變換域函數(shù)空間下周期非均勻積分與重構(gòu)方法

王衛(wèi)江，蔡雪瀅，王佳童

(北京理工大學 信息與電子學院，北京 100081)

信號的采樣和重構(gòu)是信號處理和通信領(lǐng)域中最為重要的基礎(chǔ)理論. 采樣如同一座橋梁，將連續(xù)的模擬信號與離散的數(shù)字信號聯(lián)系在一起. 在諸多采樣模型中，周期非均勻采樣信號模型廣泛應(yīng)用于各領(lǐng)域[1-2]. 周期非均勻采樣信號在傅里葉變換域的重構(gòu)方法對于非平穩(wěn)信號處理效果不佳，因為非平穩(wěn)信號在傅里葉變換域表現(xiàn)出非帶限、能量非聚焦的特性，但在特定參數(shù)下的線性正則變換域[3]可以呈現(xiàn)帶限、能量聚焦的特性，因此作為傅里葉變換廣義形式的線性正則變換及其變換域的時頻分析工具近年來吸引了廣泛的關(guān)注，線性正則變換域的周期非均勻采樣理論也被深入研究[4-11]. 2008年，Tao等[7]提出如果信號f(t)在參數(shù)M=(A,B,C,D)下為線性正則變換域內(nèi)帶寬為ΩM的帶限信號，那么它可以由無限個周期非均勻采樣點τkn=tk+nLT,k=1,2,…,L,n=…,-1,0,1,…,T=πB/ΩM準確重構(gòu). 重構(gòu)公式如式(1)所示

(1)

其中

(2)

當M=(cosθ,sinθ,-sinθ,cosθ)時，上述采樣定理退化為Wei等[8]提出的推論1. 當L=2,ΩM=π,t0=0.7,t1=0.9時，合成函數(shù)的時域波形如圖1所示.

在實際應(yīng)用中，只能獲得有限個數(shù)的采樣點[7]，而從圖1中可以看出，該合成函數(shù)是緩慢衰減的，因此式(1)并不適用于信號的準確重構(gòu). 針對這個問題，Tao等[7]利用有限個周期非均勻采樣點提出了一個重構(gòu)公式，但是該公式只適用于在線性正則變換域下帶限的chirp周期延拓信號. 最近，Wang等[10]利用線性正則變換域的多通道濾波器組理論提出了一種基于線性正則變換域函數(shù)空間的周期非均勻采樣算法，其重構(gòu)函數(shù)在采樣通道數(shù)不少于線性正則尺度函數(shù)支撐區(qū)間長度的條件下可具備緊支撐的特性. 換言之，構(gòu)造緊支撐重構(gòu)函數(shù)所需的采樣通道數(shù)會隨著尺度函數(shù)支撐區(qū)間的長度線性增加，這將使得該算法在某些應(yīng)用場合耗費過多的硬件資源.

本文將周期非均勻采樣模型拓展到了周期非均勻積分模型，在此模型下提出了相應(yīng)的重構(gòu)算法. 通過引入分段積分窗函數(shù)增加了自由度，利用這個自由度可以保證該算法構(gòu)造的重構(gòu)函數(shù)具有緊支撐特性，并且積分通道數(shù)不受線性正則尺度基函數(shù)支撐區(qū)間的任何約束. 仿真結(jié)果表明該算法與其他算法相比可以降低插值誤差，減少資源開銷，提高重構(gòu)性能.

1 線性正則變換基礎(chǔ)理論

1.1 離散時間線性正則變換

x[n]為模擬連續(xù)信號x(t)以Δt為采樣間隔得到的離散采樣序列，即x[n]=x(nΔt). 該采樣序列x[n]在參數(shù)M=(A,B,C,D)下的DTLCT表示如下[12]

(3)

式中ω表示線性正則變換域的數(shù)字頻率，與連續(xù)線性正則變換中的線性正則變換域頻率μ的關(guān)系為

ω=μΔt.

(4)

相應(yīng)的離散時間線性正則逆變換定義為

(5)

兩個離散序列x[n]和h[n]的線性正則卷積操作可分解為兩個時域信號先進行解調(diào)再進行傳統(tǒng)卷積最后進行調(diào)頻，即

(6)

(7)

為了簡化問題，本文統(tǒng)一將采樣間隔Δt設(shè)為1.

1.2 線性正則域的內(nèi)插與抽取分析

L倍的內(nèi)插是在已知抽樣序列x[n]的相鄰抽樣點之間等距地內(nèi)插(L-1)個零點，L稱為內(nèi)插因子，輸出序列y1[n]與輸入序列x[n]的關(guān)系為

(8)

序列y1[n]的采樣間隔為

Δty1=Δtx/L.

(9)

y1[n]的DTLCT[13]可以表示為

(10)

N倍的抽取是在已知抽樣序列x[n]中每隔(N-1)個點取一個點，N稱為抽取因子，輸出序列y2[n]與輸入序列x[n]的關(guān)系為

y2[n]=x[Nn].

(11)

序列y2[n]的采樣間隔為

Δty2=NΔtx.

(12)

y2[n]的DTLCT[13]表示為

2 周期非均勻積分與重構(gòu)方法

2.1 周期非均勻積分模型

將區(qū)間[0,L]分割為L個任意的子區(qū)間Im，m=0,1,…,L-1，L≥2. 定義周期非均勻積分為

(14)

該周期非均勻積分模型如圖2所示，其中

注意到，由式(14)定義的周期非均勻積分可以重寫為

2.2 線性正則函數(shù)空間的周期非均勻積分定理

(16)

成立. 根據(jù)周期非均勻積分模型，提出如下信號重構(gòu)定理.

證明首先，令函數(shù)φ(t)在區(qū)間[0,N]上是緊支撐的，將區(qū)間Im分割為任意的N個子區(qū)間I′ml，此時重新定義ωm(t)為分段函數(shù)

(17)

已知對于任意的信號f(t)∈VM存在一組權(quán)值系數(shù){ck}k∈∈l2()使得式(16)成立，于是將式(16)帶入式(14)中，可以得到

(18)

(19)

將式(19)帶入式(18)中，得到

(20)

然后，交換積分號和求和號的位置可得

(21)

將n′=kL-n代入式(21)中有

(22)

(23)

因此，將式(24)代入式(22)中，可以得到

(25)

根據(jù)式(5)(7)中的線性正則變換域卷積的定義，式(25)在時域可以表示為

(26)

根據(jù)式(17)，濾波器系數(shù)可被重寫為

(27)

式中

(28)

最后，給出合成函數(shù)和重構(gòu)公式的表達式. 根據(jù)多通道濾波器組的準確重構(gòu)性質(zhì)，可得

(29)

那么，對于任意的f(t)∈VM，將式(29)代入式(16)中可得

(30)

(31)

所以，所有的合成函數(shù)均可由L個基本函數(shù)進行位移而得到.

定理得證.

3 仿真結(jié)果

本節(jié)將通過仿真實驗來證明提出的基于線性正則變換域函數(shù)空間的周期非均勻積分與重構(gòu)方法的有效性和優(yōu)越性. 換言之，想要驗證當積分通道數(shù)小于函數(shù)φ(t)支撐長度時，該算法提出的合成函數(shù)仍然是緊支撐的，可以完成信號的準確重構(gòu)且性能優(yōu)越. 選擇三階B-樣條函數(shù)作為尺度函數(shù)，即

(32)

因為φ(t)的支撐區(qū)間為[0,3]，采用Wang等[10]提出的周期非均勻采樣方法，采樣通道數(shù)L不能小于3才能夠保證重構(gòu)函數(shù)是緊支撐的. 然而，在周期非均勻積分模型下，積分通道數(shù)L<3仍然可以構(gòu)造緊支撐的重構(gòu)函數(shù). 因此選擇L=2，I0=[0,1]，I′00=[0,0.4]，I′01=[0.4,0.7]以及I′02=[0.7,1.0](如圖5所示)，I1=[1.3,2.0]，I′10=[1.3,1.5]，I′11=[1.5,1.8]以及I′12=[1.8,2.0].

可以驗證

(33)

是非奇異的，其逆矩陣為

(34)

同理可以得到

(35)

及其逆矩陣

(36)

假設(shè)希望通過選擇合適的窗函數(shù)使得

(37)

及

(38)

為線性正則變換域共軛正交鏡像濾波器(conjugate quadrature mirror filter bank, CQMFB)的分析濾波器組，系數(shù)αml可以由如下計算

(39)

及

(40)

得到. 于是窗函數(shù)可以表示為

(41)

以及

(42)

綜合濾波器表示為

(43)

以及

(44)

重構(gòu)函數(shù)表示為S0k(t-2k)和S1k(t-2k)，其中

S0(t)=0.36φ(t)+0.72φ(t+1)+0.36φ(t+2)，

(45)

以及

S1(t)=-0.36φ(t)+0.72φ(t+1)-0.36φ(t+2).

(46)

時域波形如圖6所示.

從圖中可以看出該重構(gòu)函數(shù)是緊支撐的.

現(xiàn)在考慮一雷達回波信號模型，

(47)

在驗證所提出算法的過程中，選取調(diào)頻率k=1，ρ0=0.5，ρ1=0.7，ρ2=0.9，τ0=1.2，τ1=2.2，τ2=5.2，f0=0.05. 容易看出，此信號帶限于參數(shù)M=(1,1,0.5,1.5)下的線性正則變換域. 根據(jù)線性正則變換域的均勻采樣定理，均勻采樣的間隔T應(yīng)小于等于πB/(2πf0)，這里選擇T=1 s.

表1 本文算法與其他算法的重構(gòu)性能對比

仿真結(jié)果表明，本文提出的周期非均勻積分算法在重構(gòu)性能上優(yōu)于其他傳統(tǒng)算法[7-8]. 因為本文構(gòu)造的重構(gòu)函數(shù)S0(t)和S1(t)具備緊支撐的特性，而算法[7-8]重構(gòu)函數(shù)不具備此性質(zhì)，所以在有限個采樣點數(shù)的情況下，具有緊支撐重構(gòu)函數(shù)的算法比具有高旁瓣和緩慢衰減速率的重構(gòu)函數(shù)算法重構(gòu)誤差要低. 盡管與Wang等[10]提出的算法(L=3)相比性能有稍許降低，但是本文提出的算法(L=2)在構(gòu)造緊支撐的重構(gòu)函數(shù)時，積分通道數(shù)可以不受尺度函數(shù)φ(t)支撐區(qū)間的約束. 這就意味著在選取相同的線性正則尺度函數(shù)的前提下，本文算法將使用更少的通道數(shù)，從而節(jié)約更多的硬件資源.

4 結(jié) 論

本文提出了基于線性正則變換域函數(shù)空間的周期性非均勻積分與重構(gòu)算法. 通過引入高自由度的分段積分窗函數(shù)，該算法不僅可以構(gòu)造具有緊支撐特性的重構(gòu)函數(shù)，而且積分通道數(shù)不受尺度函數(shù)支撐區(qū)間長度的約束. 仿真結(jié)果證明該算法的重構(gòu)性能優(yōu)于其他傳統(tǒng)算法[7-8]，并且能夠節(jié)約更多的硬件資源. 本文提出的算法可應(yīng)用于圖像超分辨率重構(gòu)[8]、多通道合成孔徑雷達成像[14-15]等領(lǐng)域.