垂直差異產(chǎn)品的產(chǎn)品組合、價格與庫存聯(lián)合決策

王亞娜，江文輝，王桐遠，李延來

(西南交通大學 交通運輸與物流學院，四川 成都 611756)

0 引言

二十一世紀以來，隨著科技和電子商務(wù)的迅速發(fā)展，在產(chǎn)品種類、質(zhì)量、款式呈爆發(fā)式增長的同時，消費者對產(chǎn)品的需求也愈加多元化，例如手機零售商通常會出售華為、蘋果、vivo、oppo等不同品牌的手機；對于同一個品牌的手機，零售商也會提供不同的內(nèi)存、CPU、顏色、尺寸等一系列差異化產(chǎn)品來滿足消費者的個性化需求。然而，零售商很難提供所有的細分產(chǎn)品給不同的消費者，因此對零售商而言，在滿足貨架空間、產(chǎn)品組合規(guī)模、資金投入等限制因素的前提下，如何從上游供應(yīng)商提供的眾多差異化產(chǎn)品中選擇恰當?shù)漠a(chǎn)品組合(product assortment)，并以恰當?shù)膬r格銷售給異質(zhì)消費者以獲得最大利潤，成為亟需解決的問題[1]。

本文研究主要涉及垂直差異產(chǎn)品和品類規(guī)劃。到目前為止，已有大量文獻對垂直差異產(chǎn)品的產(chǎn)品線設(shè)計和定價進行了深入研究。Mussa等[2]首次提出垂直差異產(chǎn)品的效用函數(shù)和成本函數(shù)；Hua等[3]將其拓展到供應(yīng)鏈情境下，以兩種垂直差異產(chǎn)品為對象分析了集中/分散渠道對制造商產(chǎn)品設(shè)計的影響；Wang等[4]研究了需求依賴于價格、質(zhì)量和顧客忠誠度時兩個制造商的質(zhì)量和價格競爭；Chen等[5]研究了雙渠道結(jié)構(gòu)對制造商的產(chǎn)品質(zhì)量和價格的影響；周建亨等[6]在考慮產(chǎn)品體驗的基礎(chǔ)上研究了雙渠道供應(yīng)鏈下的產(chǎn)品價格和質(zhì)量決策；Chen等[7]分析了高質(zhì)量制造商拓展低質(zhì)量產(chǎn)品線的最優(yōu)性條件；Chen 等[8]研究了柔性制造商的最優(yōu)產(chǎn)品線、價格及生產(chǎn)排程的聯(lián)合決策問題；趙菊等[9]在考慮策略型消費者的基礎(chǔ)上，研究了垂直化差異產(chǎn)品的推出策略。

品類規(guī)劃研究零售商在滿足運營約束的前提下，如何從給定的產(chǎn)品集合中選擇一個子集銷售給異質(zhì)消費者以獲得最大利潤[10]。Ryzin等[11]應(yīng)用多項Logit模型(Multi-Nomial Logit model，MNL)刻畫消費者選擇行為，研究了最優(yōu)產(chǎn)品組合及庫存聯(lián)合決策問題，結(jié)果表明最優(yōu)產(chǎn)品組合包含前k個最受歡迎的產(chǎn)品；隨后，Gaur等[12]采用區(qū)位選擇模型(locational choice model)刻畫顧客的選擇行為，得到與文獻[11]不同的結(jié)論，即最優(yōu)產(chǎn)品組合不一定包含最受歡迎的產(chǎn)品；Li[13]對文獻[11]進行拓展，分析了顧客到達分布對最優(yōu)產(chǎn)品組合的影響；Wang等[14]分析了網(wǎng)絡(luò)外部性對最優(yōu)產(chǎn)品組合的影響。上述文獻均假設(shè)價格為外生變量，重點研究零售商的產(chǎn)品組合選擇與庫存控制問題。然而，現(xiàn)實中的零售商常常需要決策產(chǎn)品的零售價格，因此一些學者開始關(guān)注產(chǎn)品的品類優(yōu)化、定價及庫存控制的聯(lián)合決策問題。Maddah等[15]研究發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)產(chǎn)品組合包含前k個保留價格最高的產(chǎn)品，當顧客到達人數(shù)趨于無窮大時，最優(yōu)產(chǎn)品組合中產(chǎn)品的邊際收益相等；Maddah等[16]考慮需求的不確定性，用泰勒展開的方法對上述研究進行拓展，結(jié)果表明當需求不確定時，最優(yōu)價格為客流量的非單調(diào)函數(shù)；Ilkyeong等[17]在考慮貨架空間約束的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了解決該問題的混合整數(shù)規(guī)劃模型，并設(shè)計了混合遺傳算法進行求解；Katsifou等[18]從增加顧客忠誠度的角度出發(fā)研究該問題，結(jié)果表明，若產(chǎn)品組合中包含邊際收益較低的特殊產(chǎn)品，則可吸引更多顧客，從而增加標準產(chǎn)品的銷售量和零售商利潤。另外，文獻[19-22]研究了產(chǎn)品組合為外生變量時的庫存控制或定價問題。

通過分析現(xiàn)有文獻可知：①垂直差異產(chǎn)品的研究均從制造商的角度出發(fā)分析制造商的最優(yōu)產(chǎn)品線和價格決策，該視角下的產(chǎn)品質(zhì)量為連續(xù)型變量，然而對零售商而言，產(chǎn)品質(zhì)量為一系列離散變量；②品類規(guī)劃的研究均以水平差異產(chǎn)品為研究對象，然而從產(chǎn)品差異化角度來看，產(chǎn)品不僅存在款式、顏色、口味等水平差異，還存在如CPU、內(nèi)存等產(chǎn)品特性的垂直差異。Pan等[23]以垂直差異產(chǎn)品為對象，研究了需求確定情形下價格分別為內(nèi)生和外生變量時零售商的最優(yōu)決策；Matta等[24]將其拓展到供應(yīng)鏈情境下，研究零售商資源約束、渠道結(jié)構(gòu)對上游供應(yīng)商最優(yōu)產(chǎn)品組合和批發(fā)價格的影響。

雖然上述研究為零售商解決需求確定情形下垂直差異化產(chǎn)品的品類優(yōu)化和定價問題提供了一定的參考，但是針對需求不確定情形下零售商的最優(yōu)產(chǎn)品組合選擇、定價和庫存控制問題，尚未有學者對此進行深入的探討。鑒于此，本文將同時探討需求確定和不確定環(huán)境下零售商的垂直差異化產(chǎn)品的產(chǎn)品組合、價格及庫存的綜合優(yōu)化問題。首先，采用消費者效用最大化理論構(gòu)建顧客選擇模型，進而構(gòu)建產(chǎn)品需求模型；其次，分別研究需求確定和不確定兩種情況下最優(yōu)產(chǎn)品組合和價格需滿足的性質(zhì)，根據(jù)最優(yōu)產(chǎn)品組合的性質(zhì)分別設(shè)計了兩種需求情形下的尋求最優(yōu)產(chǎn)品組合、價格及庫存的啟發(fā)式算法，并通過數(shù)值分析驗證本文模型和算法的可行性與有效性；最后，通過靈敏度分析探查顧客到達人數(shù)和需求變異系數(shù)對最優(yōu)產(chǎn)品組合、最優(yōu)價格和最優(yōu)庫存的影響。

1 基本假設(shè)與符號說明

基于上述符號說明，本文對垂直差異產(chǎn)品的產(chǎn)品組合、價格與庫存聯(lián)合決策問題做如下假設(shè)：

(1)銷售周期內(nèi)不考慮補貨情形。

(2)不考慮缺貨替代，當顧客偏好的產(chǎn)品缺貨時造成缺貨損失。

(3)未銷售產(chǎn)品的期末殘值為0。

(4)每位顧客最多購買一個產(chǎn)品，且顧客之間的選擇相互獨立。

(5)顧客可獲知零售商的產(chǎn)品組合信息，但不可獲知當前產(chǎn)品組合的庫存信息。

(7)產(chǎn)品質(zhì)量、成本和顧客到達人數(shù)均為外生變量。

2 模型構(gòu)建

2.1 顧客選擇模型

(1)

2.2 顧客需求模型

pr(Dlj(p)=d)=

(2)

式中pr(T=D)為客流量T的分布函數(shù)。根據(jù)式(2)，對于任意給定的客流量分布函數(shù)，準確推出Dlj(p)的分布函數(shù)存在一定困難。Smith等[20]指出，當T服從幾個特殊分布時，能夠準確推出lj產(chǎn)品的需求分布函數(shù)：當T服從泊松分布時，Dlj(p)服從均值為λαlj(p)的泊松分布；當T服從負二項分布式時，Dlj(p)也服從負二項分布。因此，本文假設(shè)顧客到達人數(shù)服從均值為λ的泊松分布。當客流量服從離散型分布時，會使庫存和價格聯(lián)合決策模型變?yōu)閺?fù)雜的非線性整數(shù)規(guī)劃問題，用連續(xù)型分布近似離散型分布可以減小問題的復(fù)雜度[25]。Li[13]在其研究中表明，當平均顧客到達人數(shù)大于10時，正態(tài)分布可以較好地近似泊松分布。因此，本文假設(shè)lj產(chǎn)品的需求服從均值為λαlj(p)、標準差為(λαlj(p))β的正態(tài)分布，可知需求變異系數(shù)為(λαlj(p))β-1，即需求標準差、變異系數(shù)均為價格的函數(shù)。基于此，定義

Dlj(p)=glj(p)+flj(p)εlj。

(3)

式中：glj(p)=λαlj(p)；flj(p)=(λαlj(p))β，0≤β<1；εlj為隨機變量，服從標準正態(tài)分布。

3 零售商決策分析

本章研究需求確定時零售商的最優(yōu)產(chǎn)品組合及價格策略，在證明最優(yōu)價格存在且唯一的基礎(chǔ)上進一步推出最優(yōu)產(chǎn)品組合的屬性；研究需求不確定時的最優(yōu)產(chǎn)品組合、價格及庫存決策，證明兩種不同需求情形下最優(yōu)產(chǎn)品組合間的關(guān)系。

3.1 需求確定時零售商的決策分析

假設(shè)零售商不但可以獲知消費者感知價值分布函數(shù)，而且能夠清楚地洞悉每位消費者的質(zhì)量敏感度，則lj產(chǎn)品的需求量Dlj(p)=λαlj(p)，庫存為外生變量。此時，零售商需解決產(chǎn)品組合和價格聯(lián)合決策問題(P1)如下：

P1ΠD(S,p,λ)=

(4)

s.t.

(5)

當顧客需求確定時，對于任意給定的產(chǎn)品組合S，零售商的最優(yōu)價格滿足以下定理：

(6)

(7)

(8)

?

(9)

定理1表明，當需求確定時，零售商的期望利潤是產(chǎn)品銷售價格的凹函數(shù)。對于任意給定的產(chǎn)品組合，存在唯一最優(yōu)解使零售商的利潤最大化；同時，零售商的最優(yōu)銷售價格是關(guān)于自身質(zhì)量和成本的增函數(shù)，且與產(chǎn)品組合內(nèi)其他產(chǎn)品的銷售價格無關(guān)。因此，零售商在需求確定情形下進行價格決策時，只需考慮產(chǎn)品自身的質(zhì)量和成本。下面研究最優(yōu)產(chǎn)品組合需要滿足的條件。

證明

③采用反證法，令h為滿足plh-clh

與原命題矛盾，因此pl1-cl1≥pl2-cl2≥…≥plk-clk。

由推論1中條件①和②可知，最優(yōu)產(chǎn)品組合中的產(chǎn)品價格和價格質(zhì)量比是關(guān)于質(zhì)量的增函數(shù)；根據(jù)推論1中條件③可知，最優(yōu)產(chǎn)品組合中產(chǎn)品的邊際收益是質(zhì)量的非減函數(shù)，即高質(zhì)量產(chǎn)品擁有更高的邊際收益，因此一部分零售商只向消費者提供高端產(chǎn)品；上述推論中條件④表明最優(yōu)產(chǎn)品組合中產(chǎn)品的成本為質(zhì)量的凸增函數(shù)，這是因為高質(zhì)量產(chǎn)品需要更多的研發(fā)和制造成本。因此，零售商進行價格決策時，應(yīng)滿足下述條件：高質(zhì)量產(chǎn)品的單位質(zhì)量價格高于低質(zhì)量產(chǎn)品的單位質(zhì)量價格，且高質(zhì)量產(chǎn)品的邊際收益大于低質(zhì)量產(chǎn)品的邊際收益。

3.2 需求不確定時零售商的決策分析

當市場處于不完全信息狀態(tài)下時，零售商無法獲知每位顧客的質(zhì)量敏感度信息，lj產(chǎn)品的需求量Dlj(p)=λαlj(p)+(λαlj(p))βεlj，零售商需決策其庫存水平y(tǒng)以適應(yīng)需求的變動，令lj產(chǎn)品的庫存量為ylj，則零售商的最優(yōu)產(chǎn)品組合、價格及庫存聯(lián)合決策問題(P2)如下：

P2

Π(S,p,y,λ)=

(10)

(11)

根據(jù)需求服從正態(tài)分布的經(jīng)典報童模型[11]，lj產(chǎn)品的庫存量為

ylj(p)=λαlj(p)+zlj(λαlj(p))β。

(12)

令S*為最優(yōu)產(chǎn)品組合，S*?Ω，對應(yīng)的最優(yōu)價格為p*，最優(yōu)庫存量為y*。根據(jù)式(12)，給定價格p，可以求出對應(yīng)的庫存y，即產(chǎn)品的最優(yōu)銷售價格確定時，最優(yōu)庫存量隨之確定。因此，最優(yōu)產(chǎn)品組合、價格和庫存聯(lián)合決策問題可以重述為最優(yōu)產(chǎn)品組合與價格的聯(lián)合決策問題(P3)：

P3Π(S,p,λ)=

(13)

(14)

顧客需求不確定時，零售商的最優(yōu)價格滿足以下條件：

定理2令需求不確定時的最優(yōu)產(chǎn)品組合為S*，S*={l1,l2,…,li,li+1,…,lm}，則最優(yōu)產(chǎn)品組合中產(chǎn)品的價格滿足以下條件：

(15)

證明方法同定理1，不再贅述。

當需求確定時，產(chǎn)品的最優(yōu)銷售價格是關(guān)于自身質(zhì)量和成本的函數(shù)；當需求不確定時，產(chǎn)品的最優(yōu)銷售價格還受產(chǎn)品組合內(nèi)其他產(chǎn)品價格和質(zhì)量的影響，這與消費者在購買產(chǎn)品時對比同類型其他產(chǎn)品的質(zhì)量和價格的選擇行為相符。另外，最優(yōu)價格還受顧客到達人數(shù)的影響，解釋了同一質(zhì)量產(chǎn)品在客流量較大的沃爾瑪和客流量較小的街區(qū)便利店具有不同銷售價格這一現(xiàn)象的合理性。因此，當需求不確定時，零售商在制定其價格策略時不僅需要考慮產(chǎn)品自身的質(zhì)量和成本，還必須兼顧其他同類型不同質(zhì)量產(chǎn)品的價格和店鋪客流量。

定理3需求不確定時零售商的最優(yōu)利潤Π*(S,p,λ)在p*處是cli和cli/qli的減函數(shù)。

綜上所述，Π*(S,p,λ)在p*處是cli/qli的減函數(shù)。

根據(jù)定理3，零售商通過降低產(chǎn)品組合內(nèi)產(chǎn)品的成本或者成本質(zhì)量比可以增加其收益。

因此，

對Π(S,p,λ)求關(guān)于plj的偏導(dǎo)數(shù)，得

(16)

對式(16)求關(guān)于λ的偏導(dǎo)數(shù)，得

因此，

定理2說明產(chǎn)品組合內(nèi)產(chǎn)品的最優(yōu)價格受顧客到達人數(shù)的影響，推論3進一步探討了兩者之間的關(guān)系。根據(jù)推論3，產(chǎn)品的最優(yōu)價格為顧客到達人數(shù)的非單調(diào)函數(shù)，原因是需求為價格和顧客達到人數(shù)的函數(shù)，且服從均值為λαlj(p)、標準差為(λαlj(p))β的正態(tài)分布。當顧客人數(shù)增加時，需求函數(shù)的標準差和變異系數(shù)將隨之發(fā)生變化，價格也隨之相應(yīng)地變化，再次說明零售商根據(jù)其店鋪客流量及時調(diào)整價格策略的重要性。在現(xiàn)實生活中存在眾多價格隨客流量波動的案例，例如，滴滴剛進入市場時，采取低價、價格補貼等策略，迅速吸引了大量用戶。隨著用戶數(shù)量的增加，滴滴逐漸提高了單位里程價格，同時不定期發(fā)送優(yōu)惠券至顧客賬戶刺激消費。Luckin咖啡、青桔單車等也采取了類似的策略來提升銷售量。

4 算法設(shè)計

假設(shè)上游供應(yīng)商向零售商提供N種垂直化差異產(chǎn)品，則零售商需從(2N-1)種產(chǎn)品組合中決策其最優(yōu)產(chǎn)品組合。Pan等[23]、Hübner等[31-32]、Rusmevichientong等[33]指出，產(chǎn)品組合問題為NP難題，如果采用窮舉法進行決策，則當N很大時，將會消耗大量的計算時間，因此基于推論1，本文設(shè)計了凸增包絡(luò)算法，以篩選出滿足最優(yōu)產(chǎn)品組合性質(zhì)的產(chǎn)品。

根據(jù)定理1，當需求確定時，產(chǎn)品的最優(yōu)價格為自身質(zhì)量和成本的函數(shù)；當最優(yōu)產(chǎn)品組合確定時，產(chǎn)品的最優(yōu)價格隨之確定，具體求解步驟如下：

步驟3循環(huán)步驟2直至i=n。

當需求不確定時，零售商的最優(yōu)決策問題為帶約束條件的非線性優(yōu)化問題。為此，本文引入罰函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為不帶約束的非線性優(yōu)化問題。根據(jù)定理2，產(chǎn)品的價格不僅與自身的質(zhì)量和成本有關(guān)，還受顧客到達人數(shù)、其他產(chǎn)品質(zhì)量和價格的影響，傳統(tǒng)的數(shù)學方法將很難求出最優(yōu)價格。根據(jù)模型特點，本文設(shè)計了基于凸增包絡(luò)算法和模擬退火算法的啟發(fā)式算法，以尋找最優(yōu)產(chǎn)品組合、價格和庫存量。具體求解步驟如下：

步驟6判斷擾動后的增量ΔF(p)，若ΔF(p)>0，則接受新解，否則按照Metropolis準則接受劣解。

步驟7更新溫度，令T=Tω。

步驟12輸出最優(yōu)產(chǎn)品組合S*，p*，y*。

5 算例分析

本章以某零售商為例，分析確定型需求和不確定型需求兩種情況下零售商的最優(yōu)產(chǎn)品組合、價格和庫存策略，驗證上述相關(guān)結(jié)論的正確性和算法的有效性；并進行靈敏度分析，研究顧客到達人數(shù)、需求變異系數(shù)對最優(yōu)產(chǎn)品組合、價格和庫存量的影響。

5.1 算例求解

5.2 靈敏度分析

5.2.1λ對最優(yōu)產(chǎn)品組合利潤及其價格的影響

本節(jié)探討兩種不同需求情況下顧客到達人數(shù)對零售商最優(yōu)價格及其利潤的影響，結(jié)果如表1所示。

表1 顧客到達人數(shù)與零售商最優(yōu)價格和期望利潤的關(guān)系

由表1可知，當需求確定時，隨著λ的增加，零售商的最優(yōu)銷售價格保持不變，利潤不斷增加，說明需求確定時最優(yōu)價格與顧客到達人數(shù)無關(guān)，與定理1的結(jié)論一致；當需求不確定時，零售商的期望利潤為λ的增函數(shù)，而最優(yōu)價格為顧客到達人數(shù)的非單調(diào)函數(shù)。原因是：本文中的需求是關(guān)于價格和顧客到達人數(shù)的函數(shù)，且服從均值為λαlj(p)、標準差為(λαlj(p))β的正態(tài)分布，當λ增加時，需求的標準差、變異系數(shù)將隨之發(fā)生變化，零售商的價格也隨之相應(yīng)地變化。因此，零售商在需求不確定情形下決策最優(yōu)銷售價格時，不僅要考慮產(chǎn)品質(zhì)量、成本等與產(chǎn)品本身相關(guān)的屬性，還要考慮店鋪客流量，與定理2和推論3的結(jié)論一致。

圖4所示為λ對零售商利潤的影響。由圖4可知，需求不確定時零售商利潤始終小于需求確定時零售商的利潤，這是因為需求的不確定性增加了庫存成本，削弱了零售商的獲利能力。當顧客到達人數(shù)從10增加到400時，兩種需求模型間的利潤差從100.91%減小到7.45%，說明增加客流量能夠從一定程度上減小需求不確定性帶來的風險。

5.2.2 需求變異系數(shù)對最優(yōu)產(chǎn)品組合和利潤的影響

根據(jù)式(3)可知需求變異系數(shù)為β的增函數(shù)，因此通過研究β對最優(yōu)產(chǎn)品組合和利潤的影響，即可獲知需求變異系數(shù)對最優(yōu)產(chǎn)品組合和利潤的影響。β與最優(yōu)產(chǎn)品組合和零售商期望利潤的關(guān)系如表2所示。

表2 β與最優(yōu)產(chǎn)品組合和零售商期望利潤的關(guān)系

由表2可知，當β從0.1增加到0.7時，最優(yōu)產(chǎn)品組合均為{1,3}，對應(yīng)的零售商利潤從2 505.68減少到1 648.56；當β為0.8和0.9時，最優(yōu)產(chǎn)品組合均為{3}，零售商的利潤分別為1 389.08和1 117.40。因此，隨著產(chǎn)品需求不確定的增加，零售商利潤不斷降低，最優(yōu)產(chǎn)品組合規(guī)模減小。由上述分析可知，雖然產(chǎn)品1的邊際收益大于產(chǎn)品3，但是當市場需求高度不確定時，零售商并未選擇銷售邊際收益較高的產(chǎn)品1，而是提供邊際收益較低的產(chǎn)品3。這是因為產(chǎn)品1的成本高于產(chǎn)品3，而且產(chǎn)品1的單位滯銷成本高于邊際收益，而產(chǎn)品3的單位滯銷成本低于邊際收益，所以當市場需求高度不確定時，零售商會選擇成本較低的產(chǎn)品，以減小需求不確定性帶來的損失。以銷售旅游紀念品的零售商為例，受季節(jié)、假期等因素影響，其產(chǎn)品需求具有較高的變異系數(shù)，因此多數(shù)零售商向游客提供質(zhì)量較低的產(chǎn)品。另外，表2說明對于任意產(chǎn)品組合，零售商的利潤是β的減函數(shù)。圖5所示為產(chǎn)品組合為{1.5}時β與利潤之間的關(guān)系。

由圖5可知，當?shù)螖?shù)超過500時，零售商的利潤基本保持不變，說明算法的收斂速度基本不受需求變異系數(shù)的影響，因此本文設(shè)計的算法具有較好的穩(wěn)定性。另外，圖5說明隨著β的增加，零售商利潤降低了66.08%，根據(jù)式(3)可知，需求變異系數(shù)是關(guān)于β的增函數(shù)。因此，零售商的期望利潤是需求變異系數(shù)的減函數(shù)，說明需求不確定性增加將削弱零售商的獲利能力。

5.2.3 需求變異系數(shù)對最優(yōu)庫存量的影響

本節(jié)研究需求變異系數(shù)對零售商最優(yōu)庫存量的影響，研究結(jié)果如圖6所示。

由圖6可知，當β≤0.7時，零售商向消費者出售產(chǎn)品1和產(chǎn)品3。隨著β的增加，產(chǎn)品1的最優(yōu)訂貨量呈下降趨勢，產(chǎn)品3的最優(yōu)訂貨量雖出現(xiàn)一定程度的波動，但整體上仍然呈上升趨勢。其原因為：當訂貨量小于需求量時，產(chǎn)品1和產(chǎn)品3的最大邊際缺貨成本分別為106和57.62；當訂貨量大于需求量時，產(chǎn)品1和產(chǎn)品3帶來的最大損失分別為204和40.8。與產(chǎn)品3相比，產(chǎn)品1雖然具有較強的獲利性，但是風險成本較高(風險成本高于邊際收益)。當需求的不確定性增加時，零售商減少產(chǎn)品1的供應(yīng)量以避免庫存過多造成損失，同時增加產(chǎn)品3的供應(yīng)量以減少缺貨導(dǎo)致的損失。當β>0.7時，零售商僅提供產(chǎn)品3，產(chǎn)品3的最優(yōu)訂貨量為β的減函數(shù)。綜上所述，當產(chǎn)品組合中的產(chǎn)品數(shù)量大于1時，隨著需求變異系數(shù)的增加，零售商在降低高質(zhì)量產(chǎn)品庫存量的同時增加低質(zhì)量產(chǎn)品的供應(yīng)量；當最優(yōu)產(chǎn)品組合中僅存在一種產(chǎn)品時，隨著需求變異系數(shù)的增加，產(chǎn)品的最優(yōu)訂貨量不斷降低。

6 結(jié)束語

本文基于消費者效用最大化理論和報童模型，分別構(gòu)建了確定型需求和不確定型需求的最優(yōu)產(chǎn)品組合、價格及庫存聯(lián)合決策模型，研究了顧客到達人數(shù)、需求變異系數(shù)對最優(yōu)產(chǎn)品組合、最優(yōu)價格及庫存量的影響。研究結(jié)果表明：

(1)需求不確定時的最優(yōu)產(chǎn)品組合是需求確定時最優(yōu)產(chǎn)品組合的子集，當需求不確定時，最優(yōu)產(chǎn)品組合的規(guī)模與需求變異系數(shù)成反比。

(2)兩種不同需求模型下，零售商的利潤均為顧客到達人數(shù)的增函數(shù)，而且確定型需求的期望利潤始終高于不確定型需求的利潤，但兩者之間的差距隨顧客到達人數(shù)的增加而減小。然而，當需求確定時，最優(yōu)價格與產(chǎn)品自身成本和質(zhì)量成正比，與顧客到達人數(shù)相互獨立；當需求不確定時，零售商的最優(yōu)價格是關(guān)于產(chǎn)品自身成本、質(zhì)量、產(chǎn)品組合內(nèi)其他產(chǎn)品價格以及顧客到達人數(shù)的函數(shù)。

(3)當需求不確定時，零售商的利潤是需求變異系數(shù)的減函數(shù)，而最優(yōu)庫存量為需求變異系數(shù)的非單調(diào)函數(shù)：當|S*|≥2時，隨著需求變異系數(shù)的增加，高質(zhì)量產(chǎn)品的庫存量整體上呈下降趨勢，低質(zhì)量產(chǎn)品的庫存量整體上呈上升趨勢；當|S*|=1時，最優(yōu)庫存量與需求變異系數(shù)成反比。

因此，本文結(jié)論對零售商的最優(yōu)產(chǎn)品組合選擇、定價及庫存管理具有一定指導(dǎo)意義。

本文研究了兩種不同需求情形下垂直差異產(chǎn)品的最優(yōu)產(chǎn)品組合、價格及庫存聯(lián)合決策問題，沒有考慮產(chǎn)品的橫向差異對零售商最優(yōu)決策的影響。因此，研究垂直差異和水平差異共存時消費者選擇行為及零售商最優(yōu)決策是未來的研究方向。