矩陣方程AX=B及其最小二乘問題的一類廣義對(duì)稱解

彭振赟，尚邵陽，周昱潔

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

對(duì)稱矩陣作為特殊的一類矩陣，不僅應(yīng)用在數(shù)學(xué)的其他分支，在幾何、物理、力學(xué)、工程技術(shù)中也有廣泛的應(yīng)用。將非對(duì)稱矩陣“對(duì)稱化”以解決與原矩陣相關(guān)的問題是諸多專家、學(xué)者考慮的問題。1936年，Kolmogorov用正定矩陣乘原矩陣，使其乘積成對(duì)稱矩陣，從而解決了概率論中的一些問題。其實(shí)這些想法已于1922年就被Stenel采用[1]，他更一般地用非奇異實(shí)矩陣乘原矩陣，使之成為對(duì)稱矩陣。這種矩陣乘積對(duì)稱化的方法，自20世紀(jì)以來曾為不少學(xué)者解決某些問題的常用方法[2-3]。1988年，孫繼廣[4]討論了實(shí)對(duì)稱矩陣的兩類逆特征值問題，給出了逆特征值問題的實(shí)對(duì)稱解的表達(dá)式。2000年，孫家昶[5]為了研究求解二階橢圓型非自共軛方程的離散迭代算法，定義了正定可對(duì)稱化矩陣。2001年，張忠志等[6]研究了D反對(duì)稱矩陣反問題，并利用矩陣奇異值分解、分塊降階的方法，得到了矩陣反問題的最小二乘解和最佳逼近解的一般表達(dá)式；2002年，易學(xué)軍等[7]討論了線性流型上D對(duì)稱矩陣反問題。2002年，彭振赟等[8]利用矩陣的奇異值分解方法，討論了非奇異乘積對(duì)稱矩陣反問題，得到了此類矩陣反問題有解的充分必要條件及通解的表達(dá)式。2003年，彭振赟等[9-10]討論了矩陣方程AX=B的子空間上對(duì)稱解問題。2006年，龔麗莎等[11]討論了矩陣方程AX=B的主子矩陣約束對(duì)稱最小二乘解問題。

1 預(yù)備知識(shí)

定義給定矩陣M∈Rm×n，若矩陣X∈Rn×m滿足XM∈SRn×n，則稱X為M-對(duì)稱矩陣。若矩陣X∈Rn×m滿足XM∈ASRn×n。則稱X為M-反對(duì)稱矩陣。MSRn×n表示所有M-對(duì)稱矩陣的集合，MASRn×n表示所有M-反對(duì)稱矩陣的集合。用Rm×n表示全體實(shí)矩陣集合，SRn×n表示全體實(shí)對(duì)稱矩陣集合，ASRn×n表示全體實(shí)反對(duì)稱矩陣集合。A+表示矩陣A的Moore-Penrose廣義逆，‖A‖F(xiàn)表示矩陣A的Frobenius范數(shù)，A*B表示矩陣A與B的Hadamard積，其定義為A*B=(AijBij)。

討論如下幾類問題：

問題Ⅰ給定M∈Rm×n，A∈Rp×n，B∈Rp×m,求X∈MSRn×n，使得

AX=B。

問題Ⅱ給定M∈Rm×n，A∈Rp×n，B∈Rp×m，X∈MSRn×n，使得

其中SEi(i=1,2)分別為問題Ⅰ和問題Ⅱ的解集合。

基于矩陣的奇異值分解，矩陣的廣義奇異值分解，矩陣廣義逆和矩陣分塊方法，給出問題Ⅰ有解的充分必要條件和問題Ⅰ、Ⅱ的解的一般表達(dá)式，以及計(jì)算問題Ⅰ和問題Ⅱ的最佳逼近解的計(jì)算步驟和數(shù)值例子。

2 問題Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ的解

引理1設(shè)矩陣M∈Rm×n的奇異值分解為

(1)

其中：U和V分別為m階和n階正交矩陣；Σ=diag(δ1,δ2,…，δr)>0；r=rank(M)，則X∈MSRn×n可表示為

(2)

其中：X11∈Rr×r滿足X11Σ∈Rr×r；X12∈Rr×(m-r)；X22∈R(n-r)×(n-r)。

證明由矩陣M的奇異值分解，有

令

(3)

其中：X11∈Rr×r；X12∈Rr×(m-r)；X22∈R(n-r)×(n-r)，則

注意到XM∈SRn×n，則有

X11Σ∈SRr×r，X21Σ=0。

因?yàn)棣卜瞧娈?，則有X21=0。因此，矩陣X∈MSRn×n可以表示為式(2)。

引理2[12]矩陣方程AX=B有解X∈Rn×m的充分必要條件是AA+B=B，且有解時(shí)其解的一般表達(dá)式可表示為

X=A+B+(I-A+A)G,

其中G為適當(dāng)階數(shù)的任意矩陣。

X=A+B+(I-A+A)G，

其中G為適當(dāng)階數(shù)的任意矩陣。

引理4[12-13]矩陣方程AX=B有解X∈SRn×n的充分必要條件

AA+B=B，ABT=BAT，

且有解時(shí)其解的一般表達(dá)式可表示為

X=A+B+(I-A+A)(A+B)T+

(I-A+A)G(I-A+A)，

其中G為適當(dāng)階數(shù)的任意對(duì)稱矩陣。進(jìn)一步，若矩陣A∈Rm×n的奇異值分解為

其中：U=(U1,U2)和V=(V1,V2)分別為m階和n階正交矩陣；U1∈Rm×r,V1∈Rn×r；Σ=diag(δ1,δ2,…,δr)>0；r=rank(A)，則矩陣方程AX=B在X∈SRn×n內(nèi)有解時(shí),其解可表示為

X=A+B+(I-A+A)(A+B)T+V2GV2，

其中G為適當(dāng)階數(shù)的任意對(duì)稱矩陣。

引理5[4]設(shè)G∈Rr×r，Σ=diag(σ1,σ2,…,σr)>0，則問題

‖SΣ-G‖F(xiàn)=min，

在S∈SRn×n內(nèi)存在唯一解

其中

引理6設(shè)D為非奇異對(duì)稱矩陣，則XD是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是D-1X為對(duì)稱矩陣。

證明注意到D為非奇異對(duì)稱矩陣，則有

(XD)T=XD?DXT=XD?XTD-1=

D-1X?(D-1X)T=D-1X,

故命題成立。

引理7[14]設(shè)D1=diag(α1,α2,…,αn)>0，D2=diag(β1,β2,…,βn)>0，則問題min‖D1GD2-E‖在SRn×n中存在唯一解

G=Φ*(D1ED2+D2ETD1)。

定理1設(shè)矩陣M的奇異值分解為式(1)，令

AV=(A1,A2)，BU=(B1,B2)，

(4)

其中：A1∈Rp×r，B1∈Rp×r，則問題Ⅰ有解的充分必要條件為

(5)

進(jìn)一步，若矩陣A1的奇異值分解為

(6)

X=V(Y,Z)UT，

(7)

其中：

(8)

Z=(AV)+B2+[I-(AV)+AV]G2；

(9)

G1為適當(dāng)階數(shù)的任意對(duì)稱矩陣；G2為適當(dāng)階數(shù)的任意矩陣。

證明由AX=B和式(2)，有

因而有

A1X11=B1，X11Σ∈SRr×r

(10)

和

(11)

根據(jù)引理4可知，式(10)有解的充要條件為

且有解時(shí)其解可表示為

其中G1為適當(dāng)階數(shù)的任意對(duì)稱矩陣。由引理2可知式(11)有解的充分必要條件為

AV(AV)+B2=B2，

且有解時(shí)其解可表示為

其中G2為適當(dāng)階數(shù)的任意矩陣。記

則問題Ⅰ的解可表示為式(7)。

定理2設(shè)矩陣M的奇異值分解為式(1)，并按式(4)將矩陣AV和BU進(jìn)行分塊，則A1Σ奇異值分解為

(12)

其中：Λ=diag(λ1,λ2,…,λs)>0；s=rank(A1Σ)；P=(P1,P2)和Q=(Q1,Q2)分別為p階和r階正交矩陣；P1∈Rp×s，Q1∈Rr×s。令

(13)

其中B11∈Rs×s，B22∈R(r-s)×(r-s)，則問題Ⅱ的解可表示為

X=V(Y,Z)UT，

(14)

Z=(AV)+B2+(I-(AV)+AV)G2，

其中

(15)

G1為適當(dāng)階數(shù)的任意對(duì)稱矩陣，G2∈Rn×(m-r)為任意矩陣。

證明由Frobenius范數(shù)的正交不變性，有

因此，問題II等價(jià)于

由引理3可知

(16)

G2∈Rn×(m-r)為任意矩陣。由引理6有

等價(jià)于

因此，X11可表示為

(17)

其中G1為適當(dāng)階數(shù)的任意對(duì)稱矩陣。由式(2)、(16)和(17)可知，問題Ⅱ的解可表示為式(14)。

(18)

(19)

(20)

若SE1非空，則問題Ⅲ在SE1中的解為

(21)

其中

(22)

(23)

(24)

{I-[I-(AV)+AV]+[I-(AV)+AV]}G3，

(25)

G3為適當(dāng)階數(shù)的任意對(duì)稱矩陣。

證明由定理1及Frobenius范數(shù)的正交不變性，有

則最佳逼近問題

等價(jià)于

由引理2和引理7可知問題Ⅲ在SE1中的解可表示為式(21)。

(26)

其中：

Λ1=diag(γ1,γ2,…,γt)>0；

Λ2=diag(μ1,μ2,…,μt)>0；

t=rank(Q2)=rank(ΣQ2)；

(27)

若SE2非空，則問題Ⅲ在SE2中的解為

(28)

其中

(29)

(30)

(31)

{I-[I-(AV)+AV]+[I-(AV)+AV]}G3，

(32)

G3為適當(dāng)階數(shù)的任意對(duì)稱矩陣。

證明由定理2及Frobenius范數(shù)的正交不變性，有

則最佳逼近問題

等價(jià)于

由引理2和引理7可知，問題Ⅲ在SE2中的解可表示為式(28)。

3 算法與數(shù)值例子

考慮到各問題的計(jì)算方法具有相似性，只給出計(jì)算問題Ⅲ在SE1中的一個(gè)解的算法步驟，即算法1。

算法1計(jì)算問題Ⅲ在SE1中的一個(gè)解的算法步驟：

2)按式(1)做矩陣M的奇異值分解；

3)按式(4)將矩陣AV和BU進(jìn)行分塊；

4)若式(5)成立，則SE1非空。因而問題Ⅲ在SE1中有解；否則，問題Ⅲ在SE1中無解；

5)按式(6)做矩陣A1的奇異值分解；

8)按式(20)計(jì)算矩陣E；

且

4 結(jié)束語

針對(duì)矩陣方程AX=B及其最小二乘問題，討論了一類廣義對(duì)稱解。基于矩陣的奇異值分解，矩陣的廣義奇異值分解，矩陣廣義逆和矩陣分塊方法，給出問題Ⅰ有解的充分必要條件和問題Ⅰ、Ⅱ的解的一般表達(dá)式，以及計(jì)算問題Ⅰ和問題Ⅱ的最佳逼近解的計(jì)算步驟和數(shù)值例子。