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    Crank-Nicolson/sinc方法求解帶弱奇異核的偏積分微分方程

    2020-12-21 03:58:22羅曼徐大吳珍珍

    羅曼 徐大 吳珍珍

    摘? ?要: 帶弱奇異核的偏積分微分方程能夠表征記憶材料等新材料的機(jī)理和特性。采用Crank-Nicolson/sinc組合方法,利用Crank-Nicolson方法的高收斂精度,結(jié)合sinc配置方法的指數(shù)收斂,在時(shí)間方向采用Crank-Nicolson方法,在空間方向采用sinc配置方法,對(duì)帶弱奇異核的偏積分微分方程進(jìn)行離散,得到全離散格式,進(jìn)而推導(dǎo)出相應(yīng)的矩陣形式。全離散格式在時(shí)間方向上能達(dá)到1.5階收斂,相比歐拉方法高0.5階;在空間方向上也能達(dá)到比線性收斂更快速的收斂速度。Crank-Nicolson/sinc組合方法可推廣到分?jǐn)?shù)階偏微分方程等更加復(fù)雜的方程的求解,以推動(dòng)記憶類新材料等研發(fā)技術(shù)探索。

    關(guān)鍵詞: 弱奇異核;偏積分微分方程;sinc配置方法;Crank-Nicolson方法;全離散格式;指數(shù)收斂

    中圖分類號(hào):O241.82? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A? ? 文章編號(hào):2095-8412 (2020) 05-081-05

    工業(yè)技術(shù)創(chuàng)新 URL: http://gyjs.cbpt.cnki.net? ? DOI: 10.14103/j.issn.2095-8412.2020.05.015

    引言

    隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,人類發(fā)現(xiàn)了具有記憶功能的材料。這種材料在高溫下表現(xiàn)出粘彈性或流變性,這些性質(zhì)可由拋物與雙曲耦合的偏積分微分方程或方程組來(lái)表征。

    帶弱奇異核的上述偏積分微分方程的求解更是一大難題。對(duì)這類偏積分微分方程進(jìn)行研究,將為記憶材料的機(jī)理和特性研究提供更準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)依據(jù),大幅推動(dòng)新材料科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。

    專家學(xué)者對(duì)這類方程作了大量的研究,如陳傳淼等[1]在時(shí)間上采用向后歐拉格式,在空間上采用有限元方法,對(duì)這類方程進(jìn)行了數(shù)值離散,并實(shí)現(xiàn)了空間方向上的4階超收斂;徐大[2]采用有限元方法,考察了這類方程在Crank-Nicolson格式、Euler格式下的帶權(quán)誤差估計(jì);羅曼等[3]采用擬小波方法對(duì)方程進(jìn)行了離散;Yan等[4]在空間上采用正交樣條配置方法,也實(shí)現(xiàn)了方程的4階收斂;Pani[5]采用H1-Galerkin混合有限元方法對(duì)方程進(jìn)行了數(shù)值求解。

    鑒于sinc配置方法(以下簡(jiǎn)稱“sinc方法”)能實(shí)現(xiàn)指數(shù)收斂,本文探討如下形式的帶弱奇異核的偏積分微分方程:

    首先介紹關(guān)于sinc方法的理論知識(shí);然后聯(lián)合采用Crank-Nicolson格式和sinc方法(本文稱之為“Crank-Nicolson/sinc方法”),對(duì)式(1)和式(2)進(jìn)行離散;最后給出數(shù)值算例,驗(yàn)證該離散格式的高精度收斂性。

    1? sinc方法理論知識(shí)

    sinc函數(shù)的表達(dá)式為

    當(dāng)該級(jí)數(shù)收斂時(shí),一般采用有限項(xiàng)來(lái)逼近函數(shù)。

    定義2? 令為內(nèi)解析函數(shù)的集合,且滿足,其中,且在邊界上滿足。將定義為所有滿足以下條件的集合:存在一個(gè)常數(shù),使得(其中對(duì))且解析的函數(shù)的集合。

    根據(jù)上述定理,可以推導(dǎo)出式(1)和式(2)在空間方向的離散格式。以下再給出離散格式中需要的關(guān)于sinc函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值的引理。

    2? 離散格式構(gòu)建與矩陣運(yùn)算轉(zhuǎn)換

    2.1? 離散格式構(gòu)建

    繼續(xù)考慮式(1)和式(2)。在時(shí)間上采用Crank-Nicolson格式,積分項(xiàng)采用拉格朗日兩點(diǎn)插值公式,則有

    2.2? 矩陣計(jì)算轉(zhuǎn)換

    通過(guò)式(11)的矩陣計(jì)算可以求得式(1)和式(2)的數(shù)值解。

    3? 數(shù)值算例

    本章通過(guò)數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證離散方法的可行性。本章規(guī)定代表時(shí)間方向的網(wǎng)格剖分?jǐn)?shù);代表空間方向的網(wǎng)格剖分?jǐn)?shù);代表空間方向步長(zhǎng),;代表時(shí)間方向步長(zhǎng);有待求解。

    若,則式(1)和式(2)有精確解相對(duì)應(yīng)。表1給出了和時(shí)在時(shí)間節(jié)點(diǎn)處的和誤差,由此可知計(jì)算精度很高,且當(dāng)越大時(shí),誤差越小,收斂速度越快。圖1給出了當(dāng),,時(shí)的數(shù)值解和精確解的比較結(jié)果。由圖1可知,聯(lián)合采用Crank-Nicolson格式和sinc方法計(jì)算得到的數(shù)值解是非常接近精確解的。

    4? 結(jié)論與展望

    本文采用Crank-Nicolson/sinc聯(lián)合方法,研究了一類帶弱奇異項(xiàng)的偏積分微分方程。根據(jù)計(jì)算結(jié)果可知,數(shù)值解非常接近精確解,尤其當(dāng)M=64,N=100時(shí),L2誤差可以低至3.418 01e-06,從側(cè)面反映了sinc函數(shù)指數(shù)收斂的優(yōu)越性。

    總之,Crank-Nicolson方法和sinc方法相結(jié)合,不僅可以用于求解簡(jiǎn)單的偏積分微分方程,也對(duì)帶弱奇異核的這類方程的求解有巨大的幫助。今后可以將這種方法推廣到分?jǐn)?shù)階偏微分方程等更加復(fù)雜的方程中去,進(jìn)一步推動(dòng)新材料等科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。

    基金項(xiàng)目

    湖南省教育廳科研項(xiàng)目支持(項(xiàng)目編號(hào):17C0795,17C0797)

    參考文獻(xiàn)

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    [3] Luo M, Xu D, Li L. Crank-Nicolson Quasi-Wavelet Based Numerical Method for Volterra Integro-Differential Equations on Unbounded Spatial Domains[J]. East Asian Journal on Applied Mathematics, 2013, 4: 283-294.

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    [5] Pani A K, Fairweather G. An H1-Galerkin Mixed Finite Element Method for an Evolution Equation with a Positive-Type Memory Term[J]. Siam Journal on Numerical Analysis, 2003, 40(4): 1475-1490.

    作者簡(jiǎn)介:

    羅曼(1987—),通信作者,女,湖南益陽(yáng)人,博士,講師。主要研究方向:偏微分方程數(shù)值解。

    E-mail: lmlwlx@163. com

    徐大(1960—),男,湖南株洲人,碩士,教授。主要研究方向:偏微分方程數(shù)值解。

    吳珍珍(1981—),女,湖南婁底人,碩士,講師。主要研究方向:計(jì)算機(jī)應(yīng)用。

    (收稿日期:2020-07-28)

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