數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的育人價(jià)值
——以高中結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問(wèn)題專(zhuān)題復(fù)習(xí)課為例

馬淑杰 張景斌 陳福印

(1.首都師范大學(xué)教育學(xué)院 100048；2.首都師范大學(xué)教師教育學(xué)院 100048；3.中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)通州校區(qū) 101100)

“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，波利亞對(duì)數(shù)學(xué)解題的研究引起了數(shù)學(xué)教育界對(duì)問(wèn)題解決的關(guān)注.1980年，美國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)公布的《行動(dòng)綱領(lǐng)》呼吁在數(shù)學(xué)教育過(guò)程中應(yīng)注重開(kāi)展“問(wèn)題解決”教學(xué)，之后“問(wèn)題解決”逐漸成為各國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革和研究的核心.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》強(qiáng)調(diào)“基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考與交流，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).”可見(jiàn)，新課程改革更加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法在解決問(wèn)題中的應(yīng)用.教學(xué)中引入問(wèn)題不只是為了復(fù)習(xí)、鞏固和評(píng)估所學(xué)知識(shí)，獲取新技能，而是更加強(qiáng)調(diào)情境性、注重在問(wèn)題解決過(guò)程中，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值.

1 結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的內(nèi)涵、類(lèi)型與價(jià)值分析

Reitman于1965年首次從認(rèn)知心理學(xué)的角度區(qū)分了結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題(well-structured problem)和結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題(ill-structured problem)，此后很多研究者對(duì)結(jié)構(gòu)良好和結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題開(kāi)展了大量研究.一般認(rèn)為，結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題是指目標(biāo)(問(wèn)題所要達(dá)到的目的)、條件和解法都很明確的問(wèn)題，其解法往往是收斂的；結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題是指上述三者至少有一個(gè)沒(méi)有明確界定的問(wèn)題.簡(jiǎn)單說(shuō)，結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題有3種情形，即：已知條件明確，目標(biāo)要求不明確；或者已知條件不明確，目標(biāo)要求明確；或者已知條件、目標(biāo)要求都不明確.

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，呈現(xiàn)給學(xué)生的問(wèn)題基本上都是結(jié)構(gòu)良好的問(wèn)題.一方面，問(wèn)題的解題目標(biāo)明確；另一方面，解決問(wèn)題所需要的信息，都會(huì)在已知條件中給出充分和明確的呈現(xiàn).學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，只需要結(jié)合自己已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)等做出抉擇，只要采取了特定的解題步驟，就可以獲得相應(yīng)的確切答案.長(zhǎng)此以往，學(xué)生在課堂上學(xué)到的很多知識(shí)變成了“惰性知識(shí)”，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展也很難得以落實(shí).

與結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題的解決過(guò)程相比，結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的解決過(guò)程，不再是一個(gè)純認(rèn)知的過(guò)程，需要個(gè)體將自己的認(rèn)知、元認(rèn)知、情感和意志融為一體，最大限度地展示人類(lèi)智慧的復(fù)雜性和非線性的特征，具有重要的育人價(jià)值.首先，結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的解決，更有利于激活學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)而不只是單個(gè)知識(shí)點(diǎn)或多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的簡(jiǎn)單累加，需要學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行解題認(rèn)知構(gòu)建，突出了問(wèn)題情境和學(xué)生先前經(jīng)驗(yàn)的重要性，體現(xiàn)了學(xué)生在解決問(wèn)題中的中心地位.第二，結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的解決，更需要學(xué)生不斷的進(jìn)行分析、推理、反思，鑒別目標(biāo)、條件和自己思路之間的關(guān)系，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知監(jiān)控能力具有重要意義.第三，結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的解決，更需要學(xué)生在情境與問(wèn)題的有效互動(dòng)中，多角度思考、分析和探索問(wèn)題，有利于培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈活性，形成創(chuàng)新精神.第四，結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的開(kāi)放性、結(jié)論的不唯一性等特點(diǎn)，能夠引導(dǎo)學(xué)生更客觀、更全面的認(rèn)識(shí)問(wèn)題，對(duì)學(xué)生樹(shù)立正確的價(jià)值觀，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)習(xí)的自信心等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非認(rèn)知因素具有重要意義.

開(kāi)放性問(wèn)題是結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題中的某個(gè)或某些類(lèi)型，按照命題要素分類(lèi)可分為條件開(kāi)放問(wèn)題、策略開(kāi)放問(wèn)題、結(jié)論開(kāi)放問(wèn)題和綜合開(kāi)放問(wèn)題.隨著課程改革的不斷深入，結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的育人價(jià)值和評(píng)價(jià)功能也越來(lái)越得到重視.王雅琪等在《基于學(xué)科能力視角的高考數(shù)學(xué)北京卷命題研究》中指出：“開(kāi)放試題有利于全面評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識(shí)技能.通過(guò)評(píng)價(jià)學(xué)生在開(kāi)放性試題中的表現(xiàn)，可以引導(dǎo)學(xué)生從多角度、多層次認(rèn)識(shí)問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)思考、積極探索，為不同思維層次的學(xué)生搭建個(gè)性展示的平臺(tái).”

2 結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題教學(xué)的實(shí)踐探索

筆者在高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)中設(shè)計(jì)了關(guān)于結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問(wèn)題的專(zhuān)題復(fù)習(xí)課，旨在引導(dǎo)學(xué)生在鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的同時(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法、積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、提升數(shù)學(xué)思維能力，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考、表達(dá)、交流和反思，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，從而更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)的育人價(jià)值.下面，筆者結(jié)合復(fù)習(xí)課中的幾個(gè)問(wèn)題及其教學(xué)片段談一談?wù)J識(shí)和體會(huì)，供大家參考.

2.1 目標(biāo)明確(共同結(jié)論)，條件冗余(開(kāi)放)的結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問(wèn)題

問(wèn)題1給出以下四個(gè)條件：①ab>0 ②a>0 或b>0 ③a+b>2 ④a>0且b>0，其中可以作為“若a、b∈R，則a+b>0”成立的一個(gè)充分而不必要條件的是________.

教師：同學(xué)們?cè)趺此伎歼@道題目？

學(xué)生A：我認(rèn)為③和④都可以.

教師：請(qǐng)給出理由.

學(xué)生A：③是根據(jù)不等式的傳遞性，由于a+b>2，2>0可知a+b>0成立，反之不成立；④是根據(jù)不等式同向可加的性質(zhì)，由a>0且b>0得到a+b>0成立，反之不成立.①和②用特殊值，舉反例就可以了.比如：取a=b=-1否定①，取a=1，b=-2否定②.所以最終選擇③和④.

教師：很好！思路清晰，正確的命題通過(guò)推理證明其正確，錯(cuò)誤的通過(guò)舉反例來(lái)否定.其他同學(xué)還有別的方法嗎？

學(xué)生B：老師，我也同意選擇③④.①我用推理否定的，就是ab>0說(shuō)明a和b同號(hào)，當(dāng)它們都是負(fù)數(shù)時(shí)，不能得出a+b>0.條件②說(shuō)明a與b至少一個(gè)是正數(shù)，要使a+b>0即a>-b，否定它只需要a≤-b，所以取a=1，-b=2，即a=1，b=-2.

教師：思路也很好，他在分析過(guò)程中更好地理解了“ab>0 ”和“a>0 或b>0”的本質(zhì)含義……

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

本題是一道目標(biāo)明確、條件冗余的結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問(wèn)題.教學(xué)中選擇這一題目除了引導(dǎo)學(xué)生鞏固充分條件、必要條件的概念，不等式的概念、性質(zhì)及其遷移運(yùn)用等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能之外，還希望能夠在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上通過(guò)生生、師生的交流達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生分析與概括、推理與論證和解釋與交流等數(shù)學(xué)學(xué)科能力的目的.筆者認(rèn)為，學(xué)生這樣的分析和求解過(guò)程，不但有利于數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展，還有利于多角度理解和把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，培養(yǎng)思維的靈活性和理性精神.

問(wèn)題2已知△ABC同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：

(Ⅰ)請(qǐng)指出這三個(gè)條件，并說(shuō)明理由；

(Ⅱ)求△ABC的面積．

(同學(xué)們思考一段時(shí)間后)

教師：這道題目和問(wèn)題1類(lèi)似，都是給出了冗余的條件，哪位同學(xué)說(shuō)說(shuō)自己的想法？

學(xué)生C：我認(rèn)為△ABC應(yīng)該同時(shí)滿足②③④．

理由如下：

若△ABC同時(shí)滿足①，②，則出現(xiàn)矛盾.

因?yàn)锳∈(0,π)時(shí)，y=cosx是單調(diào)遞減函數(shù)，

因此A+B>π，矛盾．

所以△ABC不能同時(shí)滿足①和②，

則必須同時(shí)滿足③和④.

又因?yàn)閍

所以△ABC不滿足①．(Ⅱ)(略)

教師：分析得很好.這一題目形式上與問(wèn)題1類(lèi)似，但還是有一定區(qū)別的.問(wèn)題1中各條件之間各自獨(dú)立，只需關(guān)注條件與結(jié)論的關(guān)系，而問(wèn)題2是在滿足△ABC的條件下，更多關(guān)注條件之間的關(guān)系.在這里，三角形的相關(guān)性質(zhì)，如內(nèi)角和、大邊對(duì)大角、特殊角的三角函數(shù)值以及余弦函數(shù)的單調(diào)性等在解決問(wèn)題中扮演著重要的角色，所以同學(xué)們不但要掌握單一知識(shí)點(diǎn)，還要關(guān)注知識(shí)間的聯(lián)系.此外，對(duì)于這種結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的解決，還需要同學(xué)們有意識(shí)的監(jiān)控自己的解題過(guò)程，不斷反思目標(biāo)和過(guò)程，為自己的觀點(diǎn)建構(gòu)強(qiáng)有力的論據(jù).

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

本題仍是一個(gè)目標(biāo)明確、條件冗余的結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問(wèn)題.教學(xué)設(shè)計(jì)目的除了相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的鞏固以及在問(wèn)題解決過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的能力之外，較之于結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題，希望能夠更好的激活學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行解題認(rèn)知構(gòu)建的過(guò)程中，提升元認(rèn)知監(jiān)控能力.學(xué)生只有在解題中不斷的進(jìn)行分析、推理、反思、比較和鑒別，才能夠形成正確的思路并準(zhǔn)確地表達(dá)其思維過(guò)程.這樣的問(wèn)題解決過(guò)程有利于學(xué)生合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神的形成，對(duì)學(xué)生批判性思維的培養(yǎng)有一定的意義.

2.2 目標(biāo)明確(共同結(jié)論)，舉例開(kāi)放的結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問(wèn)題

問(wèn)題3(北京高考2017年文理科13題)能夠說(shuō)明“設(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù)．若a>b>c，則a+b>c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為_(kāi)_______．

學(xué)生D：這題答案不唯一，我的答案是：-1，-2，-3.

老師：分享一下你的思路吧.

學(xué)生D：若原命題為假，則“a+b≤c”為真，所以使a+b≤c成立的特殊值就是使原命題為假的特殊值，我取-1，-2，-3.

學(xué)生E：老師我是將不等式a+b>c等價(jià)轉(zhuǎn)化為b-c>-a，所以要使b-c>-a為假命題，只要其否定b-c≤-a成立.因?yàn)閎-c是正數(shù)，所以a為負(fù).這樣再取特殊值，我覺(jué)得縮小了范圍，更容易了.

教師：思考還可以再深入一點(diǎn)兒?jiǎn)?？范圍可能還可以進(jìn)一步縮小.

(學(xué)生小聲兒討論了一會(huì)兒)

學(xué)生E：老師，可以.首先a、b、c都是負(fù)數(shù)，然后只要b與c的差小于a的絕對(duì)值，這樣的任意三個(gè)負(fù)數(shù)都滿足題目要求，比如a=-2，b=-4，c=-5.

教師：這是一道需要舉例說(shuō)明命題為假的題目，考查同學(xué)們的證偽能力.兩位同學(xué)的共同特點(diǎn)是運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為使原命題的否定為真，然后取使其否定為真的特殊值，一定使原命題為假.

教師：同學(xué)們覺(jué)得這道題的命題背景或意圖是什么？大家可以討論討論……

(討論后，學(xué)生們一致認(rèn)為是考查不等式的性質(zhì)，具體什么性質(zhì)也說(shuō)不清楚.)

教師：同學(xué)們思考一下，如果將命題改為：“設(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù)．若a>b>c>0，則a+b>c”，命題是否成立？

學(xué)生們：成立,可以證明.

教師：那也就是說(shuō)，這道題目命題的背景應(yīng)該涉及不等式的一個(gè)錯(cuò)誤推理，引導(dǎo)同學(xué)們?cè)谶\(yùn)算中要關(guān)注條件和結(jié)論的關(guān)系，要在一定條件下進(jìn)行推理.

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

本題是一個(gè)目標(biāo)明確(共同結(jié)論)，舉例開(kāi)放的結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問(wèn)題，其研究方法和解題思路也是開(kāi)放的.教學(xué)設(shè)計(jì)旨在鞏固命題及其真假、不等式的概念和性質(zhì)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和證偽能力.在教師的啟發(fā)下，學(xué)生通過(guò)深入分析數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的含義、把握問(wèn)題本質(zhì)，有利于深度思維的開(kāi)展.

問(wèn)題4(北京高考2018年理科13題)能說(shuō)明“若f(x)>f(0)對(duì)任意的x∈(0,2]都成立，則f(x)在[0,2]上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是________．

教師：這道題考查什么知識(shí)？如何理解命題的意圖？

學(xué)生F：我覺(jué)得就是考增函數(shù)的.

教師：考增函數(shù)什么？能具體點(diǎn)兒?jiǎn)幔?/p>

學(xué)生F：好像是要說(shuō)明函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值都比左端點(diǎn)的函數(shù)值大，并不能說(shuō)明函數(shù)是(單調(diào)遞)增的.

教師：恩，不錯(cuò)！你能給出這樣的函數(shù)嗎？

學(xué)生F：f(x)=sinx.

教師：在黑板上畫(huà)出了圖1，并引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象滿足題目要求.

圖1

圖2

圖3

圖4

學(xué)生G：老師，可以構(gòu)造分段函數(shù)，只要不滿足單調(diào)遞增就可以，比如：

并(在老師的示意下)在黑板上畫(huà)出了圖2.

教師：很棒.他通過(guò)構(gòu)造分段函數(shù)模型解決了問(wèn)題，同學(xué)們看這個(gè)函數(shù)的圖象，僅僅有一個(gè)點(diǎn)(1，2)使得整個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)遞增.那么，為什么一個(gè)點(diǎn)就能使得函數(shù)不單調(diào)遞增了呢？

學(xué)生G：?jiǎn)握{(diào)遞增是要求對(duì)定義域內(nèi)任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)x1

教師：理解得很好.同學(xué)們能構(gòu)造出符合條件的分段函數(shù)是很好的.概括起來(lái)大家的思考路徑基本上是兩種：一是先思考滿足條件的函數(shù)解析式，再畫(huà)圖象驗(yàn)證；二是先構(gòu)造出符合條件的函數(shù)圖象，再用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)出對(duì)應(yīng)的解析式.函數(shù)圖象和解析式都是表達(dá)函數(shù)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，同學(xué)們能夠?qū)⒍哽`活的轉(zhuǎn)化會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)思維提升有很大的促進(jìn)作用，而且有利于進(jìn)行數(shù)學(xué)的表達(dá)與交流.同學(xué)們?cè)囍贅?gòu)造一兩個(gè)符合條件的函數(shù)，體會(huì)兩種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化……

教師：同學(xué)們揣測(cè)一下，對(duì)于這道題，命題人究竟想說(shuō)明一個(gè)什么問(wèn)題呢？

(學(xué)生們小聲交流著，過(guò)一會(huì)兒有學(xué)生主動(dòng)發(fā)言)

學(xué)生H：我們覺(jué)得是想說(shuō)明“若f(x)在[0,2]上是增函數(shù)，則對(duì)任意的x∈(0,2]都有f(x)>f(0)，反之，不成立……

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

本題也是一個(gè)目標(biāo)明確，舉例開(kāi)放的結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問(wèn)題，其研究方法和解題思路也是開(kāi)放的.教學(xué)設(shè)計(jì)的目的，一方面在于相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的鞏固和運(yùn)用，另一方面是在問(wèn)題的分析和解決過(guò)程引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化，特別是幾何直觀在解決問(wèn)題中的重要作用，有利于培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).題目中舉例的開(kāi)放性更容易將學(xué)生的思維打開(kāi).學(xué)生需要從已有知識(shí)結(jié)構(gòu)中檢索和激活相關(guān)知識(shí)和方法，并在認(rèn)真思考的基礎(chǔ)上表達(dá)自己的想法和結(jié)論，有利于使學(xué)生從被動(dòng)的信息加工者變?yōu)橹鲃?dòng)的問(wèn)題解決者，可以更好的落實(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，也有利于教師關(guān)注學(xué)生的輸出.整個(gè)問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程有利于提升學(xué)生計(jì)算與操作、分析與概括、解釋與交流等數(shù)學(xué)學(xué)科能力，并使教學(xué)更加關(guān)注了學(xué)生的學(xué)，也可以更好的激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

2.3 目標(biāo)(題目結(jié)論)開(kāi)放，條件明確的結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問(wèn)題

問(wèn)題5(北京高考2019年理科17題)改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

支付金額(元)支付方式0,1000 1000,2000 大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人

(1)(2)略

(3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由．

教師：請(qǐng)同學(xué)們分析數(shù)據(jù)所提供的信息，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問(wèn)題.

(一段時(shí)間之后)

教師：兩位同學(xué)各有各的結(jié)論和相應(yīng)的理由，其他同學(xué)怎么想？

(沒(méi)有人回答，討論的聲音漸漸增大.筆者走到學(xué)生中間聽(tīng)他們的討論，兩種解釋各有支持者，各自堅(jiān)持自己的看法，又沒(méi)有充足的理由推翻另外一種意見(jiàn).)

教師：大家努力地想推翻另外一種意見(jiàn)，可都沒(méi)有充足的理由，就沒(méi)有想過(guò)兩種情況都有可能發(fā)生，結(jié)論都是正確的嗎？

學(xué)生們：還可以這樣啊？

教師：我們來(lái)看，兩種觀點(diǎn)都是通過(guò)分析數(shù)據(jù)信息，通過(guò)古典概率模型計(jì)算出事件發(fā)生的概率，問(wèn)題的關(guān)鍵在于事件發(fā)生的概率很小.一方面，從統(tǒng)計(jì)概率的角度，一般認(rèn)為小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中不可能發(fā)生，而一旦發(fā)生就可以推斷其概率不會(huì)很小，所以可以認(rèn)為支付金額大于2000元的人數(shù)增多了，才導(dǎo)致3個(gè)人的金額全大于2000元這件事在一次試驗(yàn)中發(fā)生了.另一方面，雖然概率很小，只有大約0.0002，但還是有發(fā)生的可能性的，因此，也可以認(rèn)為沒(méi)有人數(shù)變化.總之，兩位同學(xué)的觀點(diǎn)都可以.通過(guò)這一實(shí)際問(wèn)題的分析，需要大家注意的是我們要學(xué)會(huì)如何根據(jù)所給數(shù)據(jù)信息，通過(guò)分析、運(yùn)用已有知識(shí)和方法構(gòu)建概率模型，通過(guò)整理或計(jì)算出能夠幫助我們進(jìn)行推斷或做出相應(yīng)決策的數(shù)據(jù)，只要數(shù)據(jù)和結(jié)論一致，這樣的結(jié)論就是有依據(jù)或道理的，答案不一定唯一確定.

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

本題是一道結(jié)論開(kāi)放，條件明確的結(jié)構(gòu)不良實(shí)際問(wèn)題，其解題思路也是開(kāi)放的.教學(xué)設(shè)計(jì)的目的，一方面是引導(dǎo)學(xué)生在提取信息、對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，通過(guò)運(yùn)用已有知識(shí)構(gòu)建概率模型、進(jìn)行計(jì)算，以及根據(jù)結(jié)果數(shù)據(jù)推斷獲取結(jié)論的過(guò)程中較好的提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；另一方面是培養(yǎng)學(xué)生定量分析問(wèn)題、基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的意識(shí)，問(wèn)題結(jié)論的開(kāi)放性能夠引導(dǎo)學(xué)生更客觀、更全面的認(rèn)識(shí)實(shí)際問(wèn)題，樹(shù)立正確的價(jià)值觀，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.

2.4 目標(biāo)(題目結(jié)論)和條件均開(kāi)放的結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問(wèn)題

問(wèn)題6在下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，若問(wèn)題中的k存在，請(qǐng)求出k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

①b1-b2=a2, ②a4=b4, ③S5=-25，

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，b1=a5，b2=3，b5=-81，是否存在k，使得Sk>Sk+1且Sk+1

學(xué)生L：因?yàn)閧bn}是等比數(shù)列，b2=3，b5=-81可得：b1=-1，q=-3，于是a5=-1；又因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，條件“Sk>Sk+1且Sk+1

首先對(duì)于等差數(shù)列而言，滿足Sn存在最小值(不是S1)的條件是a1<0且公差d>0.若選擇①b1-b2=a2，則可求得a1=-5，d=1，滿足Sn存在最小值(不是S1)，所以選擇①就存在k.

教師：其他同學(xué)有不同意見(jiàn)嗎？

學(xué)生M：老師，條件“Sk>Sk+1且Sk+1

教師：不錯(cuò).那么①能否使?jié)M足條件的k存在且唯一呢？

學(xué)生L：那不能了.因?yàn)橛衋6=0，所以使得S5=S6均為Sn的最小值，k不唯一，不存在.

教師：那條件②呢？

學(xué)生N：我認(rèn)為不行，因?yàn)橛散赼4=b4，得a4=27>0，而a5=-1<0，因此公差d<0，Sn不存在最小值，所以不能選②

教師：③如何？

學(xué)生們：①②都不成了，③肯定成.(大家都笑了)

教師：一定嗎？

學(xué)生P：一定啊.您看由③S5=-25，可求得a1=-9，d=2,從而an=2n-11.令an<0，得n≤5.5，所以當(dāng)n=5時(shí)，Sn取得最小值.從而使得條件“Sk>Sk+1且Sk+1

教師：好.那同學(xué)們打算怎么完成這道題目的解答呢？

學(xué)生們：就得選③唄.

教師：如果是高考，大家也這樣逐個(gè)嘗試嗎？解一道題用三道題的時(shí)間嗎？而且命題人的初衷也不會(huì)是這樣吧？

(學(xué)生們先是沉默了，過(guò)一會(huì)兒有人發(fā)言)

學(xué)生Q：老師我們逐個(gè)分析，可以排除錯(cuò)的，不用都寫(xiě)出來(lái)，可以的.

教師：錯(cuò)的？你們都是這么想的嗎？請(qǐng)大家再仔細(xì)閱讀題目要求.

(學(xué)生們都默讀題目，漸漸的有了交流的聲音……)

學(xué)生R：老師，就是我們選擇哪個(gè)條件都可以對(duì)嗎？只要計(jì)算準(zhǔn)確，所選條件和解答相匹配就可以是嗎？還可以這樣？

教師：大家覺(jué)得是嗎？

(學(xué)生們的討論聲音越來(lái)越大了)

教師：我們仔細(xì)閱讀題目會(huì)發(fā)現(xiàn)，這是一道條件冗余、結(jié)論開(kāi)放的結(jié)構(gòu)不良試題.無(wú)論你選擇哪個(gè)條件，只要方法正確、計(jì)算準(zhǔn)確，能夠合理解釋結(jié)論，都是正確的……

教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

在以往的數(shù)學(xué)課堂上，條件冗余且結(jié)論開(kāi)放的結(jié)構(gòu)不良試題并不多見(jiàn)，甚至很多同學(xué)從沒(méi)真正求解過(guò).這一題目的教學(xué)設(shè)計(jì)目的除了在于對(duì)相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能以及分析問(wèn)題能力、判斷和推理能力等的培養(yǎng)之外，更重要的目的在于通過(guò)對(duì)題目的正確理解和準(zhǔn)確求解，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生多角度思考、分析和探索問(wèn)題的創(chuàng)新精神、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維品質(zhì)以及正確解決問(wèn)題的信心和意志品質(zhì)等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非認(rèn)知因素的培養(yǎng).

3 結(jié)語(yǔ)

以上是筆者在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題教學(xué)實(shí)踐中的一些嘗試和體會(huì)，雖然其中還有很多認(rèn)識(shí)不到位或不夠全面之處，但是，我們從中可以體會(huì)到結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問(wèn)題的育人價(jià)值.它不但具有一般結(jié)構(gòu)良好數(shù)學(xué)問(wèn)題在鞏固學(xué)生“四基”、培養(yǎng)“四能”方面的作用，而且能夠更加突出學(xué)生在解決問(wèn)題中的中心地位；能夠更好的激發(fā)學(xué)生主動(dòng)檢索和激活已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)、多角度、多層次認(rèn)識(shí)問(wèn)題和思考問(wèn)題、把握問(wèn)題的本質(zhì)；對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知監(jiān)控能力、邏輯思維能力和批判性思維能力以及對(duì)激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和探究意識(shí)、樹(shù)立正確的價(jià)值觀等具有重要意義.總之，結(jié)構(gòu)不良數(shù)學(xué)問(wèn)題的教學(xué)能夠更好的提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人價(jià)值.