多角度破解和思考圓錐曲線中的過定點問題

1 問題的提出

2020年舊課標全國Ⅰ卷理科的第20題第二問主要考查圓錐曲線中動直線恒過定點問題.這是解析幾何中的難點問題，也是這些年來高考題中常考不衰的熱點問題.事實上早在2010年的江蘇高考第18題就是此同類型題目.此類題目的典型特征是條件清晰易懂，但大部分學生難以將條件一步步轉化為“過定點”這個目標，同時計算繁瑣，往往半途而廢.那么，此類型題目究竟有何破解策略？有無減少計算量的技巧？解題教學中如何引導學生選擇合適的方法？

筆者對此類圓錐曲線中的過定點問題進行了初步探討，現將研究過程和感悟整理成文，借此拋磚引玉.

為了研究的方便，筆者將上述高考題改編和簡化為問題1：在平面直角坐標系xOy中，如上圖，已知橢圓x24+y23=1的左、右頂點為A，B，右焦點為F.點P在直線x=4上，過點P的直線PA，PB與橢圓分別交于M，N兩點.

求證：直線MN必過一定點.

2 問題的破解策略

從結論看要證明的是動直線恒過一定點，這類問題一般有兩種解決思路：第一種思路是先找到一個定點Q，再證明M，N，Q三點共線恒成立;第二種思路是用適當的參數表達出動直線MN的方程，再從這個直線方程證明恒過定點.進一步看，使用第一種思路需要表達出M，N兩點的坐標，并用盡可能少的參數表示，而使用第二種思路除了可以選擇表達出M，N兩點的坐標后進一步表示出直線的方程，也可以設直線方程為x=my+n后利用已知條件尋找到m，n的關系進而確定是否恒過定點.根據上面兩種思路，結合如何設點或設線，可以有以下幾種策略：

點評 聯立曲線方程后直接用求根公式表示出來是比較少見的做法，一般都盡量做到“設而不求”，即用韋達定理表示兩根之和與兩根之積，原因在于一般題目的限制條件往往可以通過化簡轉化為用兩根之和與兩根之積來表達.然而本題中的限制條件①比較特殊，因此可以考慮直接用求根公式這個更為原始和直接的表達方法，當然由此也可能使計算更加復雜.值得一提的是從理論上這個解法肯定是行得通的，選擇了這種方法要有信心和耐心去處理較為繁雜的式子，事實上①式全部化為用M，N表示后許多式子可以化簡消去，計算量并不比證法4大太多.

3 對恒過定點問題的反思

3.1 解法上的反思

策略一所用的“設點而求之”是最為常規(guī)也是最容易讓學生理解和接受的方法，其解法特點是順著題意由此及彼，步步為營，不過計算需要多點耐心;策略二所用的“設點而不求”需要較為巧妙的變形技巧，并且對數學式子要有一定的敏銳性，比較適合基礎較好、思維敏捷的學生掌握;策略三所用的“設線而不求”也是常規(guī)方法，此法要兵分兩路，一路設直線方程后聯立曲線方程利用韋達定理找到根（交點的坐標）與系數（直線的參數）的關系，另一路則將題目中的限制條件用交點坐標等相關量表達出來（此題限制條件較為復雜，宜使用證法5轉化），然后兩路兵馬會師，得到直線參數間的關系進而確定動直線的定點，此法需要學生經過一定程度的反復訓練和理解，形成套路;策略四所用的“設線而求之”是“設線而不求”這個策略的補充，當限制條件難以轉化為只用“兩根之和”與“兩根之積”表示時，可以考慮這種方法.

3.2 運算上的反思

點評 解法2咋一眼看起來計算很繁雜，事實上很多式子可以快速化簡，因此計算量并不大，對于無法想到解法1中那關鍵一步處理技巧的學生來說，解法2不失為一個原始但有效的方法.

5 結束語

圓錐曲線中的過定點問題的解決策略往往不止一種，雖然不同策略最終結果是殊途同歸，但每種策略都有它的適用特點和應用技巧，在教學中應引導學生仔細對比和分析不同解法的關鍵步驟，感悟其中的巧妙之處，并學會根據不同的限制條件使用最擅長的策略.當然，對于接受能力一般的學生來說，教學中宜盡量以常規(guī)方法的引導為主，不適合強加太多解法，避免解題思維混亂，增加學習負擔.

作者簡介 鄧城（1983—），男，廣東大埔人，教育碩士，一級教師，主要從事高中數學教學和研究工作.在數學類期刊上發(fā)表20多篇論文，曾獲廣東省數學競賽優(yōu)秀指導教師和區(qū)教學能手稱號.