啟發(fā)-參與-激勵式的《離散數(shù)學(xué)》教學(xué)模式研究與實踐

張 悅，嚴(yán)偉榆，白玉艷，錢 曄

(云南農(nóng)業(yè)大學(xué) 大數(shù)據(jù)學(xué)院，云南 昆明 650201)

離散數(shù)學(xué)是計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程，它包括數(shù)學(xué)推理、組合分析、離散結(jié)構(gòu)、算法思維以及應(yīng)用和建模.離散數(shù)學(xué)為計算機(jī)科學(xué)及其他學(xué)科提供了重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).本課程的目標(biāo)是讓學(xué)生理解并掌握離散數(shù)學(xué)中的概念和技巧，以及它們之間的相關(guān)性，最終能運(yùn)用它們，建立解決實際問題的模型.離散數(shù)學(xué)著重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，培養(yǎng)他們從邏輯的，數(shù)學(xué)的角度去思考、分析和解決問題，并運(yùn)用數(shù)據(jù)論斷以及推理等知識，給出解決問題的不同方法.本課程理論性和抽象性較強(qiáng)，內(nèi)容多且復(fù)雜，學(xué)習(xí)難度較大，學(xué)習(xí)效果不佳，教學(xué)質(zhì)量不高.為了提高離散數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，有許多教師進(jìn)行了教學(xué)改革研究，提出了各種新的教學(xué)模式及方法.如陳業(yè)鋼[1]對《離散數(shù)學(xué)》進(jìn)行了對分課堂的教學(xué)模式設(shè)計與研究，王維花[2]將MOOC翻轉(zhuǎn)課堂運(yùn)用到了《離散數(shù)學(xué)》的教學(xué)中，陳文彬[3]在《離散數(shù)學(xué)》的課堂教學(xué)中運(yùn)用了啟發(fā)式教學(xué)法等.這些方法都表明了教師一方的努力和改變，對于學(xué)生一方，卻沒有體現(xiàn)有效的激勵.針對這一問題，本文提出了1種基于啟發(fā)-參與-激勵式的教學(xué)模式，通過知識點(diǎn)的啟發(fā)式教學(xué)，加強(qiáng)課堂上教師和學(xué)生的溝通交流，引導(dǎo)學(xué)生在課堂上積極思考及提問，增加課堂的吸引力，使之成為高效課堂；增加學(xué)習(xí)過程的跟蹤及量化測評；提高學(xué)習(xí)過程在期末總評中的占比，刺激學(xué)生注重平時學(xué)習(xí)過程；最后鼓勵學(xué)生加入到啟發(fā)式案例集的創(chuàng)建中，讓學(xué)生體會到自己的價值.通過以上多種方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情，養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣，讓學(xué)生真正地參與到學(xué)習(xí)過程中來，成為學(xué)習(xí)的主動者.

1 啟發(fā)-參與-激勵式教學(xué)模式的提出

啟發(fā)式教學(xué)是指根據(jù)教學(xué)目標(biāo), 遵循教學(xué)規(guī)律, 在教學(xué)過程中依據(jù)學(xué)習(xí)過程的客觀規(guī)律, 通過引導(dǎo)、指導(dǎo)、開導(dǎo)及啟示，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣, 使學(xué)生主動、自覺、積極地學(xué)習(xí)和思考以及實踐[4].在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中，啟發(fā)式教學(xué)是一種非常有效的方法，它能讓學(xué)生很容易掌握較抽象的定義，定理.啟發(fā)式教學(xué)緊緊圍繞“問-答”展開，教師如何問、問什么、何時問，如何引導(dǎo)學(xué)生回答都需要深入研究.構(gòu)建以知識點(diǎn)為單位的啟發(fā)式案例集是1個很好的方法，但需仔細(xì)考慮相關(guān)啟發(fā)式案例的選擇及安排.此外，啟發(fā)式案例集的數(shù)量應(yīng)足夠多，因此它的收集和整理必然是費(fèi)時費(fèi)力的.

學(xué)生參與度的多少是啟發(fā)式教學(xué)方法成功的一個關(guān)鍵因素，啟發(fā)式教學(xué)和學(xué)生的參與應(yīng)該結(jié)合起來，才可能達(dá)到1個滿意的效果[5].本教學(xué)模式的另一個重點(diǎn)是研究如何激勵學(xué)生在課堂上通過“答”來參與到學(xué)習(xí)中來，讓學(xué)生愿意回答，能夠回答，還能答的好，最后能變“答”為“問”.

本教學(xué)模式構(gòu)建了新的評價體系.其中，突出對學(xué)生學(xué)習(xí)全過程進(jìn)行評價，并將評價結(jié)果量化后計入課程考核成績，提高了包含過程評價的平時成績在整個課程考核中的權(quán)重.最后提出1種與啟發(fā)式案例集相關(guān)的獎勵機(jī)制.

2 基于啟發(fā)-參與-激勵式的離散數(shù)學(xué)教學(xué)模式

2.1 基于啟發(fā)-參與-激勵式的離散數(shù)學(xué)的教學(xué)模式設(shè)計

啟發(fā)-參與-激勵式的離散數(shù)學(xué)的教學(xué)模式的設(shè)計，首先考慮啟發(fā)式案例集等教學(xué)資源的構(gòu)建，其次是教學(xué)過程設(shè)計，如課前、課中、課后怎么做，啟發(fā)與參與如何融合？最后是評價體系中學(xué)習(xí)過程性評價的設(shè)計，以及如何實現(xiàn)激勵措施.

首先，構(gòu)建啟發(fā)式案例集和離散數(shù)學(xué)作品展示微信平臺.啟發(fā)式案例主要用于課堂教學(xué)課件上，題型包括單選題，多選題，填空題，演算題，畫圖題以及簡答題.啟發(fā)式案例應(yīng)難度適中，精煉，知識點(diǎn)覆蓋面小，答題時間較短.例如：在命題邏輯章節(jié)中的啟發(fā)式案例：“含有n個命題變元的合式公式有多少種真值指派？”；在集合論中的案例：“從集合A到集合B上的函數(shù)有多少個？單、滿、雙設(shè)函數(shù)又有多少個？”；在圖論中的案例：“畫出一個帶有5個頂點(diǎn)和3條邊的非同構(gòu)的簡單圖”.在啟發(fā)式案例集中還有一類較難案例：“在含有n元素的集合A上的等價關(guān)系有多少個？”通常放到課后完成.離散數(shù)學(xué)作品展示微信平臺主要用于收集學(xué)生完成的較好的作業(yè)及啟發(fā)式案例的答案，答案形式以圖片和視頻為主.學(xué)生可以通過智能手機(jī)隨時反復(fù)瀏覽這些問題及答案.

課前，教師發(fā)布課前學(xué)習(xí)資源到雨課堂或離散數(shù)學(xué)作品展示微信平臺，學(xué)生進(jìn)行預(yù)習(xí).課堂上，教師首先講授理論知識點(diǎn)，例如定義，定理，證明，推理等；接著給出啟發(fā)式案例，讓學(xué)生回答，教師根據(jù)回答情況，再次講解難點(diǎn).在這個過程中，教師要給予及時提示，指導(dǎo)學(xué)生思考的方向，并對學(xué)生的回答做出及時評價及總結(jié)，教學(xué)流程如圖1所示.教師可為1個知識點(diǎn)安排多個啟發(fā)式案例，重復(fù)問-答-評價這一環(huán)節(jié)，直到完成該知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)，然后進(jìn)入下一知識點(diǎn)講授.教師挑選出解題思路獨(dú)特或新穎的答案，將其上傳到離散數(shù)學(xué)作品展示微信平臺，供學(xué)生查看.特別地，對于一題多解的題目，盡可能多地收集不同的解法，納入啟發(fā)式案例集.例如，啟發(fā)式案例：“請用反證或歸謬法證明?x∈R, 若x>0,則x+1/x≥2”，在設(shè)計之初，只給出了2種解法，但在1次課堂練習(xí)中，共收集到四種不同的解法，于是將新的解法加入到啟發(fā)式案例集.課后，學(xué)生完成作業(yè)，教師評價學(xué)生作業(yè)，挑選正確答案，上傳到微信平臺，供學(xué)生查閱.對于解題思路新穎的作業(yè)答案，收錄到啟發(fā)式案例集中.這種做法一方面不僅減輕了教師制作及講解答案的時間，也極大豐富了啟發(fā)式案例集，另一方面開拓了學(xué)生的思路.

圖1 啟發(fā)-參與-激勵式的離散數(shù)學(xué)教學(xué)模式的教學(xué)過程示意圖

2.1.1 啟發(fā)環(huán)節(jié)的設(shè)計

在課堂上，教師圍繞章節(jié)的知識點(diǎn)，挑選難易程度適中，同時具有遞進(jìn)性，完成時間合理的啟發(fā)式案例，融入到課件中，在完成知識點(diǎn)講述后，教師通過雨課堂將案例發(fā)布給學(xué)生，學(xué)生使用手機(jī)完成答題.此類啟發(fā)式案例需有的放矢，抓住關(guān)鍵點(diǎn)，同時數(shù)量不易太多，一般控制在3題以內(nèi)，完成時間不易太長，一般以選擇題和填空題為佳.雨課堂能及時對學(xué)生的答題結(jié)果進(jìn)行批改并給出統(tǒng)計數(shù)據(jù).教師可根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)了解學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，及時調(diào)整下一步的教學(xué)方向.例如，在完成命題以及聯(lián)接詞的相關(guān)概念講解后，給出啟發(fā)式案例“下列四個選項中，哪個是命題() A：仔細(xì)做這道題.B：雪是黑的.C：我正在說謊. D： 全體立正！”.學(xué)生完成答題后，教師根據(jù)答題情況，進(jìn)行總結(jié)分析，其中，重點(diǎn)講述答案C不是命題的原因(此處可以讓學(xué)生們自由討論)，引出“悖論”這一術(shù)語；接著給出提出下一個啟發(fā)式案例：“一個小島上住著2人——騎士和流氓.騎士只說真話，流氓只說假話，有A和B 2個人，如果A說‘B是騎士’,B說‘我們2人不是一類人’.請判斷A和B2人誰是騎士，誰是流氓？”.該問題有一定難度，教師可以給出提示“分情況討論，假設(shè)A是騎士，那么結(jié)果一致嗎，假設(shè)A是流氓，結(jié)果一致嗎？”.在教師的啟發(fā)下，有部分同學(xué)會給出正確答案，教師最后選擇3～5名學(xué)生進(jìn)行討論回答；最后再次提升難度，留給同學(xué)們另一個的啟發(fā)式案例：“請簡要說明：羅素悖論的出現(xiàn)為什么引發(fā)了第3次數(shù)學(xué)危機(jī)”.該案例需要學(xué)生們課后去查閱資料，獨(dú)立完成.這3個案例，難度由簡到難，由課本引申到課外，從命題邏輯延伸到集合論，充分鍛煉了學(xué)生查閱資料，獨(dú)立思考，清晰表達(dá)的能力.學(xué)生在答題過程中，不僅能理解了命題的含義，還建立了初步的邏輯分析思維.

為了增加學(xué)習(xí)的趣味性，也為了學(xué)生們能了解離散數(shù)學(xué)在計算機(jī)科學(xué)中的作用，啟發(fā)式案例盡量選擇與計算機(jī)專業(yè)相關(guān)的例子.例如在講解歐拉回路時，可以引入計算機(jī)鼓輪設(shè)計的案例，在證明樹的性質(zhì)時，引入1個連環(huán)信的啟發(fā)式案例.這些案例都能給學(xué)生1個直觀的示例，增加學(xué)習(xí)的興趣，理解理論與實際運(yùn)用的關(guān)系.

在課堂啟發(fā)式講授中，案例的數(shù)量和難易程度都要根據(jù)學(xué)生具體情況來進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整.例如，對于數(shù)學(xué)背景較好的班級，案例的數(shù)量可以少些，難易程度跨度可以大些，反之，低難度的案例可以多做幾個，難度較大的案例可放到課后去完成.例如，在上面有關(guān)悖論的例子中，如果學(xué)生覺得困難，就可以把第2個和第3個案例都放到課后來完成.

2.1.2 參與環(huán)節(jié)的設(shè)計

學(xué)生在教學(xué)過程中參與度的大小是決定學(xué)習(xí)效果的關(guān)鍵因素.在本教學(xué)模式中，除了課堂參與外，學(xué)生們還可以通過雨課堂及離散數(shù)學(xué)作品展示微信平臺，隨時隨地參與到離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中來，成為教學(xué)活動中的活躍主體.課前，學(xué)生需要預(yù)習(xí)教師發(fā)布的課件資源；課中，學(xué)生需要聽講以及不斷的“回答”教師的問題；課后，還要完成課后作業(yè).在這個過程中，應(yīng)該如何讓學(xué)生主動參與進(jìn)來呢？本教學(xué)模式主要使用了3方法：第1種方法是在課堂上，減少教師講授時間，增加啟發(fā)式案例集數(shù)量，多留時間給學(xué)生回答問題和討論.通過學(xué)生的回答情況，定位到不專心，不認(rèn)真的學(xué)生，加大他們的回答問題的次數(shù).第2種方法是挑選完成較好的學(xué)生作業(yè)或啟發(fā)式案例答案，發(fā)布到離散數(shù)學(xué)作品展示微信平臺，作為學(xué)習(xí)資源提供給所有學(xué)生.如果一道題有多個學(xué)生都完成的較好，那么都把他們的答案上傳到微信平臺，每個答案旁邊都附上該學(xué)生的姓名.第3種方法是允許學(xué)生在離散數(shù)學(xué)作品展示微信平臺提交任何與離散數(shù)學(xué)有關(guān)的問題及答案，經(jīng)教師審核后，就可以以供教師及學(xué)生瀏覽.

在離散數(shù)學(xué)作品展示微信平臺上提交的內(nèi)容以圖片和視頻為主，這使得學(xué)生作業(yè)的提交非常方便.學(xué)生可利用手機(jī)和零散時間進(jìn)行反復(fù)學(xué)習(xí)，不在受到時間和地點(diǎn)的限制，增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的自由度和靈活度.

2.1.3 評價與激勵環(huán)節(jié)設(shè)計

長期的教學(xué)實踐揭示出：沒有有效的評價和激勵措施，一切教學(xué)活動都很難達(dá)到教學(xué)目標(biāo).

因此建立一套有效的評價與激勵措施是非常有必要的.在本教學(xué)模式中，提高平時成績在總評成績中的占比，上升為40%，期末考試成績在總評成績中的占比調(diào)整為40%，期中考試為20%.與2018年及以前的評價系統(tǒng)相比，期末考試成績占總評成績的占比降低了20%，平時占比增加了20%，期中成績占比不變，如圖2所示.學(xué)習(xí)過程性評價納入平時成績，過程評價包括課堂提問以及練習(xí)，章節(jié)小測試、課后作業(yè)及獎勵成績，如圖3所示.過程化評價項目要能夠進(jìn)行量化，并按圖3所示權(quán)重，計入平時成績中.獎勵成績是指有答案被錄入微信平臺或被選入啟發(fā)式案例集的學(xué)生，給予表揚(yáng)及記錄獎勵成績(80～100分之間)一次，對于有多個獎勵成績的，取最高一次的成績?yōu)樽罱K獎勵成績計入平時成績.

圖2 2018—2019年總評成績占比圖

圖3 平時成績結(jié)構(gòu)圖

該評價體系提高了平時成績的權(quán)重，降低了期末考試的權(quán)重，目的是讓學(xué)生重視每一堂課，每一次作業(yè)；積極思考，積極發(fā)言.獎勵措施的實施，鼓勵學(xué)生們開動腦筋，從多角度思考并解決問題，并能勇敢地展示自己的學(xué)習(xí)成果.這不僅增強(qiáng)了學(xué)生的自信心和榮譽(yù)感，而且真正激發(fā)出學(xué)生內(nèi)心里的一種 “我能學(xué)會-我能學(xué)好-我能比別人學(xué)到更好”的自信心與學(xué)習(xí)的能動性.

2.2 基于啟發(fā)-參與-激勵式的離散數(shù)學(xué)的教學(xué)模式的實踐

2018年秋季學(xué)期，在2017級計算機(jī)科學(xué)和網(wǎng)絡(luò)工程以及數(shù)學(xué)專業(yè)，嘗試了啟發(fā)-參與-激勵式的教學(xué)模式.2019年秋季學(xué)期，在2018級計算機(jī)科學(xué)以及2018級信息專業(yè)，繼續(xù)實施了該教學(xué)模式，具體數(shù)據(jù)如表1所示.2019年，每個專業(yè)均完成6個大作業(yè)，3次章節(jié)小測試，1次期中測試，1次期末考試，有成績記錄的課堂練習(xí)有22次，每個學(xué)生的課堂發(fā)言、答題為3～5次，在18信息專業(yè)中，由于人數(shù)較少，每個學(xué)生的課堂發(fā)言、答題都是5次.在獲得獎勵的同學(xué)中，最高分為100分，最低分為90分.有部分同學(xué)是獲得多次獎勵，但是也有部分同學(xué)從來沒有獲得過獎勵.

表1 基于啟發(fā)-參與-激勵式的離散數(shù)學(xué)的教學(xué)模式實施內(nèi)容統(tǒng)計

3 教學(xué)效果

本教學(xué)模式在2018及2019年秋季學(xué)期，進(jìn)行了兩輪的實踐.圖4為2018年度3個專業(yè)的總評成績分布情況，17數(shù)學(xué)的成績明顯好于另外2個專業(yè)，17計科和17網(wǎng)工2個專業(yè)成績差異不大.2019年度2個專業(yè)的總評成績正態(tài)分布如圖5所示，從圖中可看出，2個專業(yè)的成績分布均呈鐘型，大部分學(xué)生的成績都分布在均值附近.18信息專業(yè)的平均分高于18計科專業(yè)的平均分.

圖4 2018年離散數(shù)學(xué)總評成績正態(tài)分布圖

圖6對顯示了計科專業(yè)不同年級的總評成績，從圖中可看出，18計科的平均分高于17計科，低分段學(xué)生比17計科少，高分段學(xué)生比17計科多.如表2所示，2019年與2018年相比，平均分，最低分和最高分分別提高了4.9分，8.1分和5.5分.2018年與2019年，不及格總?cè)藬?shù)分別為19人和9人，不及格總?cè)藬?shù)占比由12.33降到了9.67%.對比2年的數(shù)據(jù)，可看出2019年的成績較2018年有所提升.

表2 2018—2019年離散數(shù)學(xué)的總評成績描述統(tǒng)計表

從課堂教學(xué)過程中學(xué)生的反饋來看，實施本教學(xué)模式后，課堂氣氛有了很大的改觀，學(xué)生們都能積極回答問題，主動記筆記，主動開口問問題.另外1個比較明顯的改變是作業(yè)抄襲的情況減少，學(xué)生完成作業(yè)的態(tài)度有了極大的改觀，部分同學(xué)會使用2種方法來解決1個問題.

4 結(jié)語

教學(xué)實踐表明，啟發(fā)-參與-激勵式的離散數(shù)學(xué)教學(xué)模式獲得了較好的效果.它不僅提升了學(xué)生在課堂上的參與度，還加強(qiáng)了師生在課堂中的交流互動，改變了課堂氣氛，在潛移默化中，讓學(xué)生由被動學(xué)習(xí)課程知識的狀態(tài)改變?yōu)橹鲃訉W(xué)習(xí)，還培養(yǎng)了學(xué)生課后利用網(wǎng)絡(luò)資源自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣.基于啟發(fā)-參與-激勵式的離散數(shù)學(xué)的教學(xué)模式通過教師啟發(fā)，學(xué)生參與，合理有效的評價方式，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心和榮譽(yù)感，極大地提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，改變了學(xué)生在課堂上的精神面貌，最終達(dá)到教學(xué)目的.

該教學(xué)模式實踐探索，還有以下方面值得改進(jìn)：

課后作業(yè)的內(nèi)容要有變化，減少學(xué)生抄襲前人答案的可能性，另一方面，作業(yè)應(yīng)該少而精，有的放矢，真正起到鞏固加強(qiáng)的作用.

作品展示微信平臺若改版為APP版更加方便.

在開課前和開課后對學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，從而了解學(xué)生的真實意愿，感受，意見和建議，為更好的開展教學(xué)活動提供真實信息.

激勵手段和參與方式還需要多樣化等等，需要不斷地研究和探索.