極限狀態(tài)下的桁架梁及其等代梁的有限元分析

徐靚玲 陳焰周

(中南建筑設(shè)計(jì)院股份有限公司，湖北 武漢 430071)

1 概述

1.1 桁架梁等代原則

梁主要為受彎構(gòu)件，從設(shè)計(jì)的角度提出桁架梁與鋼梁之間的三個(gè)等代原則：1)兩者能夠承受的彎矩一樣；2)兩者都率先在受彎狀態(tài)下發(fā)生破壞；3)兩者的重量相差無(wú)幾。

圖1給出了桁架梁及其等效實(shí)腹鋼梁的截面示意，其中符號(hào)代表含義如下：H—梁高;A1—等代實(shí)腹梁的上/下翼緣面積;b—等代實(shí)腹梁腹板厚度;A2—桁架梁上下弦桿翼緣面積;A3—桁架梁上下弦桿的腹板面積;A4—桁架梁腹桿中單角鋼的截面積。

根據(jù)二者承受彎矩相同可以推出：

(A2+A3)≈A1+bH/6

(1)

使A1=A2，則：

A3≈bH/6

(2)

根據(jù)兩者重量基本相同可以得到：

2(A2+A3+A4/cosθ)≈2A1+bH

(3)

其中,θ為腹桿與弦桿的夾角。

代入A1=A2，A3≈bH/6，則：

A4/cosθ≈bH/3

(4)

根據(jù)破壞發(fā)生在受彎狀態(tài)，擬定梁承受最大彎矩為M，最大剪力為V：

1)對(duì)于實(shí)腹鋼梁，最大彎矩假定由翼緣承擔(dān)，最大剪力假定由腹板承擔(dān)，根據(jù)受彎先于受剪破壞，可以得到：

(5)

2)對(duì)于桁架梁，最大彎矩假定由弦桿承擔(dān)，最大剪力假定由腹桿承擔(dān)，弦桿與腹桿的夾角設(shè)為45°，根據(jù)受彎先于受剪破壞，結(jié)合上述推導(dǎo)結(jié)果，并適當(dāng)簡(jiǎn)化可以得到：

b>3VA1/M

(6)

綜上，等效實(shí)腹鋼梁的腹板厚度應(yīng)滿足式(6)的要求。

上述分析基于等代原則給出了等代梁的腹板厚度和桁架梁弦桿、腹桿尺寸的確定辦法。

1.2 鋼桁架主梁分析

假定一鋼桁架主梁，18 m跨，高度為2.0 m，其上每隔4.5 m均勻分布F=1 650 kN的荷載，如圖2所示。不難推算截面1—1范圍內(nèi)最大剪力V1=2 475 kN，截面2—2范圍內(nèi)最大剪力V2=825 kN，梁端最大彎矩M1=9 282 kN·m，中間段最大彎矩M2=5 569 kN·m。按照1.1所述的等代分析方法，考慮實(shí)際因素，如荷載分項(xiàng)系數(shù)、弦桿承受板荷載產(chǎn)生的節(jié)間彎矩等，1—1段的桁架弦桿T型截面取T450×300×22×52，腹桿截面取2L200×24，對(duì)應(yīng)的實(shí)腹鋼梁為H450×2 000×19×52；2—2段的桁架弦桿T型截面取T450×300×16×34，腹桿截面取2L140×14，對(duì)應(yīng)的實(shí)腹鋼梁為H450×2 000×7×34。

1.3 鋼桁架次梁分析

假定一鋼桁架次梁，兩端支座按鉸接考慮，18 m跨，高度為1.5 m，承擔(dān)均布荷載Q=80 kN/m，如圖3所示，易得分段1內(nèi)最大剪力V1=720 kN，最大彎矩M1=2 430 kN·m，分段2內(nèi)最大剪力V1=360 kN，最大彎矩M2=3 240 kN·m。按照1.1所述的等代分析方法，同樣考慮弦桿需承受板荷載產(chǎn)生的節(jié)間彎矩等影響因素，分段1范圍內(nèi)桁架弦桿T型截面取T300×250×16×24，腹桿截面取2L125×12，對(duì)應(yīng)的實(shí)腹鋼梁為H300×1 500×7.5×24；分段2范圍內(nèi)桁架弦桿T型截面取T300×250×14×30，腹桿截面取2L100×10，對(duì)應(yīng)的實(shí)腹鋼梁為H300×1 500×4.5×30。

2 有限元對(duì)照分析

2.1 桁架主梁及等效鋼梁極限狀態(tài)下的應(yīng)力分析

按照?qǐng)D2中的加載方式，在分析軟件中查看桁架主梁及其等效鋼梁在極限狀態(tài)下的整體應(yīng)力狀態(tài)、上下翼緣應(yīng)力狀態(tài)以及桁架梁的腹桿和等效實(shí)腹鋼梁的腹板應(yīng)力狀態(tài)，可以得出以下結(jié)論：1)從應(yīng)力分布狀態(tài)及應(yīng)力值來(lái)看，桁架梁上下弦桿翼緣與等效實(shí)腹鋼梁上下翼緣基本一致，兩端及中部全截面進(jìn)入屈服。2)桁架腹桿以及等效鋼梁全截面進(jìn)入屈服。3)桁架梁與等效鋼梁的受力失效過(guò)程如下：桁架梁上下弦桿翼緣(等效鋼梁上下翼緣)兩端部分進(jìn)入屈服→桁架梁腹桿翼緣在次彎矩作用下局部開(kāi)始進(jìn)入屈服→桁架梁上下弦桿翼緣(等效鋼梁上下翼緣)中間部分進(jìn)入屈服→桁架梁腹桿(等效鋼梁腹板)全截面進(jìn)入屈服→構(gòu)件失效。

2.2 桁架次梁及等效鋼梁極限狀態(tài)下的應(yīng)力分析

按照?qǐng)D3中的加載方式，在分析軟件中查看桁架次梁及其等效鋼梁在極限狀態(tài)下的整體應(yīng)力狀態(tài)、上下翼緣應(yīng)力狀態(tài)以及桁架梁的腹桿和等效實(shí)腹鋼梁的腹板應(yīng)力狀態(tài)，可以得出以下結(jié)論：1)從應(yīng)力分布狀態(tài)以及應(yīng)力值來(lái)看，桁架梁上下弦桿翼緣與等效鋼梁上下翼緣基本一致，端部及中部全截面進(jìn)入屈服。端部屈服位置為桁架梁腹桿開(kāi)始連接處以及等效鋼梁腹板厚度改變處。2)桁架腹桿以及等效鋼梁全截面進(jìn)入屈服。3)桁架梁與等效鋼梁的受力失效過(guò)程如下：桁架梁上下弦桿翼緣(等效鋼梁上下翼緣)中間部分進(jìn)入屈服→桁架梁腹桿翼緣在次彎矩作用下局部開(kāi)始進(jìn)入屈服→桁架梁上下弦桿翼緣(等效鋼梁上下翼緣)兩端部分進(jìn)入屈服→桁架梁腹桿(等效鋼梁腹板)全截面進(jìn)入屈服→構(gòu)件失效。

3 考慮桁架梁平面外變形下的極限承載力

在本節(jié)中，主要分析桁架梁在考慮平面外變形下的極限承載力。

3.1 桁架主梁分析

圖4為豎向荷載作用下桁架主梁的豎向位移曲線和平面外變形曲線，其中X軸表示構(gòu)件最大變形，Y軸數(shù)值為設(shè)計(jì)荷載的倍數(shù)；圖5為豎向荷載作用下鋼桁架主梁與等效鋼梁的全過(guò)程豎向變形曲線，其中X軸表示構(gòu)件豎向最大變形，Y軸數(shù)值為設(shè)計(jì)荷載的倍數(shù)。

從圖4中可以看出：1)桁架梁豎向位移曲線在1.4倍設(shè)計(jì)荷載時(shí)，位移曲線開(kāi)始由直線變?yōu)榍€，而平面外變形曲線要到2.0倍設(shè)計(jì)荷載之后開(kāi)始由直變曲，表明桁架主梁平面外失穩(wěn)晚于面內(nèi)桁架梁翼緣屈服。2)桁架梁面外變形較豎向位移小較多。3)桁架梁的極限承載力與圖5中承載力相當(dāng)，表明桁架梁構(gòu)件面外失穩(wěn)沒(méi)有明顯影響構(gòu)件承載力。4)桁架梁以構(gòu)件面外失穩(wěn)控制的承載力可取2.0倍設(shè)計(jì)荷載。5)桁架梁以構(gòu)件不顯著進(jìn)入屈服階段控制的承載力可取1.4倍設(shè)計(jì)荷載。

圖6給出了桁架梁在極限狀態(tài)下的平面外變形圖及局部應(yīng)力云圖。從圖6可以看出，桁架梁面外變形較大的構(gòu)件為腹桿。

3.2 桁架次梁分析

圖7為豎向荷載作用下桁架次梁的豎向位移曲線和平面外變形曲線，其中X軸表示構(gòu)件最大變形，Y軸數(shù)值為設(shè)計(jì)荷載的倍數(shù)；圖8為豎向荷載作用下鋼桁架次梁與等效鋼梁的全過(guò)程豎向變形曲線，其中X軸表示構(gòu)件豎向最大變形，Y軸數(shù)值為設(shè)計(jì)荷載的倍數(shù)。

從圖7中可以看出：1)桁架梁豎向位移曲線在1.6倍設(shè)計(jì)荷載時(shí)，位移曲線開(kāi)始由直線變?yōu)榍€，而平面外變形曲線在2.0倍設(shè)計(jì)荷載之后開(kāi)始由直變曲，表明桁架梁平面外失穩(wěn)與面內(nèi)桁架梁翼緣屈服基本同步。2)桁架梁面外變形與豎向位移量基本相當(dāng)。3)桁架梁的極限承載力與圖

8中承載力相差明顯，表明桁架梁構(gòu)件面外失穩(wěn)顯著減小了構(gòu)件承載力。圖8中桁架梁極限承載為4.2倍設(shè)計(jì)荷載，而考慮桁架梁平面外失穩(wěn)后的極限承載力不到3.1倍設(shè)計(jì)荷載，減小較多。4)桁架梁以構(gòu)件面外失穩(wěn)控制的承載力可取2.0倍設(shè)計(jì)荷載。5)桁架梁以構(gòu)件不顯著進(jìn)入屈服階段控制的承載力可取1.6倍設(shè)計(jì)荷載。

圖9給出了桁架梁在極限狀態(tài)下的平面外變形圖及局部應(yīng)力云圖。從圖9可以看出：1)桁架梁面外變形主要為桁架梁下翼緣，變形位置主要集中在兩端第一節(jié)腹桿內(nèi)的翼緣部分。2)桁架梁的腹桿面外變形不大。3)桁架梁兩端連接板面外變形顯著。

3.3 面外失穩(wěn)狀態(tài)分析

對(duì)于桁架主梁與次梁面外失穩(wěn)的狀態(tài)不一樣，這主要是由桁架主梁與次梁的兩端約束不一樣。對(duì)于桁架主梁，兩端與框架柱連接，兩端約束為固結(jié)，在豎向荷載作用下桁架下翼緣端部雖然受壓，但是由于面外彎曲約束較強(qiáng)較難出現(xiàn)面外變形，最終加載到一定階段受壓腹桿面外屈曲；對(duì)于桁架次梁，兩端與框架主梁連接，兩端約束一般認(rèn)為為鉸接，翼緣的面外轉(zhuǎn)動(dòng)基本沒(méi)有約束，因而在豎向荷載作用下桁架下翼緣首先發(fā)生面外變形。

4 結(jié)語(yǔ)

1)桁架主梁與次梁在豎向荷載作用下的平面外變形不同，桁架主梁為受壓腹桿面外屈曲，而桁架主梁為下翼緣首先發(fā)生面外變形。2)對(duì)于本工程設(shè)計(jì)的桁架梁，以構(gòu)件面外失穩(wěn)控制的承載力，桁架主梁及次梁可取2.0倍；以構(gòu)件不顯著進(jìn)入屈服階段控制的承載力，桁架主梁可取1.4倍，桁架次梁可取1.6倍。計(jì)算中采用的是鋼材的屈服強(qiáng)度345 N/mm2，而轉(zhuǎn)化為設(shè)計(jì)值時(shí)應(yīng)乘以0.8，因而若以構(gòu)件不顯著進(jìn)入屈服階段控制的承載力，桁架主梁可取1.12倍設(shè)計(jì)荷載，桁架次梁可取1.28倍設(shè)計(jì)荷載，富裕度不大。3)對(duì)于桁架主梁和次梁，桁架梁面外變形和豎向位移兩者間差異不同，同時(shí)桁架梁構(gòu)件面外失穩(wěn)對(duì)構(gòu)件承載力的影響對(duì)于主梁和次梁也顯著不同。