無窮小數(shù)列的比式判別法與根式判別法*

何桂添,李海玲,唐國吉

(廣西民族大學 數(shù)學與物理學院,廣西 南寧530006)

0 引言

斂散性是數(shù)列的基本性質(zhì),收斂于0的數(shù)列稱為無窮小數(shù)列(發(fā)散于∞或+∞,-∞的數(shù)列稱為無窮大數(shù)列).無窮小數(shù)列在收斂數(shù)列中扮演重要的角色,它對于研究數(shù)項級數(shù)的斂散性起著基礎(chǔ)性的作用.通行的數(shù)學分析教科書(文[1,3,5]等)都用專門的章節(jié)介紹數(shù)列的收斂性(包括極限的存在性與計算),主要的方法有定義法,柯西收斂準則,單調(diào)有界定理,兩邊夾定理等.我們知道,研究一般數(shù)列收斂性的方法都可以用來研究無窮小數(shù)列.然而,我們發(fā)現(xiàn),對于無窮小數(shù)列的介紹和研究還不深入.另一方面,數(shù)學分析教科書(文[2,4,5]等)都介紹了正項級數(shù)收斂性的比式判別法與根式判別法.

受以上文獻的啟發(fā),在本文中我們提出判別無窮小數(shù)列的比式判別法與根式判別法.順帶地,得到判別無窮大數(shù)列的相應(yīng)判別法,給出例子說明主要結(jié)果.

在結(jié)束本節(jié)之前,我們先回顧幾個基本的結(jié)果(如分別參見文[2]第29頁練習題9和練習題8).

1 比式判別法

即當n>N時,有an+1

注1:q=1時,數(shù)列{an}可能是無窮小數(shù)列,可能是發(fā)散數(shù)列,也可能是收斂于任意指定正數(shù)的收斂數(shù)列.例如考慮3個數(shù)列:;(ii){n};(iii)任意指定的正數(shù)t,常數(shù)列{t}.容易驗證這3個數(shù)列都滿足是無窮小數(shù)列;{n}是發(fā)散數(shù)列;對任意給定的正數(shù)t,常數(shù)列{t}收斂于t.故當q=1時,無法鑒別數(shù)列{an}是否為無窮小量.

證明 :由定理1和引理2可推得結(jié)論.

若定理1和推論1中極限不存在時,可考慮上極限和下極限來判斷.

2 根式判別法

3 結(jié)論

我們先給出比式極限與根式極限的關(guān)系.

定理3 設(shè)數(shù)列{an}滿足條件an>0,?n∈

注3:由定理3的前半部分知,凡是能由比式判別法鑒別的無窮小數(shù)列,也能由根式判別法來判斷,再結(jié)合定理3的后半部分知,根式判別法適用范圍較之比較判別法更廣泛.

眾所周知,當公比q滿足|q|<1時,等比數(shù)列{qn}是無窮小數(shù)列.從定理1和定理2的證明可以看出:比式判別法和根式判別法都是借助于兩邊夾定理與一個無窮小的等比數(shù)列做比較來實現(xiàn)的.換句話說,只有當一個無窮小數(shù)列收斂于0的速度比某個無窮小的等比數(shù)列快時,才可以用比式判別法和根式判別法來判別.加深對無窮小數(shù)列的認識有利于對數(shù)項級數(shù)收斂性的研究.