基于產(chǎn)品使用率的柔性基本質(zhì)保策略優(yōu)化設(shè)計(jì)

蘇 春， 趙家彬

(東南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 211189)

質(zhì)保是指制造商對所售產(chǎn)品在一定期限和條件下，因自身質(zhì)量引起的缺陷或故障現(xiàn)象，向顧客提供的維修、更換、退賠等承諾[1].對顧客來說，質(zhì)保可以避免在一定期限內(nèi)因產(chǎn)品故障或未達(dá)到預(yù)期性能而導(dǎo)致的損失.同時(shí)，質(zhì)保合同也明確了制造商應(yīng)承擔(dān)的有限責(zé)任，可以避免因顧客不合理的質(zhì)保索賠而造成不必要的利益損害.

基本質(zhì)保費(fèi)用通常包含在產(chǎn)品售價(jià)中.質(zhì)保條款設(shè)計(jì)與產(chǎn)品質(zhì)量、售價(jià)以及制造商的預(yù)期利潤等因素相關(guān)，科學(xué)的質(zhì)保策略應(yīng)有利于制造商和顧客的雙贏.Yeh等[2]對質(zhì)保期內(nèi)的產(chǎn)品采用預(yù)防性維修，提出涵蓋可靠性、生產(chǎn)能力、質(zhì)保期和價(jià)格的集成優(yōu)化模型.Park等[3]提出一種可修產(chǎn)品的質(zhì)保成本模型，同時(shí)實(shí)施可更新最小維修-替換質(zhì)保和役齡替換策略，擴(kuò)展了役齡替換策略.Xie等[4]考慮產(chǎn)品銷售過程的隨機(jī)性，構(gòu)建期望折扣質(zhì)保成本及其方差模型，計(jì)算給定周期內(nèi)累計(jì)的折扣質(zhì)保成本.上述研究均針對一維質(zhì)保展開，并以產(chǎn)品使用時(shí)間的單一維度來定義質(zhì)保.對于風(fēng)力機(jī)、工程機(jī)械等產(chǎn)品，質(zhì)保條款不僅要考慮使用時(shí)間，還應(yīng)考慮使用量等因素，此即二維質(zhì)?；蚨嗑S質(zhì)保.

制造商為顧客提供維修、更換等質(zhì)保服務(wù)會(huì)產(chǎn)生一定的服務(wù)成本.維修策略不同，維修和質(zhì)保成本會(huì)存在較大的差異.Shafiee等[5]將質(zhì)保決策中的維修模型分為僅考慮事后維修、同時(shí)考慮事后維修和預(yù)防性維修、質(zhì)保期結(jié)束后的維修3種類型.Wu等[6]將預(yù)防性維修模型分為線性、非線性、兼有線性和非線性3種類型.Huang等[7]以顧客使用率為基礎(chǔ)，通過優(yōu)化預(yù)防性維修周期來降低質(zhì)保成本.Su等[1]以役齡回退因子表征預(yù)防性維修強(qiáng)度，優(yōu)化預(yù)防性維修的周期和強(qiáng)度，分階段優(yōu)化質(zhì)保成本.Pan等[8]考慮改進(jìn)因子與預(yù)防性維修成本、系統(tǒng)使用年限和學(xué)習(xí)效應(yīng)之間的關(guān)系，以長期平均成本率最小為目標(biāo)優(yōu)化預(yù)防性維修策略.現(xiàn)有的質(zhì)保合同及其維修策略大多是剛性的，制造商為顧客提供相同的質(zhì)保合同條款，未考慮顧客個(gè)性化需求和產(chǎn)品使用情況的差異性.此外，故障建模很少考慮產(chǎn)品使用時(shí)間與使用量之間的相關(guān)性.

Moskowitz等[9]率先提出柔性二維質(zhì)保概念，制造商以相同的質(zhì)保成本為顧客提供差異化的質(zhì)保區(qū)間.Wang等[10]分別從制造商和顧客的角度，研究二維質(zhì)保政策下的最優(yōu)預(yù)防性維修策略.Shahanaghi等[11]采用回歸方法擬合質(zhì)保成本與質(zhì)保期之間的函數(shù)關(guān)系，獲得柔性質(zhì)保區(qū)間.Su等[12]以二手產(chǎn)品為研究對象，分析質(zhì)量升級等可靠性增長措施對二手產(chǎn)品質(zhì)保成本的影響，構(gòu)建柔性的質(zhì)量升級策略和二維質(zhì)保合同.目前，尚未見到面向二維基本質(zhì)保的柔性質(zhì)保策略和價(jià)格設(shè)計(jì)的研究工作.

本文研究二維柔性基本質(zhì)保策略的設(shè)計(jì)問題，采用Copula函數(shù)描述產(chǎn)品使用時(shí)間和使用量之間的相關(guān)性，建立故障和非等強(qiáng)度的預(yù)防性維修模型；以利潤最大化為目標(biāo)，分別建立產(chǎn)品銷量和利潤模型；考慮產(chǎn)品使用率分布，求解利潤優(yōu)化模型，優(yōu)化基本質(zhì)保期長度、維修策略和質(zhì)保成本，獲得產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)的基本質(zhì)保策略.在此基礎(chǔ)上，以保證不同使用率的顧客均能享受合理的質(zhì)保服務(wù)為目標(biāo)，在質(zhì)保成本相同的前提下設(shè)計(jì)柔性基本質(zhì)保策略，為不同使用率的顧客制定具有價(jià)格差異的柔性質(zhì)保策略.

1 模型構(gòu)建

1.1 質(zhì)保成本模型

以W(T，X)表示產(chǎn)品二維矩形基本質(zhì)保區(qū)間，T、X分別為產(chǎn)品基本質(zhì)保期使用時(shí)間和使用量的上限，T>0，X>0.當(dāng)使用時(shí)間或使用量中的任意一個(gè)指標(biāo)達(dá)到其上限時(shí)，基本質(zhì)保期結(jié)束.以r表示產(chǎn)品的實(shí)際使用率，設(shè)r0為使用率的參照基準(zhǔn)(r0=X/T)，則基本質(zhì)保期的結(jié)束時(shí)間可以表示為

(1)

在質(zhì)保期內(nèi)，產(chǎn)品若發(fā)生故障將會(huì)產(chǎn)生維修、更換、維修人員差旅以及人工等成本，則質(zhì)保成本為上述成本之和.考慮到差旅以及人工等費(fèi)用易于統(tǒng)計(jì)分析，本研究主要關(guān)注維修成本及更換成本.

機(jī)電產(chǎn)品的故障率可以用浴盆曲線來描述.經(jīng)過出廠前老化測試等過程后，在有效壽命期，產(chǎn)品的故障率趨于穩(wěn)定.在二維質(zhì)保故障建模中，產(chǎn)品使用時(shí)間、使用量等參數(shù)可以表示為時(shí)間的函數(shù).設(shè)F1(t)、F2(x)分別為T和X的累積分布函數(shù)，利用Copula函數(shù)可以構(gòu)造二維聯(lián)合分布函數(shù)，F(xiàn)(t,x)=Copula(F1(t),F2(x);θ)，其中θ為Copula函數(shù)的相關(guān)系數(shù).其概率密度函數(shù)f(t,x)和故障率函數(shù)h(t,x)分別為

在Copula函數(shù)族中，Clayton Copula函數(shù)可以描述正相關(guān)關(guān)系以及解釋尾部相關(guān)對可靠性的影響，適用于系統(tǒng)可靠性建模[13].將不同樣本在同一時(shí)刻的性能退化數(shù)據(jù)視為服從某一分布的隨機(jī)變量，建立故障模型.該方法關(guān)注產(chǎn)品的總體屬性，適用于退化趨勢不明顯的情況.設(shè)T、X分別服從尺度參數(shù)為α1和α2、形狀參數(shù)為β1和β2的兩參數(shù)Weibull分布，構(gòu)造Clayton Copula函數(shù)，則聯(lián)合概率分布函數(shù)為

F(t,x)=1-{exp[θ(t/α1)β1]+

exp[θ(x/α2)β2]-1}-1/θ

(4)

式中：α1>0，α2>0，β1>1，β2>1，θ∈(0,+∞).變量T和X之間的相關(guān)系數(shù)為τ=θ/(2+θ)，θ越大則相關(guān)度越高.

若直接對式(4)求二階偏導(dǎo)以獲得故障率的函數(shù)表達(dá)式，模型將變得十分復(fù)雜.采用邊緣法，將使用量轉(zhuǎn)化為產(chǎn)品年齡和使用率的函數(shù)，并假定同一顧客在質(zhì)保期內(nèi)的使用率保持不變[14].假設(shè)T(t)、X(t)分別表示在t時(shí)刻產(chǎn)品的累積使用時(shí)間和累積使用量.為簡化模型，假設(shè)相對于正常工作時(shí)間，產(chǎn)品故障后的維修時(shí)間可以忽略，則有T(t)=t，X(t)=rt.那么概率分布函數(shù)為

F(t|r)=1-{exp[θ(t/α1)β1]+

exp[θ(rt/α2)β2]-1}-1/θ

(5)

則其概率密度函數(shù)和故障率函數(shù)分別為

(6)

(7)

在質(zhì)保期內(nèi)，若產(chǎn)品發(fā)生故障均采用事后最小維修加以修復(fù).為了減小故障次數(shù)以及維修成本，對產(chǎn)品采取周期預(yù)防性維修.采用役齡回退因子δ(m)描述預(yù)防性維修效果，δ(m)=(1+m)e-m，0≤m≤M.其中:m為預(yù)防性維修強(qiáng)度；M為預(yù)防性維修強(qiáng)度的上限(閾值).當(dāng)m=0時(shí)，δ(m)=1，無役齡回退，相當(dāng)于取消此次預(yù)防性維修；當(dāng)m=M時(shí)，δ(m)=0，役齡回退到上一次預(yù)防性維修結(jié)束時(shí)的水平.m=M相當(dāng)于修舊如新，即更換部件或產(chǎn)品.當(dāng)剩余質(zhì)保期小于或等于預(yù)防性維修周期時(shí)，將不再執(zhí)行預(yù)防性維修.令質(zhì)保期內(nèi)預(yù)防性維修間隔為I，總的維修次數(shù)為n，則每次預(yù)防性維修后的產(chǎn)品實(shí)際役齡為

ν1=ν0+Iδ(m1)

ν2=ν1+Iδ(m2)

?

νi=νi-1+Iδ(mi)

?

νn=νn-1+Iδ(mn)

其中：ν0=0為初始役齡；I=min{K,L/r}，K、L分別為使用時(shí)間和使用量維度的預(yù)防性維修間隔；νn為第n次預(yù)防性維修后產(chǎn)品的實(shí)際役齡.每一次預(yù)防性維修的強(qiáng)度mi(i=1，2，…，n)均不相同，以增加維修策略的柔性.

對兩次預(yù)防性維修之間發(fā)生的故障開展最小維修，且維修時(shí)間忽略不計(jì)，則產(chǎn)品故障服從非齊次泊松過程(NHPP)，并且其條件故障強(qiáng)度等于首次故障時(shí)間的條件故障率(見式(7)).因此，需要單獨(dú)估計(jì)每兩次預(yù)防性維修之間的故障次數(shù)，基本質(zhì)保期內(nèi)預(yù)期故障次數(shù)為

(8)

(9)

1.2 銷量模型

文獻(xiàn)[15]采用對數(shù)線性函數(shù)構(gòu)造銷量隨產(chǎn)品價(jià)格和質(zhì)保期變動(dòng)的模型.上述模型存在如下缺陷：① 僅考慮產(chǎn)品價(jià)格和質(zhì)保期變動(dòng)的影響，未考慮市場波動(dòng)和隨機(jī)性，適用于壟斷性產(chǎn)品；② 僅考慮質(zhì)保期對銷量的影響，未考慮質(zhì)保期長度與產(chǎn)品質(zhì)量的相關(guān)性，忽略了使用過程中顧客滿意度對產(chǎn)品銷量的影響.

設(shè)市場同類競爭產(chǎn)品的平均價(jià)格為P0，基本質(zhì)保期為W0(T0，X0)，T0、X0分別為同類產(chǎn)品基本質(zhì)保期的平均使用時(shí)間和使用量；質(zhì)保期內(nèi)的故障次數(shù)和預(yù)防性維修次數(shù)分別為N0、n0，其對應(yīng)的市場銷量為D0.質(zhì)保期內(nèi)的故障次數(shù)反應(yīng)了產(chǎn)品質(zhì)量，頻繁地維修會(huì)導(dǎo)致顧客滿意度和對產(chǎn)品的信任度降低.以質(zhì)保期內(nèi)單位時(shí)間的維修次數(shù)來表征顧客滿意度.綜合考慮制造商產(chǎn)品價(jià)格、質(zhì)保期以及顧客滿意度對銷量的影響，獲得的產(chǎn)品銷量模型為

(10)

式中：P為產(chǎn)品價(jià)格；b1、b2和b3分別為價(jià)格、基本質(zhì)保期和顧客滿意度的彈性因子，且b1>1，0

1.3 利潤優(yōu)化模型

制造商的利潤取決于產(chǎn)品銷量、價(jià)格以及質(zhì)保成本等因素.現(xiàn)有的質(zhì)保研究常以質(zhì)保成本最小化來優(yōu)化維修策略，忽略了產(chǎn)品價(jià)格和基本質(zhì)保期的優(yōu)化.以制造商利潤最大化為目標(biāo)，關(guān)注二維柔性基本質(zhì)保期W(T，X)、質(zhì)保價(jià)格Pw設(shè)計(jì)以及質(zhì)保期內(nèi)維修策略的優(yōu)化.設(shè)產(chǎn)品生產(chǎn)成本為CM、不包含基本質(zhì)保時(shí)產(chǎn)品的價(jià)格為Pp，獲得制造商利潤R的優(yōu)化模型如下：

maxR=D(Pp+Pw-CM-Cw)

(11)

2 基本質(zhì)保策略設(shè)計(jì)

(12)

(13)

對于使用率為r的顧客，二維基本質(zhì)保區(qū)間為

(14)

(15)

按等間距在(rl,rh)范圍內(nèi)取得y個(gè)點(diǎn)r1,r2, …,rj, …,ry.求解式(12)，可以得到y(tǒng)+1個(gè)組合(Tj,Xj)，通過擬合可以獲得等價(jià)格基本質(zhì)保的柔性曲線.當(dāng)允許對產(chǎn)品實(shí)施差異化定價(jià)時(shí)，利用相同的求解方法，制造商可以根據(jù)顧客使用率的不同得到(T,X,P,K,L,mi)的柔性基本質(zhì)保菜單.

3 案例分析

設(shè)某車型平均參考售價(jià)P0為5萬元，其中不包含質(zhì)保成本的售價(jià)為4.6萬元，制造成本CM為4萬元.基本質(zhì)保參考值為W0=(3 a，6×104km).設(shè)定故障強(qiáng)度模型中α1、α2分別為4和3，β1、β2均為3，θ=0.7.銷量模型中，市場參考銷量為3萬輛，價(jià)格彈性因子b1=7，質(zhì)保期彈性因子b2=0.6，顧客滿意度彈性因子b3=0.3；維修強(qiáng)度m= 0, 1, …, 5，對應(yīng)的預(yù)防性維修成本分別為Cp= 0、20、60、140、300和620元；事后最小維修平均成本為Cf= 250元.設(shè)顧客使用率分布服從[0.5×104，3.5×104]km/a的平均分布，其中rl=0.5×104km/a，rh=3.5×104km/a，r0=2×104km/a.

3.1 基本質(zhì)保策略設(shè)計(jì)

本文重點(diǎn)研究基本質(zhì)保期及其價(jià)格設(shè)計(jì)對制造商利潤的影響，保持基本質(zhì)保期和質(zhì)保價(jià)格不變，在各預(yù)防性維修周期強(qiáng)度相同的條件下優(yōu)化維修策略.不同維修優(yōu)化策略的結(jié)果如表1所示.由表1可知，若不采取預(yù)防性維修，只采取事后最小維修，制造商的質(zhì)保成本最高，且利潤最低.顯然，若以質(zhì)保成本最小化為目標(biāo)來優(yōu)化維修策略，將無法實(shí)現(xiàn)制造商利潤的最大化.其原因?yàn)樵谠摬呗韵拢a(chǎn)品故障和維修次數(shù)較多，銷量和盈利水平下降.當(dāng)m=4、K=12 m時(shí)，不同使用率顧客的Cw=1 361.34 元，高于質(zhì)保成本最小化的 1 125.06 元，此時(shí)制造商可獲得最大利潤，即 30 125.00 萬元，高于 29 292.76 萬元.在后續(xù)基本質(zhì)保期和質(zhì)保價(jià)格設(shè)計(jì)時(shí)，將保持該維修策略不變.

表1 不同維修優(yōu)化策略的結(jié)果

考慮顧客的使用率分布，利用式(11)求解，獲得當(dāng)制造商利潤最大時(shí)，質(zhì)保成本、質(zhì)保定價(jià)隨基本質(zhì)保期的變化規(guī)律，如圖1所示.由圖1可知，產(chǎn)品制造成本及其定價(jià)均隨著基本質(zhì)保期的增加而增加，但價(jià)格增長速度要高于成本增長速度.因此，設(shè)定的質(zhì)保期越長，單位產(chǎn)品給制造商帶來的利潤更高.由于制造商提供的質(zhì)保服務(wù)通常為有限的時(shí)間段，還應(yīng)該考慮單位產(chǎn)品在單位時(shí)間內(nèi)的獲利能力.

圖1 不同基本質(zhì)保期下，質(zhì)保價(jià)格和質(zhì)保成本的演變規(guī)律

圖2 產(chǎn)品銷量、利潤與基本質(zhì)保期的關(guān)系

保持式(11)優(yōu)化結(jié)果中的質(zhì)保定價(jià)及成本不變，考慮顧客使用率的差異性，優(yōu)化基本質(zhì)保區(qū)間，結(jié)果如圖3所示.由圖3可知，顧客使用率越高，對應(yīng)質(zhì)保區(qū)間的使用量越高、使用時(shí)間越短、質(zhì)保期越短；而隨著產(chǎn)品使用率的降低，質(zhì)保期長度將增加.此外，在不同使用率區(qū)間，使用量也呈現(xiàn)出不同的變化規(guī)律.

圖3 相同定價(jià)下柔性基本質(zhì)保區(qū)間優(yōu)化結(jié)果

對不同使用率的顧客提供差別化的質(zhì)保和定價(jià)策略.以6個(gè)使用率區(qū)間為例進(jìn)行分析，結(jié)果如表2所示.考慮到實(shí)際需求，以月為單位、對基本質(zhì)保區(qū)間時(shí)間進(jìn)行離散化.隨著使用率的增加，基本質(zhì)保策略的質(zhì)保區(qū)間長度減小、質(zhì)保定價(jià)降低.制造商對不同使用率的顧客制定不同的基本質(zhì)保優(yōu)化策略.產(chǎn)品使用率越高的顧客群體，制造商獲得的利潤越低.在該策略下，制造商可獲得的期望利潤為4.07×104萬元，大于前兩種策略的收益.

表2 差別定價(jià)柔性基本質(zhì)保分析

3.2 參數(shù)靈敏度分析

模型參數(shù)對優(yōu)化結(jié)果有重要的影響.針對模型中基本質(zhì)保參考值、價(jià)格彈性因子、質(zhì)保期彈性因子和顧客滿意度彈性因子4個(gè)參數(shù)開展靈敏度分析.保持其他參數(shù)不變，改變某一參數(shù)的取值，獲得優(yōu)化結(jié)果的變化規(guī)律，分析參數(shù)不確定性對優(yōu)化結(jié)果的影響.

圖4 基本質(zhì)保期的靈敏度分析

保持其他參數(shù)和維修策略不變，只改變價(jià)格彈性因子b1，獲得的基本質(zhì)保策略如表3所示.價(jià)格彈性因子越大，表示價(jià)格對產(chǎn)品銷量的影響越大，不利于單位產(chǎn)品獲得更高的利潤.此時(shí)，制造商可以通過降低價(jià)格、增加銷量的方式，獲取更多的利潤.由表3可知，基本質(zhì)保期、成本以及質(zhì)保定價(jià)均隨價(jià)格彈性因子的增大而減小，單位產(chǎn)品利潤不斷減小，產(chǎn)品銷量呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢.此時(shí)，制造商總利潤的變化規(guī)律與銷量保持一致，但其最小值對應(yīng)的價(jià)格彈性因子更大.

表3 價(jià)格彈性因子的靈敏度分析

保持其他參數(shù)和條件不變，改變質(zhì)保期彈性因子b2的大小，獲得的基本質(zhì)保策略如表4所示.基本質(zhì)保期彈性因子越大，表示基本質(zhì)保期對產(chǎn)品銷量的促進(jìn)作用越大.由表4可知，該因子越大，基本質(zhì)保策略中的質(zhì)保期越長，成本和定價(jià)也會(huì)隨之增加.隨著該因子的增加，優(yōu)化后的基本質(zhì)保期、成本、定價(jià)以及單位產(chǎn)品利潤均呈增加趨勢.當(dāng)該因子小于0.2時(shí)，價(jià)格上漲對銷量的抑制作用大于質(zhì)保期延長對銷量的促進(jìn)作用；當(dāng)該因子大于0.2時(shí)，質(zhì)保期延長對銷量的促進(jìn)作用大于價(jià)格上漲對銷量的抑制作用.產(chǎn)品銷量隨基本質(zhì)保期的增加，呈現(xiàn)先減小后增加的趨勢.當(dāng)基本質(zhì)保期彈性因子為0.2時(shí)，利潤與銷量同時(shí)達(dá)到最小值，分別為3.29×104萬元和4.79萬輛.

表4 基本質(zhì)保期彈性因子靈敏度分析

保持其他條件不變，只改變顧客滿意度彈性因子b3，基本質(zhì)保策略如表5所示.顧客滿意度彈性因子越大，表示制造商需要通過調(diào)整維修策略盡可能降低質(zhì)保期內(nèi)的維修次數(shù).由表5可知，b3越大，優(yōu)化后的質(zhì)保期越短，質(zhì)保成本及其定價(jià)也隨之減小.與其他兩個(gè)彈性因子不同的是，產(chǎn)品銷量與總利潤呈現(xiàn)出增加的趨勢.因此，當(dāng)顧客滿意度彈性因子較大時(shí)，制造商應(yīng)適當(dāng)縮減質(zhì)保期，以免因質(zhì)保期內(nèi)維修次數(shù)過多對企業(yè)形象造成負(fù)面影響.

表5 顧客滿意度彈性因子靈敏度分析

4 結(jié)語

考慮使用時(shí)間和使用量等二維變量的相關(guān)性，建立了質(zhì)保成本優(yōu)化模型，構(gòu)建涵蓋質(zhì)保期、價(jià)格以及顧客滿意度的銷量模型；以制造商利潤最大化為目標(biāo)，優(yōu)化基本質(zhì)保策略.基于顧客使用率，提供3種定制化的基本質(zhì)保策略，包括基本質(zhì)保區(qū)間、維修策略和質(zhì)保價(jià)格.研究結(jié)果表明：能實(shí)現(xiàn)質(zhì)保成本最小的維修策略并不一定能夠保證制造商利潤的最大化；根據(jù)顧客使用率的差異，提供高柔性的定制化基本質(zhì)保策略，可以在提高顧客滿意度的同時(shí)，增加制造商利潤，實(shí)現(xiàn)制造商與顧客的雙贏.

在客戶定制質(zhì)保模型中，仍有一些問題值得進(jìn)一步探索：① 綜合考慮產(chǎn)品使用率和顧客風(fēng)險(xiǎn)偏好，提供多種基本質(zhì)保策略供選擇；② 維修策略中可考慮不定周期、不定強(qiáng)度的預(yù)防性維修，以提升質(zhì)保策略柔性；③ 制造商對定制化產(chǎn)品提供柔性基本質(zhì)保，根據(jù)顧客選擇，柔性地設(shè)計(jì)質(zhì)保服務(wù)合同.