“割和補”在立體幾何中的應用

張文平

【摘要】幾何是高中數(shù)學中非常重要的一部分內(nèi)容，在初中時期，學生就開始接觸到幾何知識，但只是平面幾何的學習。高中教育階段的數(shù)學幾何知識，已發(fā)展成為立體幾何，與初中階段的平面幾何相比，難度也大大提高，因此，高中數(shù)學教師必須要對立體幾何的教學進行深入的研究，使學生能夠切實掌握立體幾何的知識?；诖?，本文就對高中數(shù)學立體幾何的教學進行了簡單的探析。

【關鍵詞】“割和補” ?立體幾何 ?應用

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）43-0050-02

立體幾何是高中數(shù)學的難點之一，也是歷年高考的重點和必考內(nèi)容。在高中立體幾何的學習中，學生最大的困難在于缺乏空間想象能力，不能對空間形式進行觀察、識別、抽象思考。表現(xiàn)在不能準確地識別和分析出點線面之間的關系以及圖形的正確形狀。如何巧妙地將復雜圖形進行分割和補充為比較簡單的圖形或特殊的圖形，就可以把復雜問題轉(zhuǎn)化為較簡單化，從而可以簡化解題的思想方法，大大簡化解題的運算及論證過程，拓展學生的思維，培養(yǎng)和提高學生的空間想象能力。本文通過例子說明“割補法”在立體幾何中的重要應用。

所謂“割補法”，即補體法和分割法的合稱，是實現(xiàn)幾何體之間相互轉(zhuǎn)化的一條有效途徑。補法就是把幾何體通過補充或延伸成一個簡單的或者我們熟悉的幾何體，使我們解決的問題通過幾何體之間相互轉(zhuǎn)化變得更加簡單明了的一種方法。割法就是把復雜的或不熟悉的幾何體，分割成簡單的或熟悉的幾何體，使解決的問題變得簡單的一種方法。近日在高三的模擬考試中有一道題引起了我對“割和補”在立體幾何中的應用的反思。

在平面上，正三角形的內(nèi)切圓與外接圓的半徑之比為1：2;類似的，在空間，正四面體的內(nèi)切球與外接球半徑之比為多少？

題目中的正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比是多少？從而聯(lián)想到如何求正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑。

對于求正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑的方法很多。問題的關鍵是正四面體的內(nèi)切球切在什么地方？圖中怎么畫？特別是怎么才能準確地識別出球心？外接球和內(nèi)切球的半徑和正四面體的面上的高和正四面體的高之間是什么關系，即使知道了相切在正四面體的四個面的中點，但是在畫圖時也不一定能準確地畫出這個圖，并且在證明和計算時也非常復雜。有沒有一種簡單的方法呢？“割補法”就是一種最有效、最好的方法，它不僅思想方法簡單，學生最容易理解，而且大大減少了計算量。下面給出證明方法來說明“割補法”的應用。

從上面兩個例子可以看出，只要題型合適再進行適當?shù)母钛a就是可以大大簡化解題思路和計算量。宜補則補，宜割則割，但是也不能生搬硬套，否則有可能弄巧成拙，反而會增加解題的難度。怎么才能看出哪些題宜補，哪些題宜割呢？勤能補拙，熟能生巧，只有通過大量的練習和不斷的總結，才能發(fā)現(xiàn)“割補法”運用規(guī)律，才能靈活運用“割補法”解決幾何問題。

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