熱傳導(dǎo)方程的解是解析函數(shù)的幾種證明方法*

邢家省，楊義川，吳 桑

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100191；2.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點實驗室，北京 100191)

熱傳導(dǎo)方程的解是解析函數(shù),這是熱傳導(dǎo)方程的一個深刻的結(jié)果,在偏微分方程的研究中起著重要作用.文獻[1-16]對調(diào)和方程的解是解析函數(shù)給出了證明.奧列尼克[16]對熱傳導(dǎo)方程解的各階偏導(dǎo)數(shù)給出了先驗估計，證明了熱傳導(dǎo)方程的解是解析函數(shù),但證明過程較復(fù)雜.筆者擬對熱傳導(dǎo)方程的解是解析函數(shù)這一結(jié)果給出幾種簡單直接的證明方法，以豐富熱傳導(dǎo)方程理論.

1 齊次熱傳導(dǎo)方程初值問題的解是解析函數(shù)的證明

對于齊次熱傳導(dǎo)方程初值問題

(1)

利用Fourier變換,可得形式解

(2)

定理1設(shè)φ(x)在(-∞,+∞)上連續(xù),且滿足

|φ(x)|≤A+Ber|x|-∞

(3)

其中常數(shù)A,B,r>0,則(2)式所確定的函數(shù)u(x,t)∈C((-∞,+∞)×[0,+∞)),u(x,t)∈C∞(R×(0,+∞)),且u(x,t)是問題(1)的古典解.

證明令

由N>0,0<δ

定理2[1,15]設(shè)φ(x)∈C(-∞,+∞),且φ(x)有界,則對于每一個t>0,由(2)式所確定的函數(shù)u(x,t)是x的整解析函數(shù).

定理3設(shè)φ(x)∈C(-∞,+∞),且φ(x)有界,則對于每一個t>0,由(2)式所確定的函數(shù)u(x,t)是x的整解析函數(shù).

證明設(shè)|φ(x)|≤M,對于任意給定的t>0,存在δ>0,T>0,使得δ

記

定理3中初值函數(shù)的有界性條件可放寬為如下結(jié)果中的條件：

定理4設(shè)φ(x)∈C(-∞,+∞),且滿足|φ(x)|≤A+Ber|x|(-∞0,則對于每一個t>0,由(2)式所確定的函數(shù)u(x,t)是問題(1)的古典解,且對于每一個t>0,齊次熱傳導(dǎo)方程初值問題的解u(x,t)是x的整解析函數(shù).

定理4可仿照定理3進行證明.

2 線性齊次熱傳導(dǎo)方程初邊值問題的級數(shù)形式解的收斂性

考慮線性齊次熱傳導(dǎo)方程初邊值問題

(4)

利用分離變量法和疊加原理,問題(4)的級數(shù)形式解為

(5)

在初值φ∈C[0,l],且φ(0)=φ(l)=0的條件下,由(5)式所確定的函數(shù)也是問題(4)的古典解[3,6].然而這個結(jié)果的證明要用到文獻[12,15]中的方法.

3 線性齊次熱傳導(dǎo)方程初邊值問題的解是解析函數(shù)的證明

設(shè)φ∈C[0,l],且φ(0)=φ(l)=0.對φ(x)進行奇、周期為2l的對稱開拓,即定義Φ(x),使得

Φ(-x)=-Φ(x),Φ(x+2l)=Φ(x) -∞

Φ(x)=φ(x) 0≤x≤l.

Ut-a2Uxx=0 -∞0,

顯然,U(x,t)關(guān)于x是奇函數(shù),U(x,t)=-U(-x,t),U(0,t)=0(t>0).U(x,t)關(guān)于x是周期為2l的周期函數(shù),

U(l-x,t)=U(2l-l-x,t)=U(-l-x,t)=-U(l+x,t),U(l,t)=0t>0.

U(x,t)是x的整解析函數(shù).

其中α,β為非負整數(shù).對于?δ>0,當t≥δ時,有

(6)

對于任意給定的(x0,t0),t0>0,0≤x0≤l,存在δ>0,使得t0>δ.設(shè)x-x0=h1,t-t0=h2,則函數(shù)u(x,t)在(x0,t0)處的泰勒展開式為

即u(x,t)可展開成收斂的冪級數(shù),故u(x,t)是(x,t)∈[0,l]×(0,+∞)的解析函數(shù).

由解的唯一性可知,線性齊次熱傳導(dǎo)方程初邊值問題的解是解析函數(shù).