基于凸集模型的結(jié)構(gòu)地震多維易損性分析

賈大衛(wèi)， 吳子燕， 何 鄉(xiāng)

(西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院，西安 710129)

1 引 言

地震易損性定義為在不同強(qiáng)度的地震激勵(lì)下，結(jié)構(gòu)超過給定性能極限狀態(tài)的概率。易損性分析是評(píng)價(jià)工程結(jié)構(gòu)抗震性能的主要方法之一，也是應(yīng)用最廣泛的方法。結(jié)構(gòu)在地震激勵(lì)下的動(dòng)力響應(yīng)具有較強(qiáng)的不確定性，因此在傳統(tǒng)地震易損性研究中，基于概率理論的隨機(jī)模型得到了廣泛應(yīng)用[1,2]。如Wang等[1]將橋梁結(jié)構(gòu)的響應(yīng)參數(shù)視為服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，通過極大似然估計(jì)法得到對(duì)數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差，建立了在不同強(qiáng)度地震下結(jié)構(gòu)的概率地震需求模型，通過蒙特卡洛模擬法計(jì)算結(jié)構(gòu)的破壞概率。Mosallam等[2]基于概率易損性理論，建立了鋼框架結(jié)構(gòu)的易損性函數(shù)。

在傳統(tǒng)的地震易損性研究中，首先需要假定地震響應(yīng)參數(shù)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。但文獻(xiàn)[3]表明，這種假設(shè)只是一種近似假設(shè)，多數(shù)參數(shù)并不符合這一假定。且概率理論通常需要較多的樣本點(diǎn)，而在地震易損性研究中，非線性時(shí)程分析數(shù)據(jù)通常較為有限，因此該方法仍具有一定局限性。

為克服傳統(tǒng)模型的不足，本文將凸集模型應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的地震易損性分析?？紤]多種地震響應(yīng)參數(shù)，在不假設(shè)參數(shù)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的基礎(chǔ)上，將地震響應(yīng)視為凸集變量，建立一種基于凸集模型的結(jié)構(gòu)地震多維易損性分析方法，并將該方法與傳統(tǒng)概率模型進(jìn)行對(duì)比，論述本文方法的優(yōu)劣勢(shì)。

2 凸集模型

凸集模型強(qiáng)調(diào)的是不確定參數(shù)未知但有界這一屬性，在應(yīng)用中僅需確定變量的邊界值，而不需要考慮變量的分布類型[4,5]。可表示為

X= [XL,XR]

(1)

Xw= (XR-XL)/2

(2)

X0= (XL+XR)/2

(3)

式中XR和XL分別為凸集變量取值的上下界，Xw為變量中值，X0為取值半徑。

在凸集模型中，常用的模型包括區(qū)間模型和橢球模型。

2.1 區(qū)間模型

二維區(qū)間模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(4)

式中| ·|為絕對(duì)值符號(hào)。根據(jù)式(2),區(qū)間模型Xc可由標(biāo)準(zhǔn)空間內(nèi)的單位正方形εc通過矩陣變換得到，

(5)

2.2 橢球模型

二維橢球模型的幾何描述和相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式如圖(2)和式(6)所示[7]。

(6)

式中ΩX為不確定變量的協(xié)方差矩陣的逆矩陣，r1和r2分別為橢球的長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)，θ為姿態(tài)角，通過ΩX體現(xiàn)。Jiang等[7]指出，高維的橢球模型Xe同樣可由標(biāo)準(zhǔn)空間內(nèi)的單位圓εe通過矩陣變化得到。該轉(zhuǎn)換過程可表示為

(7)

3 基于平均信息熵理論的不確定變量區(qū)間估計(jì)

在凸集模型中，獲得不確定變量的取值區(qū)間是開展不確定性分析的必要前提。本文采用平均信息熵理論對(duì)不確定變量的區(qū)間進(jìn)行估計(jì)。

2.1 平均信息熵的基本定義

Shannon將物理學(xué)中熵的概念推廣到平均信息熵用來衡量變量的不確定性。平均信息熵的概念可以在離散和連續(xù)兩種情況下給出定義，本文采用離散信息熵用于衡量參數(shù)的取值區(qū)間，定義可表示為

(8)

圖2 橢球模型

式中p(i)為事件i發(fā)生的概率，因此有

(9)

2.2 區(qū)間估計(jì)的基本思想

對(duì)一組實(shí)際測(cè)得的數(shù)據(jù)，若在真實(shí)值附近區(qū)間的測(cè)量值越多，則表明數(shù)據(jù)離散度越低。若有初始數(shù)據(jù)集為X= {x(1),x(2),…,x(n)}，將集合中所有元素按從小到大的順序排列，可得到一個(gè)新的數(shù)據(jù)集X(1)= {x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}。令

p(1)= [x(1)(n)-x(1)(1)]/n

(10)

從X(1)剔除x(1)(1)或x(1)(n)，使得新的數(shù)據(jù)集中最大值和最小值之差變小，進(jìn)而可得到新的數(shù)據(jù)集X(2)= {x(2)(1),x(2)(2),…x(2)(n-1)}。令

p(2)= [x(2)(n-1)-x(2)(1)]/(n-1)

(11)

重復(fù)上述過程，得到序列p(1),p(2),…，p(n -1)。當(dāng)序列開始單調(diào)遞減時(shí)，說明剔除的數(shù)據(jù)已經(jīng)導(dǎo)致了數(shù)據(jù)序列變稀疏，剩余的數(shù)據(jù)點(diǎn)已經(jīng)足夠密集，可將包含這些數(shù)據(jù)的區(qū)間作為真實(shí)值的區(qū)間估計(jì)。

2.3 基于平均信息熵的區(qū)間估計(jì)

基于區(qū)間估計(jì)的基本思想，將初始數(shù)據(jù)進(jìn)行排序后，定義rk為

(12)

式中F(x)為x的累積概率分布函數(shù),因此有0

(13)

聯(lián)立式(8，13)，平均信息熵可表示為

(14)

熵值越大表明變量的離散程度越大，相應(yīng)的拓展不確定變量定義為

Ue=eH(x)/2

(15)

則有限樣本條件下基于信息熵理論的變量區(qū)間估計(jì)值可表示為[8]

(16)

4 基于凸集模型的多維易損性分析

多維易損性是綜合考慮多種地震響應(yīng)參數(shù)達(dá)到給定性能極限狀態(tài)的概率，可表示為

PF=P(L>0 |IM)

(17)

式中PF為結(jié)構(gòu)的失效概率，IM為給定的地震動(dòng)強(qiáng)度，本文采用地面峰值加速度PGA描述[6]；L為多維性能極限狀態(tài)方程。孫鴻賓等[9]給出了L的表達(dá)式

(18)

式中R為地震響應(yīng)參數(shù)EDP，rlim為性能極限狀態(tài)EDP的閾值，n為選取的工程需求參數(shù)的個(gè)數(shù)，a為統(tǒng)計(jì)參數(shù)。當(dāng)只考慮兩種地震響應(yīng)參數(shù)時(shí)，可取其中一種EDP的a為1[1]。

由式(17，18)可知，多維易損性分析的實(shí)質(zhì)，是在給定的地震強(qiáng)度下計(jì)算L>0的概率。本文將R視為凸集變量，劉驍驍?shù)萚10]將重要抽樣法與凸集模型結(jié)合，指出在凸集變量的可靠性分析中，可采用拉丁超立方抽樣法抽取均勻覆蓋在標(biāo)準(zhǔn)空間中的樣本點(diǎn)，并將這些樣本點(diǎn)映射到原始空間，建立基于重要抽樣法的凸集模型可靠性分析法。據(jù)此本文提出基于凸集模型的多維易損性分析流程。

(1) 通過增量動(dòng)力分析法IDA，獲得結(jié)構(gòu)在不同PGA下的響應(yīng)。根據(jù)平均信息熵理論，分別在每個(gè)PGA水平下獲得R的區(qū)間估計(jì)。

(2) 通過拉丁超立方抽樣生成n個(gè)均勻覆蓋在凸集變量標(biāo)準(zhǔn)空間內(nèi)的樣本點(diǎn)，取n=104，并將這些樣本根據(jù)凸集變量類型利用式(5)或式(7)映射到原始凸集空間，得到多組凸集變量的樣本點(diǎn)，建立R的凸集模型。

(3) 將步驟(2)得到的凸集變量樣本點(diǎn)代入性能極限狀態(tài)方程中，統(tǒng)計(jì)使L>0的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)N，則破壞概率可表示為PF=N/n。

5 算例分析

5.1 結(jié)構(gòu)模型建立與性能極限狀態(tài)劃分

以SAP2000結(jié)構(gòu)分析軟件為平臺(tái)，建立鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，模型如圖3所示。

在整個(gè)模型中，混凝土樓板利用SAP2000的Shell單元模擬，梁和柱采用Beam單元模擬。結(jié)構(gòu)的彈塑性行為主要表現(xiàn)在梁和柱上。在梁兩端設(shè)置M3鉸，在柱兩端設(shè)置P-M2-M3鉸，并考慮其拉伸強(qiáng)化效應(yīng)P-Δ。

在基于性能的地震工程研究中，通常將結(jié)構(gòu)的性能極限狀態(tài)劃分為多個(gè)等級(jí)。本文將多維性能極限狀態(tài)分為正常使用NO、可以使用IO、生命安全LF和防止倒塌CP四個(gè)等級(jí)，選擇最大層間位移角IDR和最大層加速度PFA衡量多維性能極限狀態(tài)。孫鴻賓等[9]給出了RC框架結(jié)構(gòu)兩種EDP的取值，列入表1。

圖3 框架結(jié)構(gòu)模型(單位：mm)

表1 性能極限狀態(tài)閾值

5.2 結(jié)構(gòu)響應(yīng)參數(shù)的凸集模型建立

擬定該框架所處的場(chǎng)地土類別為II，設(shè)計(jì)基本地震動(dòng)加速度為0.2 g；阻尼比取0.05，特征周期為0.35 s，震中距取20 km，利用條件均值反應(yīng)譜作為目標(biāo)反應(yīng)譜[11]，從Pacific Earthquake Engineering Research Center數(shù)據(jù)庫中擬合了30條地震波，反應(yīng)譜如圖4所示。

利用IDA法，將所選30條地震波的PGA分別調(diào)幅至0.05 g～1.0 g，間隔取0.05 g，并分別加載到結(jié)構(gòu)上進(jìn)行彈塑性時(shí)程分析，每條地震波的加載方均為水平雙向，幅值比例為1 ∶ 1，根據(jù)第4節(jié)的步驟(1，2)建立R的橢球模型和區(qū)間模型。選擇離散情況下的平均信息熵作為結(jié)構(gòu)響應(yīng)區(qū)間估計(jì)的依據(jù)。以PGA=0.4 g為例，底層R的二維凸集模型如圖5所示。

圖4 地震波反應(yīng)譜

圖5 地震響應(yīng)凸集模型

5.3 易損性分析

選擇兩種EDP衡量性能極限狀態(tài)，基于式(18)建立性能極限狀態(tài)方程，可表示為

L= (PFA/pfalim)+(IDR/idrlim)a-1

(19)

式中pfalim和idrlim分別為IDR和PFA的閾值。將表1的數(shù)值代入式(19)即可得到四種性能極限狀態(tài)下的極限狀態(tài)方程。取未知參數(shù)a=2，將 5.2節(jié)得到的凸集變量樣本點(diǎn)分別代入極限狀態(tài)方程中，計(jì)算破壞概率，將各個(gè)PGA下的結(jié)果進(jìn)行擬合即可得到凸集模型下的易損性曲線。為對(duì)比凸集模型與概率模型的差異，采用概率模型進(jìn)行對(duì)比計(jì)算。假定IDR和PFA服從二維對(duì)數(shù)正態(tài)分布[11]，利用最大似然估計(jì)法得到對(duì)數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差，建立二維概率地震需求模型。以PGA=0.4 g為例，頂層的概率地震需求模型如圖6所示。

圖6 概率地震需求模型

當(dāng)采用概率模型時(shí)，利用蒙特卡洛模擬法對(duì)式(19)進(jìn)行失效概率的求解即可得到破壞概率。以底層和第二層為例，易損性曲線如圖7所示。

可以看出，凸集模型與概率模型的易損性曲線差異較大。在易損性曲線中存在一個(gè)拐點(diǎn)，當(dāng)PGA小于該拐點(diǎn)處的PGA時(shí)，凸集模型的破壞概率大于概率模型，而當(dāng)PGA大于該拐點(diǎn)處的PGA值時(shí)，概率模型的破壞概率高于凸集模型。如底層的NO性能極限狀態(tài)，區(qū)間模型拐點(diǎn)處的PGA約為0.18 g，橢球模型的PGA約為0.17 g。徐強(qiáng)等[12]指出，在較大震級(jí)下結(jié)構(gòu)響應(yīng)通常超過規(guī)范的閾值，但并未達(dá)到相應(yīng)的性能極限狀態(tài)，在較小震級(jí)下的地震響應(yīng)往往沒有達(dá)到閾值，但已發(fā)生相應(yīng)程度的破壞。本文的計(jì)算結(jié)果印證了這個(gè)觀點(diǎn)。

圖7表明，在NO和IO兩種性能極限狀態(tài)下，區(qū)間模型得到的易損性曲線略高于橢球模型，而在LF和CP兩種性能極限狀態(tài)下，區(qū)間模型的易損性曲線略低于橢球模型，但兩種凸集模型的曲線差異并不顯著，在各個(gè)PGA下，四種性能極限狀態(tài)下破壞概率的差值均在0.05～0.1之間，因此凸集模型的類型對(duì)易損性的影響較小。

5.4 參數(shù)靈敏度分析

在本文的易損性分析中，取參數(shù)a=2。孫鴻賓等[9]指出，該參數(shù)反應(yīng)了EDP性能極限狀態(tài)之間的相關(guān)性。a越大，則相關(guān)性越弱。因此本節(jié)討論a值對(duì)易損性曲線的影響。分別再取經(jīng)驗(yàn)值a=1,5,10,15，在橢球模型和區(qū)間模型下分析易損性。以底層為例，易損性曲線如圖8和圖9所示。

從圖9可以看出，隨著a的增大，結(jié)構(gòu)破壞概率變小。因此若不考慮性能極限狀態(tài)之間的相關(guān)性，會(huì)明顯高估結(jié)構(gòu)的抗震能力。

圖7 易損性曲線

圖8 底層區(qū)間靈敏度

圖9 底層橢球靈敏度

6 總 結(jié)

本文建立了基于凸集模型的結(jié)構(gòu)地震易損性分析方法，將地震響應(yīng)視為凸集變量，通過平均信息熵理論得到區(qū)間估計(jì)值，分別建立了橢球模型和區(qū)間模型，得到了易損性曲線。結(jié)論如下。

(1) 與概率模型相比，當(dāng)PGA較小時(shí)，凸集模型的破壞概率較大，而PGA較大時(shí)，凸集模型的破壞概率較小。該結(jié)論更符合已有研究成果。

(2) 橢球模型和凸集模型的易損性分析結(jié)果具有一定差異，但差距并不明顯，因此可以不考慮凸集類型不同對(duì)易損性的分析結(jié)果的差異。

(3) 在多維性能極限狀態(tài)方程中，不同EDP性能極限狀態(tài)之間的相關(guān)性不能忽略。