走出大、小數(shù)陷阱，你只需一次計(jì)算

萬維鋼

大數(shù)有多大

我們?cè)谌粘Ｉ钪薪?jīng)常接觸的數(shù)字都比較小，比如幾十、幾百，我們頭腦中能非常形象地知道它是什么意思。但是特別大的數(shù)就很難有直觀的印象了。

談?wù)摯髷?shù)，我們得有“數(shù)量級(jí)”的觀念——也就是10的多少次方，一個(gè)數(shù)量級(jí)的差距就是差10倍。對(duì)大數(shù)來說，幾倍的差異你甚至都可以當(dāng)它們是相等的（物理學(xué)的說法是它們?cè)凇巴粋€(gè)數(shù)量級(jí)”），數(shù)量級(jí)的差異才值得考慮。

我們最好能對(duì)不同的數(shù)量級(jí)有個(gè)形象的理解。一千，相當(dāng)于一所中學(xué)的學(xué)生總數(shù)；一萬，相當(dāng)于一座體育場(chǎng)里的觀眾人數(shù)；十萬相當(dāng)于一本書的字?jǐn)?shù)；100萬是什么概念？如果你每秒數(shù)一個(gè)數(shù)，數(shù)到100萬需要11天半。以此類推，10億相當(dāng)于中國的人口。

再大的數(shù)字就不好想象了。10億元和1000億元相差了100倍，可是我們頭腦中的形象，這兩個(gè)都是“很大一筆錢”。很大一筆，到底是多少錢呢？

2014年我看《彭博商業(yè)周刊》上有篇文章，呼吁大家不要在開車時(shí)給手機(jī)充電。文章說車上的電都是燃燒汽油而來的，這種發(fā)電模式太浪費(fèi)了——有多浪費(fèi)呢？每年因?yàn)槊绹嗽谲嚿辖o手機(jī)充電，總共多消耗了價(jià)值兩億美元的石油！

這大概是我所看過最愚蠢的正經(jīng)文章之一。兩億美元？這個(gè)數(shù)字很大嗎？美國開車的人差不多都有兩億，相當(dāng)于每人每年多花1美元！而這1美元可以讓人在車上給手機(jī)充電——不知道省去多少麻煩，你因?yàn)橐淮瓮浽诩页潆姷膿p失就可能超過1美元——這可能是你所花過的最值的1美元。

所以理解大數(shù)的一個(gè)好辦法是除以全國人口。

不過上億元的事兒一般都不叫事兒，叫新聞。跟我們?nèi)粘Ｉ铌P(guān)系更大的不是這些大數(shù)，而是小數(shù)。

我們應(yīng)該害怕什么？

風(fēng)險(xiǎn)都是小數(shù)。描寫風(fēng)險(xiǎn)的科學(xué)辦法是給一個(gè)概率，可是我們很難形象地理解特別小的概率。比如說，你擔(dān)心被蜜蜂蜇死嗎？擔(dān)心吃東西噎死嗎？最好先看看概率再擔(dān)心。

《經(jīng)濟(jì)學(xué)人》雜志曾發(fā)表過一張很長的圖，列舉了每年美國人死于各種事件的概率——死于被蜜蜂蜇的概率是2500萬分之一，死于吃東西噎死的概率是十萬分之一……這些你都不應(yīng)該擔(dān)心。最值得擔(dān)心的其實(shí)是心臟病，467分之一；各種意外事故加在一起的死亡概率是1656分之一；排在第三位的是自殺，8000分之一。剩下的死亡危險(xiǎn)都有數(shù)量級(jí)上的差異，與前三項(xiàng)相比根本不足為慮。

《經(jīng)濟(jì)學(xué)人》這張圖的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)就在于它把特別小概率的事件——比如死于流星撞擊，7500萬分之一都給畫出來了，而且還是按比例畫的，能讓我們特別直觀地感受到這么多人中才有一個(gè)這種死法的?？墒且话愕摹帮L(fēng)險(xiǎn)知識(shí)”就沒這么厚道了。比如說，吃某某食物會(huì)把得某某疾病的風(fēng)險(xiǎn)增大一倍？——這應(yīng)該怎么理解呢？

舉個(gè)例子，美國的托兒所有兩種，一種是在老師自己家辦的，學(xué)費(fèi)比較便宜；另一種是正規(guī)托兒所，人手多，設(shè)施齊全?，F(xiàn)在數(shù)據(jù)顯示，家庭托兒所中小孩因?yàn)槭鹿仕劳龅母怕适钦?guī)托兒所的7倍——那請(qǐng)問，如果你特別注重安全，是不是應(yīng)該把孩子送到正規(guī)托兒所去呢？

像這種問題千萬不要只看倍數(shù)，一定要看概率的絕對(duì)值。事實(shí)是，全美國每年死于家庭托兒所的孩子只有十幾個(gè)——而與此同時(shí)，同樣年齡的孩子死于交通事故的數(shù)量是每年79個(gè)。那么如果正規(guī)托兒所離家遠(yuǎn)，家庭托兒所離家近的話，哪怕距離只相差20%，你如果只考慮安全，就應(yīng)該把孩子送到家庭托兒所去。

所以，不能一聽說有風(fēng)險(xiǎn)就臉色大變，得把各種風(fēng)險(xiǎn)放在一起比較才行。

交通有風(fēng)險(xiǎn)，我們也不能不上街。與其擔(dān)心各種極小概率的危險(xiǎn)，還不如把心思用在更重要的事情上。

重要和不重要

美國給退休人員發(fā)放的社?；鹩袀€(gè)漏洞。有的人已經(jīng)去世了，但是可能家屬故意不報(bào)，也可能系統(tǒng)有問題，他的銀行賬號(hào)還能收到社保福利款。據(jù)估計(jì)，每年因?yàn)檫@個(gè)漏洞，有3100萬美元的損失。那么，是不是應(yīng)該趕緊想辦法修補(bǔ)漏洞呢？

有人做了一個(gè)計(jì)算——這3100萬美元，相當(dāng)于美國每年發(fā)放社保基金總數(shù)的0.004%。也就是說，社保基金發(fā)放的準(zhǔn)確度高達(dá)99.996%，這簡(jiǎn)直是非常完美的系統(tǒng)！到了這個(gè)程度如果還想再做得更加完美一點(diǎn)，往往需要付出很高的行政成本——這個(gè)代價(jià)遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于3100萬美元。

不看數(shù)量級(jí)，3100萬美元是一筆巨款；一看數(shù)量級(jí)，這點(diǎn)損失不算什么。

做任何事情都有利有弊，很多情況下如果你做個(gè)計(jì)算，利弊還是很容易看出來的，其中經(jīng)常是數(shù)量級(jí)的差異。

一件不值錢、不知道什么時(shí)候才會(huì)用到的舊東西，值不值得保留在價(jià)值千萬的房子里以備不時(shí)之需？為了把孩子考上重點(diǎn)大學(xué)的概率增大一點(diǎn)點(diǎn)，值不值得全家在一個(gè)窄小的學(xué)區(qū)房里一起擠上十幾年？

我們?nèi)粘Ｗ雠袛?，都主要用模式識(shí)別——東西有毒，第一反應(yīng)就是不吃；事情有危險(xiǎn)，第一反應(yīng)就是不做?？墒鞘裁唇杏卸荆慷啻蟮奈ｋU(xiǎn)？0.01%和0.0001%的差別巨大，但是給我們的心理沖擊是一樣的。

生活中撿芝麻丟西瓜的事實(shí)在太多了。有的人買生活必需品的時(shí)候非常節(jié)省，買奢侈品的時(shí)候特別大方；有的人能為幾十塊錢貨比三家，而面對(duì)人生重大選擇時(shí)卻異常草率。

忽略小事不是因?yàn)榇竽?，不是“個(gè)性”，而是理性。你必須判斷輕重緩急，把精力和資源放在最重要的事情上。

所以能夠不顧心理沖擊，堅(jiān)決使用這種“數(shù)量級(jí)思維”，才是一種“大人物思維”。別人看三千萬美元很多，他看三千萬美元很少；別人認(rèn)為這個(gè)事實(shí)在受不了，他對(duì)這個(gè)事根本不在乎。這種“大人有大量”，不是裝出來的，也不是“養(yǎng)吾浩然正氣”養(yǎng)出來的，是算出來的。

見識(shí)過、計(jì)算過、能做出理性決定，這才叫有膽有識(shí)。

（摘自《萬萬沒想到：用理工科思維理解世界》，電子工業(yè)出版社，張?jiān)崎_圖）