范德蒙行列式的2種證明及其應(yīng)用

張澤鋒，陳秀琴

(信陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，河南 信陽 464000)

在《高等代數(shù)》中，定義形如

的行列式為n階范德蒙行列式[1].范德蒙行列式不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，在其他領(lǐng)域也有著很重要的應(yīng)用.

1 范德蒙行列式的新證明

求證n階范德蒙行列式：

(1)

1.1 用數(shù)學(xué)歸納法證明

證明對n作歸納法：在n=2時(shí)，D2=x2-x1，顯然式(1)正確.

假設(shè)對于n-1階的范德蒙行列式，式(1)結(jié)論成立，下面證明式(1)對n階的范德蒙行列式也成立.

構(gòu)造一個(gè)輔助的n階行列式D(x)：

(2)

易得D(xn)=Dn，將D(x)按照第n列展開，得：

D(x)=1·A1n+x·A2n+x2·A3n+…+xn-2·An-1n+xn-1·Ann

(3)

式(3)中，Ain(i=1，2，3，…，n)是行列式(2)中的元素ain=xi-1(i=1，2，3，…，n)的代數(shù)余子式，而且不含x.因而由式(2)可得D(x)是一個(gè)n-1次的多項(xiàng)式，最高次xn-1的系數(shù)是Ann，按照定義可得Ann=(-1)n+nDn-1=Dn-1.

其次，由行列式的性質(zhì)可知x1,x2,x3,…，xn-1是D(x)的n-1個(gè)根，由多項(xiàng)式的理論可知：

D(x)=Dn-1(x-x1)(x-x2)(x-x3)…(x-xn-1)

(4)

取x=xn，代入式(3)可得：

D(xn)=Dn-1(xn-x1)(xn-x2)(xn-x3)…(xn-xn-1)

(5)

即：

Dn=D(xn)=Dn-1(xn-x1)(xn-x2)(xn-x3)…(xn-xn-1)

(6)

(7)

從而式(1)得證[2].

1.2 用定理證明

證明設(shè)n階行列式

對式(1)從最后一行起，每一行減去它相鄰的前一行的x1倍，得：

Dn=

(8)

由上述結(jié)論可知：

(9)

提取每一列的公因子后可得：

Dn=(x2-x1)(x3-x1)…(xn-x1)

(10)

式(10)中，Dn最后一個(gè)因子是n-1階范德蒙行列式Dn-1.

則：

Dn=(x2-x1)(x3-x1)…(xn-x1)Dn-1

(11)

同理可得：

Dn-1=(x3-x2)(x4-x2)…(xn-x2)Dn-2

(12)

重復(fù)進(jìn)行，最終可得[3]：

Dn=(x2-x1)(x3-x1)…(xn-x1)

(x3-x2)(x4-x2)…(xn-x2)…(xn-xn-1)=

(13)

從而式(1)得證.

2 范德蒙行列式的應(yīng)用

2.1 在n階行列式計(jì)算中的應(yīng)用

在計(jì)算有些行列式時(shí)，可以把行列式進(jìn)行簡單的拆項(xiàng)或提公因式等轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式，以簡化計(jì)算過程.

例1 計(jì)算n階行列式

解構(gòu)造一個(gè)n+1階范德蒙行列式

(14)

那么：

(15)

把D(x)按照第n+1列展開得：

D(x)=1·A1n+1+x·A2n+1+x2·A3n+1+…+xn-1·Ann+1+xnAn+1n+1

(16)

式(16)中，Ain+1(i=1,2,3,…，n,n+1)是行列式(14)中的元素ain+1=xi-1(i=1,2,3,…，n+1)的代數(shù)余子式[4],而且不含有x，因而由式(14)可得D(x)是一個(gè)n次的多項(xiàng)式，而且xn-1的系數(shù)是Ann+1，按照定義可得Ann+1=(-1)n+n+1D=-D.

2.2 在線性變換理論中的應(yīng)用

在線性變換問題中,運(yùn)用范德蒙行列式可以巧妙地解答復(fù)雜的線性變換問題.

例2 設(shè)數(shù)域F上的n維向量W的線性變換t有n個(gè)互不相同的特征值λ1，λ2，…，λn，求證：與τ可交換的W的線性變換是e,τ,τ2,…，τn-1的線性組合，其中e為恒等變換.

證明由題意可設(shè)τ(αi)=λiαi(i=1,2,…,n)，δ是與τ可進(jìn)行交換的線性變換，因而可得Wλ={kαi|k∈F}是δ的不變子空間[5].

令δ=xe+x1τ+x2τ2+…+xn-1τn-1，且τ(αi)=kiαi(i=1,2,…，n)，則有以下方程組：

(17)

2.3 在向量空間理論中的應(yīng)用

在求解向量空間理論的問題時(shí)，直接處理比較復(fù)雜，通常借助范德蒙行列式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將問題簡單化，有利于得出結(jié)論.

例3 設(shè)N是數(shù)域W上的n維向量空間，任意的正整數(shù)m≥n，證明：在N中存在m個(gè)向量，其中任意選取n個(gè)向量都線性無關(guān).

證明由于W?Wn，則只需要在Wn中思考.取m個(gè)向量b1=(1,2,22,…，2n-1) ,b2=(1,22,(22)2,…，(2n-1)2) ,…，bm=(1,2m,(22)m,…，(2n-1)m)，令:

1≤k1≤k2≤…≤kn≤m.

因?yàn)镈n符合范德蒙行列式，并且有Dn≠0， 所以向量bk1,bk2,…，bkn線性無關(guān).

2.4 在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用

在求解一些多項(xiàng)式理論的問題時(shí)，有些求根問題可以運(yùn)用范德蒙行列式來處理.

例4 若φ1(x),φ2(x),…，φn-1(x)為n-1個(gè)復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，且有1+x+x2+x3+…+xn-1|(φ1(xn)+xφ2(xn)+…+xn-2φn-1(xn)),求證：φ1(1)=φ2(1)=…=φn-1(1)=0.

(18)

式(18)關(guān)于φ1(1)，φ2(1)，…，φn-1(1)的齊次線性方程組的系數(shù)行列式為[6]：

2.5 在微積分中的應(yīng)用

在求解微積分尤其是在n階導(dǎo)數(shù)的問題時(shí)，應(yīng)用范德蒙行列式結(jié)合泰勒展開式來解決問題十分簡單.

由泰勒公式得：

(19)

式(19)是有關(guān)g'(x),g"(x),…，g(n-1)(x)的線性方程組[7]，可得它的系數(shù)行列式為：

(20)

顯然，式(20)的第2個(gè)行列式是范德蒙行列式，行列式的值等于1!2!…(n-1)!，所以Dn=1.

根據(jù)式(19)，可將g'(x),g"(x),…，gn-1(x)寫成g(x+b)與g(n)(ξb)(b=1,2,…，n)的線性組合.

實(shí)際上，可設(shè)x≤t≤x+n，則：

(21)

2.6 在證明問題中的應(yīng)用

在一些證明問題上，根據(jù)所證明問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將其進(jìn)行簡單地變形，轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式，就可以很容易得出結(jié)論[9].

又因?yàn)閍>b>c,則b-a<0,c-a<0,c-b<0，從而可得f(a,b,c)<0,命題得證.

3 結(jié)束語

范德蒙行列式為求解“數(shù)學(xué)分析”課程的一些問題提供了很好的處理方法.在學(xué)習(xí)和應(yīng)用范德蒙行列式時(shí),應(yīng)該不斷總結(jié)前人的經(jīng)驗(yàn)，尋求更多關(guān)于范德蒙行列式的規(guī)律，熟能生巧,方能更好地掌握范德蒙行列式的一系列知識，以及將范德蒙行列式的相關(guān)知識更好地應(yīng)用到數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中.