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    在推理中深度理解數(shù)學(xué)模型
    ——“植樹(shù)問(wèn)題”教學(xué)紀(jì)實(shí)與反思

    2020-12-13 13:22:08山東省臨沂市蘭山區(qū)教研室臧曉梅
    黑龍江教育(教育與教學(xué)) 2020年12期
    關(guān)鍵詞:植樹(shù)問(wèn)題植樹(shù)數(shù)學(xué)模型

    山東省臨沂市蘭山區(qū)教研室 臧曉梅

    教學(xué)內(nèi)容:人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第七單元“數(shù)學(xué)廣角——植樹(shù)問(wèn)題”。

    課前思考:教材通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中植樹(shù)問(wèn)題的研究,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)棵數(shù)和間隔數(shù)的規(guī)律,進(jìn)而抽象出這類(lèi)植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。在平時(shí)的教學(xué)中,我們常常看到,在對(duì)三種植樹(shù)情況(兩端都栽、只栽一端、兩端不栽)進(jìn)行分析,建立起棵數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系后教學(xué)就止步了。上課教師之所以這樣處理,有一定的原因:從知識(shí)難易上看,植樹(shù)問(wèn)題的難度比較大,在編入教材之前屬于經(jīng)典的奧數(shù)知識(shí),在一節(jié)課上能學(xué)完三種類(lèi)型已經(jīng)是大容量教學(xué)了;從承載的思想方法上看,化歸、數(shù)形結(jié)合、一一對(duì)應(yīng)、模型、推理等都是要體現(xiàn)的思想,不易做好有機(jī)整合?;谏鲜隹紤],筆者重新進(jìn)行了設(shè)計(jì),力求體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)模型的有效建構(gòu),在具體的教學(xué)實(shí)踐中也取得了很好的教學(xué)效果。

    教學(xué)過(guò)程:

    一、情境導(dǎo)入,初步感知三種類(lèi)型

    1.聯(lián)系實(shí)際,理解間隔

    師:(讓前后兩位學(xué)生起立)大家看,這兩位同學(xué)之間產(chǎn)生了一個(gè)……

    生:間隔、空。

    師:我們一般說(shuō)成一個(gè)間隔。

    (師依次讓學(xué)生說(shuō)出這樣站立的4 人、100 人分別有幾個(gè)間隔。)

    師:如果產(chǎn)生了這樣的101 個(gè)間隔,你知道有多少名學(xué)生嗎?

    生:有102 名學(xué)生。

    2.引出課題,感知三種植樹(shù)方式的存在

    師:這節(jié)課,我們要研究和間隔有關(guān)的問(wèn)題,數(shù)學(xué)上稱(chēng)為植樹(shù)問(wèn)題。(師板書(shū),出示下圖。)

    師:植樹(shù)節(jié)到了,少先隊(duì)員在公園內(nèi)通往涼亭的小路一側(cè)義務(wù)植樹(shù),小路全長(zhǎng)45 米,每隔5 米栽一棵,由五年級(jí)三個(gè)班完成,按班級(jí)順序每班各栽15 米,請(qǐng)你算一算每班各栽了多少棵?

    【意圖】借助“三個(gè)班級(jí)各栽了多少棵”這個(gè)大問(wèn)題引出了在直線上植樹(shù)的三種類(lèi)型,讓學(xué)生初步感知到解決植樹(shù)問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)意義。和單一地呈現(xiàn)一種植樹(shù)類(lèi)型相比,這樣更便于學(xué)生在后續(xù)的探究中進(jìn)行分析、比較,讓學(xué)生能從整體上理解把握。

    二、主動(dòng)探究,感悟模型

    1.學(xué)生嘗試解決

    師:三個(gè)班各栽了多少棵呢?大家可以想一想、畫(huà)一畫(huà)。

    (學(xué)生在線段圖上用畫(huà)點(diǎn)或畫(huà)小樹(shù)的方式表示出要栽的棵數(shù),師選擇有代表性的作品投影。)

    師:你能看懂這些方法嗎?

    (學(xué)生對(duì)15 米處、30 米處栽的樹(shù)歸哪個(gè)班產(chǎn)生了爭(zhēng)執(zhí),對(duì)45 米處栽不栽有疑問(wèn),師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題意和圖去理解,統(tǒng)一認(rèn)識(shí)。)

    2.命名三種植樹(shù)類(lèi)型

    師:為了便于我們進(jìn)一步研究,老師把三個(gè)班級(jí)的植樹(shù)情況單獨(dú)列了出來(lái),請(qǐng)看屏幕。

    師:請(qǐng)你觀察,這三幅圖有什么不同?

    生:栽的棵樹(shù)不同。

    生:栽的方法不同。

    師:那你能給它們起個(gè)名字嗎?

    (根據(jù)學(xué)生發(fā)言,師總結(jié)出兩端都栽、只栽一端、兩端不栽,并在圖上顯示出來(lái)。)

    3.猜測(cè)棵數(shù)和間隔數(shù)關(guān)系

    師:觀察這三種植樹(shù)方式,相同點(diǎn)在哪里?

    生:間隔數(shù)都是3,每班都栽了15 米。

    師:(指著圖)3 個(gè)間隔 4 棵樹(shù),3 個(gè)間隔 3 棵樹(shù),3 個(gè)間隔2 棵樹(shù),看來(lái),棵數(shù)和什么有關(guān)?

    生:和間隔數(shù)有關(guān)。

    師:在不同的植樹(shù)類(lèi)型下,棵數(shù)和間隔數(shù)又會(huì)有怎樣的關(guān)系呢?我們進(jìn)一步來(lái)研究。

    【意圖】學(xué)生對(duì) 15 米、30 米、45 米處的“爭(zhēng)執(zhí)”,是學(xué)生在初步感知后對(duì)三種植樹(shù)類(lèi)型的進(jìn)一步理解。在學(xué)生統(tǒng)一認(rèn)識(shí)后,教師又把三種類(lèi)型分開(kāi)呈現(xiàn),讓學(xué)生結(jié)合自己的理解給予命名,并引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考:為什么同樣的15米,三個(gè)班栽的棵數(shù)卻不一樣呢?不同植樹(shù)方式下棵數(shù)和間隔數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢?核心問(wèn)題就此啟動(dòng)了起來(lái),學(xué)生的探究由表面轉(zhuǎn)向深入。

    三、對(duì)比分析,建立模型

    1.任選一種小組內(nèi)研究

    師:小組內(nèi)任選一種類(lèi)型解決,看看棵數(shù)和間隔數(shù)到底有怎樣的關(guān)系。(出示合作要求:(1)任選一種類(lèi)型,解決后也可以想想其他類(lèi)型如何解決。(2)畫(huà)出線段圖并列出算式。)

    2.匯報(bào)交流,深化理解

    師:老師先調(diào)查一下,你選擇了哪種植樹(shù)情況來(lái)解決的?(研究?jī)啥硕荚缘挠? 個(gè)小組,只栽一端的有9 個(gè)小組,兩端不栽的有1 個(gè)小組。)

    師:那就先請(qǐng)研究只栽一端的這個(gè)小組前來(lái)匯報(bào)。

    生1:大家好,我們小組研究的是只栽一端的情況。先用15 米除以5 米得到3 個(gè)間隔,要栽3 棵,發(fā)現(xiàn)了間隔數(shù)等于棵數(shù)的關(guān)系,同學(xué)們有什么疑問(wèn)嗎?

    生2:15 米除以5 米得到的是3 個(gè)間隔,怎么是3 棵樹(shù)呢?

    師:(匯報(bào)學(xué)生剛要解釋?zhuān)瑤熓疽庀鹊鹊龋┻@個(gè)問(wèn)題問(wèn)得好啊,明明是3 個(gè)間隔嗎?怎么成了3 棵樹(shù)呢?(全班學(xué)生思考后指名學(xué)生發(fā)言。)

    師:(對(duì)著生1)他們的回答說(shuō)出了你的意思了嗎?還是你來(lái)說(shuō)說(shuō)吧!

    生1:這里雖然是3 個(gè)間隔,從圖上看也是3 棵數(shù)。(還有部分學(xué)生不明就理。)

    師:給你個(gè)建議,如果你能在圖上畫(huà)一畫(huà)、指一指大家就更明白了。

    (生1 畫(huà)出箭頭,并說(shuō)明了間隔數(shù)和棵數(shù)存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。)

    師:大家明白了嗎?根據(jù)一一對(duì)應(yīng),這里的單位“個(gè)”可以改成什么了?

    (生 1 把“個(gè)”改成“棵”。)

    【意圖】為什么絕大多數(shù)小組都選擇了只栽一端的方式?這并非意外,而是教師意料之中的事情。因?yàn)樯险n的班級(jí)是5 年級(jí)2 班,學(xué)生對(duì)自己班級(jí)的認(rèn)同度比較高,才會(huì)做出這種選擇。更重要的是,通過(guò)對(duì)這種植樹(shù)方式的深度探究,積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),為學(xué)生用這個(gè)發(fā)現(xiàn)由此及彼、推理出其他方式做了鋪墊。

    把3 個(gè)間隔改成3 棵樹(shù)的過(guò)程是學(xué)生由表面理解深入到知識(shí)本質(zhì)的過(guò)程。在部分學(xué)生對(duì)生1 的發(fā)言提出質(zhì)疑后,教師制止了生1 的回答,這樣就把問(wèn)題拋給了全體學(xué)生,給了全體學(xué)生思考的機(jī)會(huì)。再引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合“一一對(duì)應(yīng)”的思想,生動(dòng)地建立起3 個(gè)間隔和3 棵樹(shù)的關(guān)系,有效地生成了數(shù)學(xué)知識(shí)。

    四、溝通推理,深化模型

    1.用只栽一端推理出其他類(lèi)型

    師:同學(xué)們大多數(shù)都研究了只栽一端的情況,結(jié)合你的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),你能不能推理出另外兩種情況?

    生:只栽一端時(shí),棵數(shù)等于間隔數(shù),兩端都栽就是在只栽一端的基礎(chǔ)上再加一棵,所以棵數(shù)=間隔數(shù)+1。

    生:兩端不栽就是在只栽一端的基礎(chǔ)上再減一棵,所以?xún)啥瞬辉詴r(shí),棵數(shù)=間隔數(shù)-1。

    師:大家同意嗎?(同意)這兩位同學(xué)發(fā)言好在哪?

    生:根據(jù)一種情況就推出了另兩種情況。

    生:沒(méi)用線段圖也解決了問(wèn)題。

    生:只要知道間隔數(shù)是幾,就能推理出所有情況。

    師:推理確實(shí)是好方法,它不僅能讓我們脫離具體的直觀圖來(lái)解決問(wèn)題,還讓我們了解了這三種植樹(shù)類(lèi)型的聯(lián)系,掌聲送給這些同學(xué)。

    2.分析三種類(lèi)型,概括數(shù)學(xué)本質(zhì)

    師:大家再觀察這三種類(lèi)型,它們有什么相同點(diǎn)嗎?

    生:都是先算出間隔數(shù)。

    生:都用到了除法算出間隔數(shù)。

    師:(圈出三種類(lèi)型中的除法算式)是的,都是先計(jì)算15÷5=3(個(gè)),那你覺(jué)得植樹(shù)問(wèn)題就是哪一類(lèi)計(jì)算?

    生:用除法解決的一類(lèi)問(wèn)題。

    師:都是先算出間隔數(shù),再用一一對(duì)應(yīng)的方法確定棵數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系。植樹(shù)問(wèn)題并不神秘,它就是用除法解決的一類(lèi)問(wèn)題。

    【意圖】重點(diǎn)理解只栽一端的作用就是讓學(xué)生用它來(lái)推理,通過(guò)推理溝通三種植樹(shù)類(lèi)型的聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)對(duì)植樹(shù)問(wèn)題的整體感悟,并最終抽象出植樹(shù)問(wèn)題的本質(zhì)——研究棵數(shù)與間隔數(shù)之間數(shù)量關(guān)系的除法計(jì)算。當(dāng)然,用任何一種植樹(shù)類(lèi)型都可推理出另外類(lèi)型,選用只栽一端做為基本模型,是因?yàn)樵谶@種類(lèi)型下棵數(shù)恰好等于間隔數(shù),而且和另外兩種類(lèi)型存在著間隔數(shù)加一、間隔數(shù)減一的簡(jiǎn)單關(guān)系,便于學(xué)生理解掌握。

    五、回歸生活,運(yùn)用模型

    1.解決生活中的實(shí)際問(wèn)題(略)

    2.引發(fā)思考,將探究拓展到課外

    師:這節(jié)課我們研究的是在直直小路上的植樹(shù)問(wèn)題,還會(huì)有什么樣的植樹(shù)問(wèn)題?(曲線)假如在60 米長(zhǎng)的圓形花壇四周植樹(shù),也是每隔5 米栽一樣,能栽幾棵呢?留給大家課后解決。

    【意圖】解決曲線上的植樹(shù)問(wèn)題需要將曲線問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直線問(wèn)題,這道題不僅要求學(xué)生靈活地運(yùn)用本課所學(xué)知識(shí),還將學(xué)生的探究由課內(nèi)引向了課外。

    反思:

    模型思想是數(shù)學(xué)三大基本思想之一,又位列十大核心概念之中,其在教學(xué)中的重要性不言而喻。植樹(shù)問(wèn)題不僅蘊(yùn)含著典型的模型思想,更有一一對(duì)應(yīng)、數(shù)形結(jié)合等思想,有效地整合這些思想方法,更好地凸顯模型思想才是教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿。模型思想的建立不僅要讓學(xué)生經(jīng)歷模型的建立過(guò)程,更要實(shí)現(xiàn)對(duì)模型的深度理解和本質(zhì)把握。

    1.數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)是一個(gè)生動(dòng)深刻的過(guò)程

    學(xué)生對(duì)模型思想的感悟需要學(xué)生經(jīng)歷建模的過(guò)程,這就要先從現(xiàn)實(shí)世界中找到原型,逐漸剝離現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的非數(shù)學(xué)本質(zhì),最終抽象出數(shù)學(xué)模型。本課由“三個(gè)班各栽了多少棵”這一現(xiàn)實(shí)情境引發(fā)思考,讓學(xué)生初步感知到植樹(shù)類(lèi)型的存在和不同,學(xué)生用畫(huà)線段圖的方式把現(xiàn)實(shí)中的“樹(shù)”和“間隔”抽象成了“點(diǎn)”和“段”。再用一一對(duì)應(yīng)等思想方法得出了簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)關(guān)系式,初步建立了數(shù)學(xué)模型。但教學(xué)并未就此止步,而是進(jìn)一步讓學(xué)生對(duì)比、分析三種關(guān)系式,由此及彼,實(shí)現(xiàn)了三種關(guān)系的有效溝通,深化了學(xué)生的理解,并最終抽象出植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì),實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)模型的深度理解。

    2.數(shù)學(xué)模型應(yīng)該是簡(jiǎn)潔的、便于理解運(yùn)用的

    植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型不是留在黑板上的學(xué)生總是混淆的三個(gè)關(guān)系式,更不是把這三個(gè)關(guān)系式又變式成更多的公式,這不僅不利于學(xué)生理解,更會(huì)增加學(xué)習(xí)的難度,無(wú)助于模型思想的建立。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō),這個(gè)模型應(yīng)該是理解起來(lái)簡(jiǎn)單,運(yùn)用起來(lái)方便的。在本課中,絕大多數(shù)小組選擇“只栽一端”并非偶然,而是教師的“有意為之”,學(xué)生用“只栽一端”這個(gè)基本模型就能推理出另外兩種情況,這不僅不會(huì)弱化模型思想的感悟,反而能更加凸顯出這個(gè)基本模型的優(yōu)勢(shì)一一用除法算出間隔數(shù),棵數(shù)就等于間隔數(shù),再用間隔數(shù)加1、減1 就算出了另外兩種植樹(shù)情況。學(xué)生只需要用除法算出間隔數(shù),再根據(jù)實(shí)際情況就可推理解決所有類(lèi)型的植樹(shù)問(wèn)題。

    可見(jiàn),給學(xué)生一個(gè)清晰的數(shù)學(xué)模型不僅是能否建立起模型思想的關(guān)鍵,更應(yīng)是教學(xué)的不懈追求。

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