函數(shù)的概念及其三種表示方法的研究

郝春然

函數(shù)的概念是從廣泛的實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的，在當(dāng)今社會(huì)應(yīng)用廣泛，在數(shù)學(xué)，計(jì)算機(jī)科學(xué)，金融，IT等領(lǐng)域發(fā)揮著舉足輕重的作用。函數(shù)這一概念從提出到如今滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)層面，都在數(shù)學(xué)學(xué)科中有著不可撼動(dòng)的地位。有關(guān)函數(shù)的知識(shí)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，以及解析幾何中直線、圓錐曲線等知識(shí)的基礎(chǔ)，函數(shù)知識(shí)又是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具。

函數(shù)的知識(shí)如此重要，但是，很多學(xué)生感覺(jué)到學(xué)習(xí)函數(shù)很困難，在對(duì)我校120名同學(xué)的調(diào)查中，有20名同學(xué)對(duì)函數(shù)的感受是“太難了”，有68名同學(xué)對(duì)函數(shù)的感受是“有點(diǎn)難”，有32的學(xué)生對(duì)函數(shù)的感受是“挺容易的”?！疤y了”占到的比例是16.7%，“有點(diǎn)難”占到56.7%。在感受到“太難了”或“有點(diǎn)難”的88名同學(xué)中，有36名同學(xué)認(rèn)為是函數(shù)的概念很難，所占比例是40.9%.

因此，本文對(duì)函數(shù)的專題研究，主要圍繞函數(shù)的概念和三種表示方法來(lái)開展。

一、圖象法

關(guān)于函數(shù)圖象，初中數(shù)學(xué)課本八年級(jí)下冊(cè)（北京版）中給出了函數(shù)圖象的做法：把一個(gè)函數(shù)的一個(gè)自變量的值，和它所對(duì)的因變量的值分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，就能在平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的一個(gè)點(diǎn)，由所有這樣的點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象。

回顧函數(shù)概念的發(fā)展史，探究函數(shù)概念的淵源，我們會(huì)驚奇的發(fā)現(xiàn)：學(xué)生遇到的困難具有歷史相似性。比如，在歷史進(jìn)程中，從研究不變的量到研究變化的量經(jīng)歷了重重阻礙，伽利略反對(duì)“不變才是高貴的、完全的科學(xué)”的說(shuō)法，從而受到羅馬教皇的鎮(zhèn)壓，接受審判，被關(guān)進(jìn)監(jiān)獄，晚年凄慘?？梢?jiàn)，當(dāng)時(shí)要想讓人們接受：“把變化的量作為科學(xué)的研究對(duì)象”是多么艱難的一件事，這種艱難也同樣發(fā)生在了我們的學(xué)生身上。

在2011年至2015年，以及2017年的6年里，北京中考數(shù)學(xué)試卷的最后一道選擇題一度稱為經(jīng)典的難題類型，都是勻速運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離隨時(shí)間或某一線段長(zhǎng)度的變化而生成的圖象問(wèn)題。

此類題目要求學(xué)生能夠研究變化的量，以及一個(gè)變化的量隨另外一個(gè)變化的量而連續(xù)變化的情況，“變化的量”成為學(xué)生認(rèn)知的困難，缺乏函數(shù)觀念。

函數(shù)圖象，特別是連續(xù)變化的函數(shù)圖象最能反應(yīng)函數(shù)自變量與因變量之間的“依賴關(guān)系”，這種成依賴關(guān)系的變量在我們的生活中隨處可見(jiàn)：我們乘車出門，那么汽車上的計(jì)時(shí)表、速度表、里程表都是時(shí)間的函數(shù);醫(yī)院里，病人的脈搏、呼吸、體溫等隨病情的變化而變化，也是時(shí)間的函數(shù)，最能體現(xiàn)函數(shù)產(chǎn)生的社會(huì)需要。因此，不論是中考要求，還是社會(huì)需要，我們都要重視對(duì)學(xué)生函數(shù)觀念的培養(yǎng)。

二、列表法

列表法，即用列表法來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法稱為列表法。圖象法最能體現(xiàn)函數(shù)與自變量的“依賴關(guān)系”，那么最能體現(xiàn)函數(shù)概念的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的是哪種方法呢？

由于不是每個(gè)函數(shù)都能用表達(dá)式來(lái)表示，因此我做了圖象法與列表法的一個(gè)對(duì)比小測(cè)試。我在本校初中部三個(gè)年級(jí)測(cè)試了2018年北京中考數(shù)學(xué)的第16題：

在測(cè)試完這道題后，在沒(méi)有任何講解或?qū)W生交流的情況下，緊接著測(cè)試如下題目：

這兩道題其實(shí)是同一道題，只不過(guò)采用了兩種不同的函數(shù)表示方法，題目1是圖象法，只不過(guò)圖象是離散的一些點(diǎn)，題目2是列表法，用的字母符號(hào)更突出對(duì)應(yīng)關(guān)系。

對(duì)比測(cè)試結(jié)果顯示：題目1的正確率低。初二和初三的學(xué)生正確率只有30%左右，初一學(xué)生由于沒(méi)有學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，正確率只有5%左右;題目2的正確率有了顯著提高，初一和初二的學(xué)生正確率都超過(guò)了80%，初三學(xué)生的正確率接近90%。由此，得出結(jié)論：列表法比圖象法能讓學(xué)生更容易的發(fā)現(xiàn)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么最能體現(xiàn)函數(shù)概念的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的是列表法。

表格法最能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，“對(duì)應(yīng)關(guān)系”恰恰是函數(shù)概念的最本質(zhì)特征。因此，我認(rèn)為在函數(shù)概念的教學(xué)中，教師應(yīng)發(fā)揮表格法在體現(xiàn)“對(duì)應(yīng)關(guān)系”上的優(yōu)勢(shì)作用，重視列表法的教學(xué)。

三、解析法

初中數(shù)學(xué)課本八年級(jí)下冊(cè)（北京版）中：用含有自變量的代數(shù)式來(lái)表示因變量的式子叫做函數(shù)的表達(dá)式。這種表示函數(shù)關(guān)系的方法稱為解析法。

那么為什用“解析”這兩個(gè)字呢？其實(shí)，在幾年前，初中各個(gè)版本的教材曾一度用“解析式”一詞來(lái)表示含有自變量的代數(shù)式，而并非“表達(dá)式”?？疾旌瘮?shù)概念的發(fā)展演變史，不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)概念的萌芽伴隨著解析幾何的誕生，兩者曾一度糾纏，混為一談。

其實(shí)，解析幾何是先有的軌跡，也就是圖象，后建立坐標(biāo)系，求出的軌跡方程的。某些軌跡方程經(jīng)過(guò)恒等變形，坐標(biāo)變換，就成為了初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的函數(shù)表達(dá)式。因此，初中階段對(duì)基礎(chǔ)函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，特別要注意的一個(gè)事實(shí)是：函數(shù)的表達(dá)式?jīng)Q定函數(shù)圖象。