3-40 等例題中也一樣存在, 只是作者明智地選擇了第一種方式歸結(jié), 而沒有采用其他歸結(jié)方式。 這說明定理1 的條件是有用的。

如何消除上面所說的多義性? 筆者發(fā)現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)與微分之間歸結(jié)時(shí)應(yīng)遵循以下規(guī)律： 不同速度乘積項(xiàng)歸結(jié)后的結(jié)果中某廣義坐標(biāo)的線性速度項(xiàng)與其微分項(xiàng)不應(yīng)在同一個(gè)表達(dá)式中。 例如, 例1 的計(jì) 算 過 程 中 ˙θ˙φsin (φ - θ) ˙φdt 項(xiàng) 應(yīng) 歸 結(jié) 為˙φ2sin (φ - θ) dθ , 而 不 能 歸 結(jié) 為˙φ˙θsin (φ - θ) dφ 。

如果說對于例1 多自由度系統(tǒng)微分形式動(dòng)能定理法經(jīng)改良還可以使用的話, 那么對于下面的例2, 獨(dú)立應(yīng)用動(dòng)能定理則根本無法得到正確的結(jié)果。

例2 圖2 所示系統(tǒng)中, 均質(zhì)桿的質(zhì)量為m1, 在鉛垂平面Oxy 內(nèi)運(yùn)動(dòng), 質(zhì)量為m2的滑塊可以在桿上無摩擦地滑動(dòng), 若外力偶矩為Tθ,物塊與轉(zhuǎn)軸的距離為ρ , 桿的轉(zhuǎn)角為θ , 試建立該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。

圖2 例2 示意圖

解 該系統(tǒng)約束顯然為雙面完整定常的理想約束。 選擇系統(tǒng)廣義坐標(biāo)為q1= ρ 、 q2= θ , 則此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能可表示為：

按照多自由度系統(tǒng)微分形式動(dòng)能定理法, 則可得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

經(jīng)分析, 上述結(jié)果與基于拉格朗日方程所得結(jié)果[9]不同。 所以對于這類動(dòng)能表達(dá)式中顯含廣義坐標(biāo)的系統(tǒng), 多自由度系統(tǒng)微分形式動(dòng)能定理法不再適用, 且對于本例無論如何改良均不能得到正確解。 產(chǎn)生這種問題的原因本質(zhì)上說是因?yàn)閺V義坐標(biāo)的微分表示的是系統(tǒng)的實(shí)位移, 它們之間有密切的聯(lián)系, 微分形式動(dòng)能定理的關(guān)于廣義坐標(biāo)微分的和式中, 廣義坐標(biāo)微分前的系數(shù)項(xiàng)沒有將系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程解耦。 自然, 按照多自由度系統(tǒng)微分形式動(dòng)能定理法無法得到正確的解。

3 結(jié)論

本文針對一種獨(dú)立應(yīng)用動(dòng)能定理建立多自由度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的方法, 探討這種方法的理論依據(jù), 給出了獨(dú)立應(yīng)用動(dòng)能定理而獲得多自由度系統(tǒng)全部動(dòng)力學(xué)方程的適用性及使用條件, 證明了對于動(dòng)能表達(dá)式中不顯含廣義坐標(biāo)的系統(tǒng), 獨(dú)立使用微分形式動(dòng)能定理也可得到與拉格朗日方程完全相同的結(jié)果。 該結(jié)論擴(kuò)大了動(dòng)能定理的應(yīng)用范圍, 有利于對動(dòng)能定理相關(guān)內(nèi)容的深化, 在沒有應(yīng)用拉格朗日方程的情況下, 對滿足定理1條件的系統(tǒng), 可以單獨(dú)應(yīng)用動(dòng)能定理的微分形式快速建立其動(dòng)力學(xué)方程, 為求解這一類相關(guān)問題帶來很大方便。 同時(shí)強(qiáng)調(diào)對于不滿足定理1 條件的系統(tǒng), 使用多自由度系統(tǒng)微分形式動(dòng)能定理法建模時(shí)會存在二義性甚至多義性問題, 在建立方程時(shí)需要注意其歸結(jié)方式； 而對于有些問題, 例如本文中的例題2, 應(yīng)用多自由度系統(tǒng)微分形式動(dòng)能定理法則根本無法獲得正確結(jié)論, 說明使用該方法有比較嚴(yán)格的條件。

致謝： 本文寫作過程中, 南京航空航天大學(xué)王懷磊博士曾與本文通訊作者多次討論并提供建設(shè)性建議,在此表示感謝。