平均跟蹤性質(zhì)的一個(gè)注記

曾 鵬,李遠(yuǎn)飛, 李志青

(廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)華商學(xué)院數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州510000)

§1 引 言

眾所周知偽軌及其跟蹤性質(zhì)不僅成為動(dòng)力系統(tǒng)研究的重要概念之一,更成為了動(dòng)力系統(tǒng)理論研究的一個(gè)重要的工具.目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)偽軌跟蹤性質(zhì)的研究仍然非?；钴S,隨著研究的深入發(fā)展以及實(shí)際應(yīng)用的需要,各種跟蹤性隨偽軌概念的不同應(yīng)運(yùn)而生.如:平均跟蹤[1-2],遍歷跟蹤[3],漸近平均跟蹤[4],-跟蹤和-跟蹤[5]等.

研究發(fā)現(xiàn),各種偽軌跟蹤概念的產(chǎn)生主要有兩個(gè)方面的改變:一方面改變所跟蹤的偽軌,另一方面通過(guò)改變點(diǎn)所跟蹤偽軌的時(shí)間集或距離的度量標(biāo)準(zhǔn).

1988年,Blank[1-2]給出了平均跟蹤性質(zhì)的概念并證明了某些攝動(dòng)雙曲系統(tǒng)具有平均跟蹤性質(zhì).自從平均跟蹤性質(zhì)的概念問(wèn)世以來(lái),受到了越來(lái)越多的學(xué)者關(guān)注[6-11].如牛應(yīng)軒[6]證明了一個(gè)具有平均跟蹤性質(zhì)并且極小點(diǎn)稠密的映射是Syndetic傳遞和弱混合的;Sakai[7]分析了在二維閉曲面上滿足平均跟蹤性質(zhì)的微分同胚的動(dòng)力性狀;趙俊玲[8]證明了緊致度量空間中有偽軌跟蹤的Disatal同胚不具有平均跟蹤性,并給出了平均跟蹤性的同胚是極小的一個(gè)充分條件.

本文主要通過(guò)改變平均跟蹤概念定義中所跟蹤的偽軌,將跟蹤平均偽軌換成跟蹤遍歷偽軌,得到了平均跟蹤的一個(gè)等價(jià)定義,并且通過(guò)該等價(jià)定義得到了平均跟蹤的相關(guān)性質(zhì),主要結(jié)論如下.

定理3.1設(shè)(X,f)是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng),則下列條件等價(jià).

(1)f有平均跟蹤性質(zhì);

(2)?ε>0,?δ>0,使得對(duì)f的任意一條遍歷偽軌都能夠被X中的某點(diǎn)ε-平均跟蹤.

定理3.11設(shè)(X,f)是一個(gè)拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng).如果存在正整數(shù)k≥2.使得fk有平均跟蹤性質(zhì),則f也有平均跟蹤性質(zhì).

定理3.12設(shè)(X,f)是一個(gè)拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng).如果f有遍歷跟蹤性質(zhì),則f有平均跟蹤性質(zhì).

§2 預(yù)備知識(shí)

§3 主要結(jié)果及證明

因此f有平均遍歷跟蹤性質(zhì).根據(jù)定理3.1,定理3.12成立.