分類列舉 不重不漏

問題1：有1 克、3 克、5 克、9 克的砝碼各一個，選取其中的一個或幾個放在天平的一端，能稱出多少種不同質(zhì)量的物體呢？

思路點(diǎn)睛：解答本題需要用一一列舉的方法，也就是把所有符合條件的答案都列舉出來。根據(jù)“砝碼的種類”以及“選取其中的一個或幾個”，我們需要有序思考：

只選一個砝碼，有：1克、3克、5克、9克，4種情況。

選2個砝碼，需要組合，有：1+3=4（克），1+5=6（克），1+9=10（克），3+5=8（克），3+9=12（克），5+9=14（克），6種情況。

選3個砝碼，有：1+3+5=9（克），1+3+9=13（克），1+5+9=15（克），3+5+9=17（克），4種情況。

選4個砝碼，只有1種組合：1+3+5+9=18（克）。

總計(jì)是4+6+4+1=15（種），其中單獨(dú)用9克的砝碼和用1+3+5=9的組合，都能稱出9克的物體，重復(fù)計(jì)算了一次。所以正確的答案應(yīng)該是15-1=14（種）不同的情況。

通過本題的計(jì)算，我們有這樣的體會：當(dāng)題目的答案比較繁雜時(shí)，可以通過分類列舉法來幫助我們思考。分類一定要包括所有可能的情況，這樣才能不遺漏；而且所分類別之間不能重疊，這樣才能做到結(jié)果不重復(fù)。最后所求結(jié)果如果有重復(fù)的，一定要扣除。

問題2：有2張伍元、3張貳元、7張壹元人民幣。要拿出12元，可以有多少種拿法？

思路點(diǎn)睛：有序思考，比如從2張伍元想起。

1.拿2張伍元，有以下情況：

（1）2張伍元，1張貳元；（2）2張伍元，2張壹元。

2.拿1張伍元，有以下情況：

（1）1 張伍元，3 張貳元，1 張壹元；（2）1 張伍元，2 張貳元，3 張壹元；（3）1張伍元，1張貳元，5張壹元；（4）1張伍元，7張壹元。

3.拿0張伍元，3張貳元，只有一種情況：3張貳元，6張壹元。

如果拿2張貳元，是4元，它和剩下的7張壹元相加不夠12元，所以不行。

至此，一共有2+4+1=7（種）不同的拿法。