基于概率密度演化理論的LRB隔震支座時(shí)變可靠度研究

王思文， 王憲杰， 胡 彪， 李承玥， 張 帆

(云南大學(xué) 建筑與規(guī)劃學(xué)院，昆明 650500)

1 引 言

結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)性對(duì)工程的影響一直伴隨著工程設(shè)計(jì)和建造等全過(guò)程。經(jīng)過(guò)大量研究工作的持續(xù)投入，取得了系列成果[1]。90年代末到新世紀(jì)初，我國(guó)學(xué)者發(fā)展了隨機(jī)系統(tǒng)分析理論，為隨機(jī)結(jié)構(gòu)可靠度的求解提供了新的途徑[2]。李杰等[3]提出隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的概率密度演化方法PDEM(Probability Density Evolution Method)，可精確高效地獲得隨機(jī)結(jié)構(gòu)概率反應(yīng)信息。梅真等[4]將PDEM方法結(jié)果與統(tǒng)計(jì)結(jié)果對(duì)比，證明了該方法的高效與準(zhǔn)確性。范文亮等[5]基于PDEM方法推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)承載力裕度的概率密度演化方程，研究了鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)的體系可靠度等。諸多研究已證明概率密度演化理論這一新方法的應(yīng)用范圍正逐漸普及開來(lái)。

實(shí)際工程中，隔震支座長(zhǎng)期與外界環(huán)境接觸，不可避免會(huì)老化。同時(shí)，在生產(chǎn)支座的過(guò)程中，因材料和尺寸存在不確定因素，致使支座力學(xué)參數(shù)具有一定隨機(jī)性。對(duì)此，已有學(xué)者進(jìn)行了相應(yīng)探究，Kato等[6]發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)期服役后的隔震支座水平剛度顯著增大;Oh等[7]證明加速老化后支座的剪切剛度、能量吸收和等效阻尼系數(shù)受到了影響；薛斌等[8]〗指出橡膠剪切模量和鉛芯屈服強(qiáng)度的變異會(huì)影響等效水平剛度的不確定性。因此，對(duì)支座老化衰退以及參數(shù)的不確定性應(yīng)予以重視。

等效水平剛度是影響建筑隔震效果的一個(gè)重要力學(xué)指標(biāo)，其值越小，隔震效果越好；相反，其值越大，致使上部結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)加大[9]。在役支座剛度減小或增加過(guò)大都不利于隔震建筑的安全性，因此，對(duì)隔震支座可靠度的研究具有重要的工程意義。

現(xiàn)有關(guān)于支座力學(xué)性能的分析大多是確定性的分析，并沒(méi)有考慮支座材料性能的衰退；或僅考慮材料衰退而忽視了材料衰退與參數(shù)不確定性的耦合影響。在前人對(duì)LRB支座試驗(yàn)研究的基礎(chǔ)之上，本文引入橡膠材料的隨機(jī)性、時(shí)變性及鉛芯彈模的隨機(jī)性，得出橡膠和鉛芯的隨機(jī)時(shí)變本構(gòu)模型，構(gòu)建LRB支座隨機(jī)時(shí)變有限元模型，探究支座等效水平剛度的退化趨勢(shì)。最后，基于極值分布事件概率密度演化理論得出不同老化時(shí)間下支座等效水平剛度的概率密度演化曲線和衰退規(guī)律，求解不同老化年限下LRB支座的時(shí)變可靠度，為隔震工程設(shè)計(jì)和既有隔震支座的更換和維護(hù)提供一定的理論支持。

2 LRB支座隨機(jī)時(shí)變本構(gòu)關(guān)系

2.1 Mooney-Rivlin超彈性本構(gòu)模型

LRB支座中的硫化橡膠材料有著體積不可壓縮的特點(diǎn)，且具有優(yōu)良的彈性和恢復(fù)性。和金屬等材料初始時(shí)刻即展現(xiàn)出線彈性本構(gòu)關(guān)系不同，橡膠本構(gòu)具有非線性的特點(diǎn)，不能簡(jiǎn)單用彈性模量來(lái)描述，其本構(gòu)可以由式(1，2)表示[10]。

(1)

(2)

式中W為應(yīng)變能函數(shù)，N為階次，Ck l為材料常數(shù)，k和l為所取級(jí)數(shù)最低次冪第一項(xiàng)對(duì)應(yīng)的指數(shù)，一般取0或1，Dk為不可壓縮系數(shù)，J為彈性體積比，I1,I2和I3分別為第1,2，3應(yīng)變不變量，λ1,λ2，λ3分別為第1,2，3拉伸比。

當(dāng)N= 1和I3= 1并取最低次冪時(shí)，式(1)可用傅里葉級(jí)數(shù)式表示，即得式(3)的Mooney-Rivlin本構(gòu)模型。對(duì)橡膠而言，材料常數(shù)C10和C01可根據(jù)式(4～6)[11]由橡膠硬度間接換算得出。

(3)

lgE0= 0.0238Hr-0.9905

(4)

E0= 6(C10+C01)，C01= 0.25C10

(5，6)

式中Hr為橡膠硬度，E0為橡膠彈性模量，D1為k取1時(shí)對(duì)應(yīng)的不可壓縮系數(shù)。

2.2 橡膠材料性能的衰變

LRB隔震支座由鋼材、鉛芯和橡膠組成。其中，鋼板和鉛芯的性質(zhì)較為穩(wěn)定，力學(xué)性質(zhì)改變緩慢，而橡膠材料隨著使用時(shí)間的增加，分子層面的化學(xué)性質(zhì)發(fā)生改變。橡膠老化是一個(gè)緩慢的過(guò)程，為便于試驗(yàn)研究，文獻(xiàn)[12]提出化學(xué)反應(yīng)速度論，并指出實(shí)際環(huán)境中的材料老化時(shí)間與加速老化時(shí)間存在換算關(guān)系。馬玉宏等[13]在其理論基礎(chǔ)上，進(jìn)一步歸納出式(7)。在單純考慮熱老化因素時(shí)，對(duì)支座橡膠材料進(jìn)行了2160 h(等同于20 ℃環(huán)境使用180年，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[13]圖24)超長(zhǎng)周期的加速老化試驗(yàn)，部分試驗(yàn)時(shí)間與自然老化時(shí)間的換算關(guān)系及數(shù)據(jù)列入表1和如圖1所示。

表1 試驗(yàn)時(shí)間與對(duì)應(yīng)自然環(huán)境20 ℃的老化時(shí)間

(7)

式中Ea為反應(yīng)活化能，R為氣體常數(shù)，Treal為自然環(huán)境中的絕對(duì)溫度，Ttest為熱氧加速老化試驗(yàn)絕對(duì)溫度，treal為自然老化時(shí)間，ttest為試驗(yàn)老化時(shí)間。

因我國(guó)建筑設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期較長(zhǎng)，一般在50年以上，房屋產(chǎn)權(quán)為70年，具有較長(zhǎng)的使用年限。為使研究范圍覆蓋大多數(shù)房屋的壽命周期，圖1中0～84年數(shù)據(jù)點(diǎn)是下文的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)?？梢钥闯觯鹉z的老化并不是線性關(guān)系，在0～16年增加速度較快；隨后因試樣外層橡膠老化起了一定隔絕作用，減慢了內(nèi)部橡膠的老化；16～36年出現(xiàn)了平臺(tái)期，此時(shí)橡膠硬度較穩(wěn)定；在36～84年繼續(xù)上升，與前16年相比增加速度較緩。為了進(jìn)行針對(duì)性分析，選取0年，4年，12年，16年，24年，40年，60年，72年和84年的老化時(shí)間作為目標(biāo)時(shí)刻。

2.3 支座等效水平剛度不確定性

目前，已有大部分研究采用確定性的力學(xué)指標(biāo)來(lái)衡量隔震支座的力學(xué)性能。實(shí)際上，支座在制造過(guò)程中不可避免地存在諸多隨機(jī)性因素，如支座的幾何尺寸、材料彈模和橡膠材料常數(shù)等，最終導(dǎo)致支座等效水平剛度的不確定性。本文選定橡膠材料常數(shù)和鉛芯彈模Eq作為L(zhǎng)RB支座材料層面的時(shí)變和隨機(jī)性因素，并假設(shè)其服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。根據(jù)貴州輪胎股份有限公司對(duì)橡膠材料樣品的基礎(chǔ)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，近似擬合出式(8)所示橡膠材料常數(shù)變異系數(shù)Cv的時(shí)變關(guān)系。變異系數(shù)和材料常數(shù)概率取值列入表2，Eq均值取16000，變異系數(shù)取0.02。式(9，10)即為橡膠和鉛芯材料的隨機(jī)本構(gòu)關(guān)系模型表達(dá)式。

圖1 加速熱老化試驗(yàn)數(shù)據(jù)[13]

表2 材料常數(shù)概率信息取值Tab.2 Probability information of material constant

Cv(t) = 0.000363e0.06201 t+0.04164e0.01213 t

(8)

W(μ1,σ1) =C10(μ1,σ1)(I1- 3)+

(9)

(10)

規(guī)范《建筑隔震橡膠支座JG/T118-2018》[14]規(guī)定隔震支座的等效水平剛度計(jì)算式為

Kh= (Q+-Q-)/(U+-U-)

(11)

式中Kh為等效水平剛度，U+和U-為支座的最大和最小位移，Q+和Q-為最大和最小位移對(duì)應(yīng)的最大和最小剪力。

LRB支座等效水平剛度的理論值計(jì)算式為[15]

(12，13)

(14，15)

3 基于概率密度演化理論極值分布的可靠度求解

PDEM理論是一種新興的隨機(jī)性理論方法，高效而準(zhǔn)確，為求解復(fù)雜隨機(jī)問(wèn)題提供了一種新的途徑。結(jié)構(gòu)的可靠度可定義為

R(t) = Pr{X(τ) ∈Ωs, 0≤τ≤t}

(16)

式中R(t)為結(jié)構(gòu)可靠度函數(shù),X(τ)為致使結(jié)構(gòu)失效的物理因素,Ωs為安全域,t為參考時(shí)間。

根據(jù)不同的判別標(biāo)準(zhǔn)，PDEM方法求解可靠度問(wèn)題可分為單側(cè)吸壁問(wèn)題和雙側(cè)吸壁問(wèn)題等[16]。規(guī)范[14]指出，老化后支座等效水平剛度的變化量應(yīng)在+20%之內(nèi)，存在一側(cè)限值，故適合采用單側(cè)吸壁準(zhǔn)則式(17)來(lái)定義其變化區(qū)間限值。

R(t) = Pr{X(τ) ≤b, 0≤τ≤t}

(17)

根據(jù)PDEM方法的基本思想[17],求解極值分布事件可靠度的核心是構(gòu)造一個(gè)虛擬隨機(jī)過(guò)程Ql(τ)，在虛擬時(shí)間τ中使目標(biāo)隨機(jī)變量為該過(guò)程的截口隨機(jī)變量Zl(τ= 1)。以該過(guò)程為橋梁，進(jìn)而求解目標(biāo)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)[18]，如式(18,19)。式(20)即為依賴于隨機(jī)參數(shù)Θ定義的隨機(jī)結(jié)構(gòu)反應(yīng)絕對(duì)值的最大值。

Zl=Ql·τ=Wl(Θ,T) ·τ

(18)

Zl=Ql(τ)|τ =1

(19)

(20)

進(jìn)一步，可得到(Ql,Θ)的聯(lián)合概率密度函數(shù)pQl Θ(q,θ,τ)的概率密度演化方程(21)和相對(duì)應(yīng)的初值條件(22)。

(21)

pQlΘ(q,θ,τ) |τ = 0=δ(q)pΘ(θ)

(22)

式中δ(q)為Dirac函數(shù)。

求解偏微分方程(21)初值問(wèn)題,聯(lián)立式(21，22)即可求出pQlΘ(q,θ,τ)的數(shù)值解，再代入式(23～25)求出可靠度。

(23)

pz1(z) =pQl(q,τ)|q =z,τ =1

(24)

(25)

根據(jù)數(shù)論選點(diǎn)法在三維隨機(jī)變量Θ的三維分布空間Ωθ中選取若干個(gè)代表點(diǎn)，求出等效水平剛度Kh。根據(jù)式(19)構(gòu)造的虛擬隨機(jī)過(guò)程如式(26)所示，則虛擬隨機(jī)過(guò)程Z(τ)關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù)即為式(27)。

Z(τ) =Kh(θi,j) · sin(τ· π/2)

(26)

式(26)滿足Z(τ)|τ =0= 0,Z(τ)|τ =1=Kh(θi,j),當(dāng)τ= 1時(shí)，Z(τ)即為真實(shí)的等效水平剛度。

4 算例分析

4.1 參數(shù)選取與有限元模型的建立

依照?qǐng)D2 所示的LRB支座結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行有限元建模，模型的尺寸大小參照規(guī)范[14]對(duì)支座尺寸規(guī)格的規(guī)定，選取支座直徑為Ф600 mm進(jìn)行建模。為了便于分析，暫不考慮封板中的螺栓和支座橡膠保護(hù)層的厚度，以及外層橡膠老化后對(duì)內(nèi)部橡膠的延緩效果，模型具體尺寸參數(shù)列入表3。

橡膠材料常數(shù)取值基于表2的概率信息，經(jīng)由數(shù)論選點(diǎn)法生成；鋼板選用Q235鋼，鋼材彈模EG= 206000 MPa，采用隨動(dòng)硬化本構(gòu)關(guān)系[20]，應(yīng)力σ1，σ2及應(yīng)變?chǔ)?，ε2的取值分別為235 MPa，444 MPa及0,0.1812，泊松比μG=0.3；鉛芯彈模Eq=16000 MPa；泊松比μ=0.44，屈服強(qiáng)度σs=10.2 MPa，采用理想彈塑性本構(gòu)關(guān)系[21]。

LRB支座具有軸對(duì)稱的特點(diǎn)，為提高收斂性和計(jì)算效率，對(duì)支座模型進(jìn)行如下簡(jiǎn)化。以xOy平面為基準(zhǔn)面，沿X軸方向切去一半，可減少一半網(wǎng)格數(shù)量。因支座在組裝過(guò)程中的硫化工藝可使鋼板層和橡膠層間產(chǎn)生極強(qiáng)的黏結(jié)力，很難產(chǎn)生剝離破壞，且鉛芯在制作時(shí)直徑會(huì)略大于中孔直徑，以使鉛芯和鋼板-橡膠復(fù)合體緊密相連。因此，將支座的鋼板、封板、橡膠層和鉛芯合并為一個(gè)構(gòu)件，細(xì)部構(gòu)造如圖2所示，模型展示如圖3所示。

因橡膠體積不可壓縮的性質(zhì)，取D1=0。為防止模擬過(guò)程中材料進(jìn)入非線性階段發(fā)生體積自鎖的現(xiàn)象，橡膠選用8結(jié)點(diǎn)線性6面體雜交單元C3D8H；鋼板和鉛芯采用8節(jié)點(diǎn)線性6面體減縮單元C3D8R。

加載方式采用正弦幅值位移加載，位移的限值為±114 mm(即使支座產(chǎn)生100%的剪切變形)，僅對(duì)支座上封板圓心施加位移荷載。規(guī)范[14]要求加載頻率f≥0.02 Hz，取f=0.5 Hz。模型底部鎖定所有自由度，剖面方向約束Y方向平動(dòng)自由度，頂部釋放X和Z向平動(dòng)自由度，約束其他自由度。

《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范GB/50011-2010》[22]規(guī)定，各類隔震建筑支座豎向壓應(yīng)力應(yīng)小于等于15 MPa，綜合考慮課題組涉及隔震項(xiàng)目中柱結(jié)構(gòu)軸力，取壓強(qiáng)P=7.07 MPa。

4.2 結(jié)果分析

篇幅所限，在4.1節(jié)加載方式基礎(chǔ)之上，僅繪制出支座經(jīng)4年、16年、60年和84年老化后的滯回曲線(圖4)。隨著老化時(shí)間增長(zhǎng)，滯回曲線逐漸呈現(xiàn)出一定的非線性關(guān)系，橡膠老化變硬后不再是最初的理想超彈性本構(gòu)，支座性能產(chǎn)生了退化。圖4反映出加載位移不變的情況下，隨著老化時(shí)間增加，支座的反力同步增大，滯回曲線Y軸峰值呈上下移動(dòng)的趨勢(shì)，支座變剛。圖5為經(jīng)式(9)計(jì)算后所有目標(biāo)時(shí)刻支座等效水平剛度的變化趨勢(shì)。老化后支座的等效水平剛度(圖5)與橡膠材料的硬度(圖1)有著相似的變化規(guī)律，即隨著時(shí)間推移，剛度以兩次不同的速率增大直至平臺(tái)期，最后以較平穩(wěn)增長(zhǎng)速率繼續(xù)增大。

表3 LRBФ600支座幾何尺寸

圖3 LRB支座有限元模型

但需要指出的是，文獻(xiàn)[23]表明當(dāng)LRB支座產(chǎn)生小應(yīng)變以下剪切變形時(shí)(γ≤150%)，有限元方法對(duì)支座剛度的模擬較好，但對(duì)等效阻尼比等其他參數(shù)的模擬存在誤差；支座剪力-位移限值的模擬值與試驗(yàn)值較契合，而式(11)的剛度正是基于該限值求得，因此本文采用有限元方法模擬LRB支座等效剛度具有一定可行性。從圖4可以看出，LRB支座滯回曲線中加載和卸載階段的折角較尖銳，原因在于有限元模擬時(shí)沒(méi)有考慮試驗(yàn)中加載設(shè)備與支座之間的相對(duì)滑動(dòng)。

在有限元模擬完成后，取Ar=268429.5 mm2，α=0.216，σp b=10.2 MPa，代入式(12～15)，即可計(jì)算出等效水平剛度的理論值。目標(biāo)時(shí)刻LRB支座等效水平剛度模擬值與理論值對(duì)比列入表4。

圖4 部分老化時(shí)間滯回曲線變化

圖5 等效水平剛度變化趨勢(shì)

由表4可知，不同老化時(shí)間下，模擬值與理論值的誤差在5%～7%之間，平均誤差為6.3%，采用有限元軟件能夠以較小的誤差對(duì)LRB支座水平力學(xué)性能進(jìn)行模擬，獲得精度良好的等效水平剛度結(jié)果，進(jìn)一步驗(yàn)證了文獻(xiàn)[23]的有限元可較好模擬支座中小應(yīng)變下水平剛度的結(jié)論。采用有限差分法求出方程(21)的解,為了直觀地反應(yīng)等效水平剛度的演化過(guò)程，同時(shí)繪制等效水平剛度2維和3維的概率密度演化曲線(面)，如圖(6)所示。

表4 不同老化時(shí)間支座等效水平剛度模擬值與理論值的對(duì)比

可以看出，隨著老化時(shí)間增加，概率密度曲線呈現(xiàn)右移，表示LRB支座等效水平剛度產(chǎn)生了如圖5所示的剛度退化，證明概率密度演化理論對(duì)LRB支座等效水平剛度的衰退有良好的表達(dá)。從 圖6 和圖7可以看出，各老化時(shí)間等效水平剛度PDF值表現(xiàn)出下降的趨勢(shì)；老化40年之后，下降速率增加且概率密度演化曲線的輪廓逐漸趨于扁平，故老化對(duì)支座等效水平剛度離散性的影響較明顯。

由式(17)單側(cè)吸壁條件K(τ) ≤2.5,0 ≤τ≤1和式(23～25)可得表5可靠度，變化趨勢(shì)如圖8所示?？梢钥闯觯匣笾ё煽慷瘸氏陆第厔?shì)，在0～10年可靠度比較穩(wěn)定；10～25年可靠度出現(xiàn)第一次下降；25～41年可靠度進(jìn)入第二個(gè)穩(wěn)定期，41～84年可靠度再次下降；隨著老化時(shí)間增加，支座可靠度變化率逐漸增大。由此可見(jiàn)，在LRB支座服役時(shí)間達(dá)到20年前后，要加大檢測(cè)頻率；而40年后，需要檢修或有條件的更換，以確保隔震結(jié)構(gòu)維持設(shè)防的抗震能力。

圖6 目標(biāo)時(shí)刻概率密度曲線(面)的演變過(guò)程

圖7 PDF值隨時(shí)間變化情況

圖8 可靠度隨老化時(shí)間增加的變化趨勢(shì)

表5 不同老化時(shí)間LRB支座可靠度Tab.5 LRB bearing reliability at different aging times

5 結(jié) 論

本文對(duì)LRBФ600支座算例等效水平剛度的衰退趨勢(shì)進(jìn)行了分析，并將有限元模擬值與理論計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)一步驗(yàn)證了有限元方法模擬支座水平剛度的準(zhǔn)確性和可靠性?；诟怕拭芏妊莼碚撉蟪瞿繕?biāo)時(shí)刻支座等效水平剛度與可靠度，最后得到如下結(jié)論。

(1) 概率密度演化理論可準(zhǔn)確有效地捕捉目標(biāo)時(shí)刻LRB支座時(shí)變本構(gòu)關(guān)系的概率信息，得到等效水平剛度隨老化時(shí)間的演化規(guī)律。支座在老化后，等效水平剛度也隨之增加。

(2) LRB支座的老化是一個(gè)非線性的過(guò)程。老化后支座外圍橡膠老化變硬延緩了內(nèi)部橡膠的老化，存在兩個(gè)平臺(tái)期，此時(shí)可靠度比較穩(wěn)定。在平臺(tái)期外的兩個(gè)時(shí)間段，可靠度下降較明顯。

(3) 在橡膠材料常數(shù)和鉛芯彈模時(shí)變變異系數(shù)確定的情況下，老化后各目標(biāo)時(shí)刻概率密度演化曲線的峰值明顯降低，概率密度曲線的形狀逐漸扁平，老化增大了LRB支座等效水平剛度離散性。

本文的研究為在役LRB隔震支座的維護(hù)和更換提供了一定的理論支持，但不同支座種類橡膠是否均可視為體積不可壓縮材料目前尚不明確，相關(guān)的研究工作，課題組正陸續(xù)開展。