立足推理，親歷“再創(chuàng)造”的過程
——《圓的面積》教學(xué)的深度追問與重構(gòu)

江蘇南京市溧水區(qū)狀元坊小學(xué) 程 婭

一、叩問：教什么，怎么教，有什么用

一個(gè)偶然的契機(jī)，筆者受命執(zhí)教蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《圓的面積》。這一課時(shí)安排了3個(gè)例題，容量大，難度高，既要有活動(dòng)操作的體驗(yàn)，又要邏輯推理的發(fā)展，是大家公認(rèn)的“硬骨頭”。筆者開始思考：教材為什么這樣安排？這樣的安排跟學(xué)生的素養(yǎng)發(fā)展之間有怎樣的聯(lián)系？學(xué)生的起點(diǎn)在哪里？怎樣引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的“再創(chuàng)造”？

二、慎思：“起點(diǎn)”和“終點(diǎn)”之間需要什么

1.教材的立意

（1）關(guān)于例7

幾個(gè)版本的數(shù)學(xué)教材都相繼取消了數(shù)方格，那數(shù)方格在這里的作用是什么？回顧長方形、平行四邊形的面積公式推導(dǎo)過程，都是要先數(shù)方格。那數(shù)方格的作用僅僅是比較、估算嗎？繼續(xù)回顧數(shù)方格是緣于面積的比較，面積單位的產(chǎn)生，就知道教材堅(jiān)持?jǐn)?shù)方格傳遞的思想：數(shù)方格是為了度量。面積是度量幾何學(xué)的重要組成部分，任意一個(gè)新圖形的面積，都可以“以面度面”。量出面積，再探究與相關(guān)量的關(guān)系，因此數(shù)方格是度量思想的體現(xiàn)。例7的作用是什么？筆者以為：是要讓兒童經(jīng)歷合情推理的過程。要讓學(xué)生重新經(jīng)歷人類對(duì)圓周率探索漫長過程中的關(guān)鍵性步子，就必須發(fā)掘例7在數(shù)學(xué)知識(shí)“再創(chuàng)造”過程中的重要作用：創(chuàng)設(shè)“區(qū)間精確”的路徑，親歷以面度面的測量驗(yàn)證過程，也為猜測提供依據(jù)，合情推理也應(yīng)是一種證據(jù)推理。

（2）關(guān)于例8

小學(xué)生以感性思維為主，動(dòng)手實(shí)踐是探究新知的主要方式之一，安排幾個(gè)操作合適呢？“轉(zhuǎn)化為長方形、三角形、梯形”這個(gè)問題對(duì)學(xué)生來說有難度， 但它的價(jià)值在于能讓學(xué)生養(yǎng)成多角度思考的習(xí)慣， 能有意識(shí)地尋求不同的方法解決問題， 能綜合已學(xué)知識(shí)來思考新問題。鑒于一節(jié)課時(shí)間有限，教師可以將“轉(zhuǎn)化為長方形”作為本課的基礎(chǔ)研究，而“轉(zhuǎn)化為三角形、梯形”作為課后拓展研究。例8的作用是什么呢？除了動(dòng)手操作，轉(zhuǎn)化前后的對(duì)接里還有思辨，有空間想象、幾何推理、視覺空間推理。例7合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論。而例8則是“把實(shí)際操作與幾何推理結(jié)合起來，發(fā)揮實(shí)際操作在幾何思維中的重要作用”。

（3）關(guān)于例9

例9不僅僅是一個(gè)簡單的公式代入練習(xí)，必須要考慮到：學(xué)生是首次計(jì)算關(guān)于一個(gè)數(shù)的平方與另一個(gè)數(shù)的積，會(huì)出現(xiàn)計(jì)算順序的差異。因此，計(jì)算時(shí)先算r2也是需要教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比發(fā)現(xiàn)的地方。此外，學(xué)生嘗試用π×102+100π這樣的代數(shù)式表示運(yùn)算的結(jié)果，也為后續(xù)代數(shù)的運(yùn)算奠定基礎(chǔ)。

所以這3個(gè)例題都很重要，對(duì)學(xué)生思維的發(fā)展有深刻的影響。

2. 學(xué)生的起點(diǎn)

（1）學(xué)生有過多次用數(shù)方格來研究面積的經(jīng)驗(yàn)：研究長方形、正方形、平行四邊形及不規(guī)則圖形的面積。

（2）學(xué)生有用轉(zhuǎn)化法來探究面積的經(jīng)驗(yàn)：研究平行四邊形面積時(shí)，轉(zhuǎn)化成長方形；研究三角形面積、梯形面積等時(shí)都用到了轉(zhuǎn)化的方法。

（3）學(xué)生有較多數(shù)學(xué)研究的經(jīng)驗(yàn)：很多研究都是先大膽猜測，再實(shí)驗(yàn)求證，最后推理驗(yàn)證。例如圓的周長的探究，也是先猜測和什么有關(guān)，估計(jì)是什么樣的關(guān)系，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證關(guān)系。

3. 教學(xué)的著力點(diǎn)

（1）經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生過程，體會(huì)極限、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)空間觀念，發(fā)展數(shù)學(xué)思考。

（2）經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過程，經(jīng)歷猜想、操作、驗(yàn)證、討論和歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程。

（3）經(jīng)歷數(shù)學(xué)歷史發(fā)展過程，感受面積測量發(fā)展的歷史，感受數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的邏輯之美。

三、重構(gòu)：聆聽兒童數(shù)學(xué)思考真實(shí)的聲音

（一）類比推理：把握認(rèn)知起點(diǎn)，凸顯遷移價(jià)值

師：今天老師帶來了我們學(xué)校狀元娃的一些剪紙作品。剪這張剪紙圖案，至少需要多大的圓形紙片？（PPT出示圖1①）

師：求圓形紙片的大小，就是要求什么？（板書課題）

師：這個(gè)圓形紙片的面積指的是什么？

師：猜一猜，圓的面積與它的什么有關(guān)？（半徑、直徑、周長、π）

師：是這樣嗎？（PPT演示長短兩條半徑各旋轉(zhuǎn)一周畫出圓的過程）

師：圓面積的大小與半徑是什么關(guān)系呢？我們可以借助一個(gè)和半徑有關(guān)的圖形——正方形來研究。（PPT出示例7，隱去方格，如圖1②）

師：正方形和圓有什么關(guān)系？

生1：正方形的邊長就是圓的半徑。

生2：圓面積大約是正方形面積的4倍……比4倍少一些。

（師板書≤4r2）

生4：四個(gè)三角形合起來就是兩個(gè)正方形，圓面積比兩個(gè)正方形大一些。也就是說, 圓面積比2r2多一些（如圖1③）。

生5：圓的面積比4r2少一些，比2r2多一些。

（二）合情推理：立足舉例驗(yàn)證，親歷以面度面

師：那圓的面積到底是r2的幾倍呢？讓我們來數(shù)一數(shù)。

生1：圓的面積是52cm2，正方形面積是16cm2，所以圓的面積大約是正方形面積的3倍多一些。

師：所有這樣的圓和正方形都有這種關(guān)系嗎？

生：不確定，還需要進(jìn)一步舉例驗(yàn)證。

（小組合作：數(shù)一數(shù)、算一算、填一填）

師：仔細(xì)觀察（指向表格），你有什么發(fā)現(xiàn)？

生2：圓的面積都是正方形面積的3倍多一些，也是半徑平方的3倍多一些。

（三）演繹推理：拓展認(rèn)知邊界，感受極限思想

師：要想更準(zhǔn)確地知道圓的面積，你有什么好辦法？

生：以前把平行四邊形面積剪拼為長方形面積；把三角形、梯形面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形的面積。圓的面積是不是也可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)學(xué)過的圖形呢？

師：怎么轉(zhuǎn)化呢？轉(zhuǎn)化成學(xué)過的什么圖形呢？（出示圖2①）

師：借助材料袋里的材料，我們先把圓剪拼成一個(gè)平行四邊形看看有什么發(fā)現(xiàn)。

（展示交流：黑板有序展示學(xué)生成果）

師：仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)了什么？

生：拼成的圖形越來越接近平行四邊形。

師：繼續(xù)分下去呢？

生：平行四邊形斜邊會(huì)豎起來！

師：那就是？

生：長方形。

師：是的，就是這樣，我們把圓轉(zhuǎn)化成了長方形。

（師板書：轉(zhuǎn)化）

師：觀察轉(zhuǎn)化前后的圖形，思考：拼成的長方形和原來的圓有什么關(guān)系？

生（小結(jié)）：圓的面積可以用公式S+πr2來計(jì)算。

（四）回顧反思：立足研究過程，勾連數(shù)學(xué)文化

師：看來圓的面積和圓的半徑確實(shí)有著密不可分的聯(lián)系?；仡櫧裉斓难芯窟^程，我們是怎樣做的？

生：先猜測和什么有關(guān)，然后估計(jì)是怎樣的關(guān)系。通過不斷地觀察比較，逐步縮小范圍，再數(shù)方格進(jìn)一步縮小范圍，最后通過轉(zhuǎn)化推導(dǎo)出完善的面積公式。

師（小結(jié)）：是的，其實(shí)我們做任何研究都需要這樣大膽猜想，實(shí)驗(yàn)求證，推理驗(yàn)證。讓我們來看看前人是如何研究圓的面積的吧。

播放微課視頻：（逐步出現(xiàn)圖2②）數(shù)學(xué)始于需要，早在幾千年前，我們的祖先由于田地、湖泊的測量需要，開始了對(duì)面積的探究。他們先是用手掌、腳印及同樣大小的小正方形比較面積的大小，后來，人們應(yīng)用出入相補(bǔ)的原理，將圓的面積轉(zhuǎn)化為它內(nèi)接十二邊形的面積，因此有了“周三徑一”的說法。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，我國數(shù)學(xué)家劉徽指出有限次的分割、拼補(bǔ)是有局限的，進(jìn)而想到無限分割，把圓的面積轉(zhuǎn)化為求無數(shù)個(gè)小三角形的面積。

師：前人怎樣用手掌、腳印比較面積啊？“周三徑一”是什么意思？劉徽為什么要無限分割呢？回顧我們今天的研究，是不是和前人有驚人的相似之處？

生：是的，我們也是有研究圓形紙片面積的需要，先估一估，然后想到用數(shù)方格來測量，不過這種方法有很大的誤差，最后想到通過無限分割把圓面積轉(zhuǎn)化成為長方形的面積,問題才得以解決。

師：現(xiàn)在要解決之前的這個(gè)問題，你需要什么條件？

師：剛才我們是把圓轉(zhuǎn)化成長方形來研究的，其實(shí)也可以把圓轉(zhuǎn)化成三角形、梯形。那三角形、梯形和圓又有什么聯(lián)系呢？讓我們帶著這個(gè)問題走進(jìn)課后的研究。

四、追擊：讓兒童經(jīng)歷再創(chuàng)造

教學(xué)不能只關(guān)注知識(shí)，還應(yīng)關(guān)注情境背后的能力、知識(shí)背后的文化和精神、技巧背后的思想和方法、邏輯背后的直觀和猜想。因此在推理過程中還要關(guān)注兒童親歷怎樣的歷程。

（一）經(jīng)歷圓面積知識(shí)產(chǎn)生的過程

主要通過一條主線（如圖3），這個(gè)過程是從區(qū)間到精確的過程。

（二）經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過程

引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷猜想、估計(jì)、操作、驗(yàn)證、討論和歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程，感受數(shù)學(xué)研究的過程：大膽猜想→實(shí)驗(yàn)求證→推理驗(yàn)證。類比科學(xué)研究的過程，有一個(gè)共同點(diǎn)：有探究的需要→猜測（大膽提出一些假設(shè)）→實(shí)驗(yàn)求證（用已掌握的測量方法測量幾個(gè)圓片的面積）→推理驗(yàn)證（化曲為直和假設(shè)對(duì)接）→解決問題。

（三）經(jīng)歷數(shù)學(xué)歷史發(fā)展過程

回顧面積發(fā)展歷史，人類對(duì)面積的研究是始于度量的需要，在沒有面積測量方法以前，只能借助一些現(xiàn)有的面積比較面積的大小。從“周三徑一”到準(zhǔn)確地測量出圓的面積，前人想到了利用無限分割轉(zhuǎn)化成無數(shù)多個(gè)三角形的和。這節(jié)課的研究也是如此，始于解決問題的需要，借助有關(guān)圖形估一估，為了更精確，想到用小方格度量；為了消除誤差，進(jìn)而想到剪拼轉(zhuǎn)化成長方形。