強基計劃校考數(shù)學(xué)備考策略

◇ 甘志國(特級教師)

1 強基計劃介紹

2020年1月14日，教育部發(fā)布《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點工作的意見》，文件指出決定自2020年起，在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(也稱強基計劃).同時，在部分“一流大學(xué)”建設(shè)高校范圍內(nèi)遴選高校開展試點.教育部將按照“一校一策”的原則，研究確定強基計劃招生高校、專業(yè)和規(guī)模.2020年起，不再組織開展高校自主招生工作.

2 強基計劃校考介紹

很多考生對強基計劃試題的難度不太了解，這里進行一個粗略的對比.各科綜合起來的大致情況是高考的中檔題相當(dāng)于強基計劃校考的簡單題，高考的難題相當(dāng)于強基計劃?？嫉闹袡n題，也相當(dāng)于競賽的簡單題，強基計劃校考的難題相當(dāng)于競賽的中檔題.

可以說，強基計劃?？贾?5%的題屬于課內(nèi)范圍，35%的題屬于超綱范圍(競賽題難度).所以，有人說強基計劃校考試題的難度介于高考和競賽之間是有道理的.

較為細致地來說，也可以把強基計劃校考試題分為下面三部分：

(1)有的題是課內(nèi)常見的，這類題檢查同學(xué)們學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)情況，一般熟練掌握高考內(nèi)容的同學(xué)都能比較容易拿到分；

(2)有的題是在高考考綱邊緣附近，這類題保留了一定數(shù)量的高考核心考點，但著力點和區(qū)分度主要放在高考自然延伸出的一些知識和方法上；

(3)有的題是超出高考考綱的，這類題涉及課內(nèi)沒有學(xué)過的知識、公式(比如反三角函數(shù)、極限)，或者是競賽聯(lián)賽中的方法、技巧.

強基計劃?？紱]有考綱，由大學(xué)教授、專家或數(shù)學(xué)界知名人士命題，所以有超綱內(nèi)容是正常的(當(dāng)然教授是有出題原則的，應(yīng)當(dāng)說，名校強基計劃?？碱}都是好題，對高考和數(shù)學(xué)競賽的復(fù)習(xí)備考也有重要參考價值).

3 強基計劃?？紨?shù)學(xué)試題特點

目前，高中生在數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面表現(xiàn)出諸多不足，比如解題思路不清晰，對題目的分析不周全，難以準(zhǔn)確識別模型以盡快將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題；學(xué)生普遍知識面狹窄(如對復(fù)數(shù)等許多基本知識都不了解)；運算能力較低等.尤其是高中生創(chuàng)新意識和動手操作能力較差.

針對以上情形，強基計劃?？紨?shù)學(xué)試題具有如下特點.

3.1 強基計劃?？紨?shù)學(xué)試題突出考查考生的數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)素養(yǎng)

強基計劃的目的是選拔頂尖的人才，所以試題必然會突出這一選拔功能.

例1(2020年上海交通大學(xué))已知甲、乙、丙三人的職業(yè)是A，B，C之一，且每兩個人的職業(yè)均不相同.若乙的年齡比C的年齡大，丙的年齡與B的年齡不同，B的年齡比甲的年齡小，則甲、乙、丙三人的職業(yè)分別是( ).

A.A，B，CB.C，A，B

C.C，B，AD.B，C，A

答案A.

例1考查邏輯推理知識(判斷命題的真假)，相應(yīng)的知識、方法都是考生需要具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.2 強基計劃數(shù)學(xué)試題突出考查思維的廣闊性(如發(fā)散思維)、深刻性與靈活性

例2(2020年復(fù)旦大學(xué))的展開式中的常數(shù)項為_____.

答案 12 600.

例2是需要用二項展開式的通項解決四項展開式的通項問題，充分考查了學(xué)生思維的廣闊性、深刻性與靈活性.

3.3 許多強基計劃?？紨?shù)學(xué)試題有深刻背景，可以引申推廣

例3(2020年北京大學(xué))已知橢圓與圓x2＋y2＝4，若從圓上的動點A作橢圓的切點弦，則所有的切點弦所在的直線圍成曲線的面積是( ).

可設(shè)動點A(2cosθ，2sinθ)，可得切點弦所在的直線方程是xcosθ＋2ysinθ＝1.

例3的背景是《高等幾何》中的“曲線是切線的包絡(luò)”：曲線可由“點動成線”來生成；也可由曲線上點的切線圍成，即“曲線是切線的包絡(luò)”.由例3的解法，還可得到其一般結(jié)論，即過圓上的動點作橢圓的切點弦，所有的切點弦圍成的曲線是橢圓.

3.4 強基計劃校考數(shù)學(xué)試題覆蓋面廣

強基計劃?？紱]有明確的考試大綱，試題的覆蓋面很廣，很多題的難度超出高考，甚至涉及高等數(shù)學(xué)知識，需要考生“見多識廣”.

例4(2020年復(fù)旦大學(xué))若函數(shù)f(x)＝3x－3－x的反函數(shù)為y＝f－1(x)，則y＝f－1(x－1)＋1在[－3，5]上的最大值與最小值的和為( ).

A.0 B.1 C.2 D.4

答案C.

例6(2020年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué))雙曲線y＝的離心率是______.

答案

例7(2020年北京大學(xué))方程19x＋93y＝4xy整數(shù)解的個數(shù)是( ).

A.4 B.8

C.16 D.前三個答案都不對

答案B.

解答例4要用到反函數(shù)知識，解答例5要用到反三角函數(shù)知識，例6涉及平面直角坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換，例7涉及不定方程知識.這些知識在現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材中均未出現(xiàn)，但屬于強基計劃的命題范圍.

3.5 部分強基計劃?？紨?shù)學(xué)試題運算量較大，或有較強的技巧性

例8(2020年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué))求函數(shù)y＝3sin2x－2sin 2x＋2sinx－cosx(0≤x≤)的值域.

答案

例9(2020年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué))已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－x＋1－a，若?x∈[－1，1]，|f(x)|≥|x|，求實數(shù)a的取值范圍.

答案

例10(2020年北京大學(xué))下面函數(shù)的最大值是( ).

解答例8 需要用到較強的湊配技巧：先得y＝(2sinx－cosx)2＋(2sinx－cosx)－1，再用換元法求解(這與高中三角函數(shù)題的常規(guī)解法不同)；例9是所在試卷(共11道試題)中難度最大的一道試題，其常規(guī)解法需用到二次討論，比較復(fù)雜；例10是三角函數(shù)問題，但還要用三角換元法來求解.

3.6 強基計劃?？紨?shù)學(xué)試題注重引導(dǎo)培養(yǎng)考生創(chuàng)新意識和動手操作能力

毫無疑問，這是強基計劃招生考試的主旨與方向.

例11(2020年上海交通大學(xué))單位正方體的六邊形截面周長的最小值是_________.

答案

例11是用正方體的平面展開圖來求解，還可得到結(jié)論：若點E，F(xiàn)，G，H，I，J分別在單位正方體的棱AB，BB′，B′C′，C′D′，D′D，DA(包括端點)上，則HI＋IJ＋JE＋EF＋FG＋GH的最小值是

3.7 部分強基計劃?？紨?shù)學(xué)試題解法簡捷新穎

例12(2020年北京大學(xué))若P是單位正方體ABCD-A1B1C1D1上或其內(nèi)部的點，則PA1＋PC1的最小值是( ).

解例12只需用到線段公理“兩點之間，線段最短”.

3.8 強基計劃?？紨?shù)學(xué)試題的最大特點是原創(chuàng)性

由于強基計劃?？荚囶}的命題人多是大學(xué)教授、專家或知名學(xué)者，他們視野開闊，經(jīng)常站在數(shù)學(xué)學(xué)科和社會發(fā)展的前沿思考問題，因此?？荚囶}都令人耳目一新、難以捉摸.但仔細分析強基計劃?？紨?shù)學(xué)試題，還是可以看出一些特點的，而且原創(chuàng)性是其最明顯的特點.

4 強基計劃數(shù)學(xué)試題的來源

4.1 源于教材

教材是命題的基本依據(jù)，不少強基計劃校考試題都有教材背景，是教材上例題、習(xí)題、定義、定理的組合改編，甚至有時就是原題.

例13(2020年北京大學(xué))已知函數(shù)f(x，y，z)＝，x，y，z∈(0，＋∞)，則函數(shù)f(x，y，z)( ).

A.既有最大值也有最小值

B.有最大值但無最小值

C.有最小值但無最大值

D.前三個答案都不對

答案D.

例13源于全日制普通高級中學(xué)教科書(必修)《數(shù)學(xué)2》第12～13頁的“例2 已知a，b，m都是正數(shù)，并且a＜b，求證.這就是大家熟悉的“糖水不等式”.

4.2 源于高考試題

許多稍難的高考試題適合更高層次的選拔考試，所以這樣的高考試題就被改編成了(或直接作為)強基計劃?？荚囶}.

例14(2020年上海交通大學(xué))與兩兩異面的三條直線均相交的直線條數(shù)是________.

答案無數(shù).

例14與2008年高考遼寧卷中的一道題目的實質(zhì)相同.

題目(2008 年遼寧卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線( ).

A.不存在 B.有且只有兩條

C.有且只有三條 D.有無數(shù)條

4.3 源于歷年的強基計劃(或自主招生)數(shù)學(xué)試題

例15(2020年上海交通大學(xué))若實數(shù)a，b滿足(a＋b)59＝－1，(a－b)60＝1，則

答案0.

例16(2020 年復(fù)旦大學(xué))定義fM(x)＝已知集合(x－3)＞0}，則A?B＝_________.

答案(－∞，－1]∪[0，1)∪(3，＋∞).

例17(2020年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué))若＝1，則|z＋1|－|z－i|的取值范圍是_________.

答案

例18(2020年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué))點集{(x，y)||5x＋6y|＋|9x＋11y|≤1}覆蓋的面積是_________.

答案2.

例15～18分別與下面的自主招生試題如出一轍.

題目1(2008年復(fù)旦大學(xué)千分考)若實數(shù)a，b滿足(a＋b)59＝－1，(a－b)60＝1，則＝( ).

A.－121 B.－49

C.0 D.23

題目2(2016年清華大學(xué)夏令營數(shù)學(xué)試題)對于集合M，N定義{x|fM(x)·fN(x)＝－1}，已知集合A＝{1，2，3，…，2 016}，B＝{2，4，6，…，4 032}.

(1)求fA(2 016)和fB(2 016)的值；

(2)設(shè)Card(X)表示集合X的元素個數(shù)，求m＝Card(XΔA)＋Card(XΔB)的最小值.

題目3(2017年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué))函數(shù)f(x)＝的值域是_________.

題目4(2019年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué))滿足|x＋2y|＋|3x＋4y|≤5(x，y∈R)的點(x，y)所構(gòu)成的區(qū)域的面積是________.

例18是線性規(guī)劃問題(但難于作出圖象)，可由題中的點集表示的圖形是平行四邊形，由公式S＝求解(或先通過分類討論去掉絕對值符號后再求解).

4.4 源于各級各類競賽試題

例19(2020年北京大學(xué))方程的實根個數(shù)是( ).

A.1 B.2

C.3 D.前三個答案都不對

答案D.

例19源于下面的兩道題，一道是競賽試題，一道是自主招生的試題.

題目1(2010年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試卷)滿足方程的所有實數(shù)解為________.

題目2(2012年北京大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題第2題)求1的實數(shù)根的個數(shù).

4.5 源于某些初等數(shù)學(xué)研究成果

例20(2020年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué))已知a1，a2，…，an是1，2，…，n的一個排列，若i＜j且ai＜aj，則稱(ai，aj)為排列a1，a2，…，an的一個順序?qū)?設(shè)X為排列a1，a2，…，an的順序?qū)Φ膫€數(shù)，則E(X)＝______.

答案

例20的背景是《高等代數(shù)》中排列的順序數(shù)、逆序數(shù).

4.6 源于高等數(shù)學(xué)

前面已述，例3源于《高等幾何》中“曲線是切線的包絡(luò)”的知識，例20源于《高等代數(shù)》中排列的順序數(shù)、逆序數(shù).

例21(2020年復(fù)旦大學(xué))已知點P為直線上一點，且點P到點A(2，5)和點B(4，3)的距離相等，則點P的坐標(biāo)為_________.

答案(1，2).

例21源于《高等代數(shù)》中的行列式，屬于高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容.

5 強基計劃數(shù)學(xué)備考策略

考生在日常學(xué)習(xí)中應(yīng)該重新審視高考中“不常考”的知識和方法，并進行必要的拓展，增強對數(shù)學(xué)問題的探究意識，注重數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)，細述如下.

5.1 夯實基礎(chǔ)，尤其要自覺加強基本運算能力的訓(xùn)練

“千里之行，始于足下.”強化基本功訓(xùn)練，是拓展知識與快速提高素養(yǎng)的資本.

解答強基計劃校考數(shù)學(xué)試題用到的思想、方法和知識，大部分也都在高考范圍之內(nèi)，因而，準(zhǔn)備高考和準(zhǔn)備強基計劃?？紤?yīng)該是相輔相成、互相補充的.

5.2 注重知識的延伸與拓展

例22(2020年復(fù)旦大學(xué))已知向量數(shù)列{an}滿足若則當(dāng)Sn取最大值時，n的值為( ).

A.8 B.7 C.6 D.6或7

解由題設(shè)，可得

所以當(dāng)且僅當(dāng)n＝6或7時，Sn取最大值，故選D.

例22僅僅是把考生在高中階段學(xué)習(xí)的2個、3個向量的和推廣到n個向量的和而已.在日常學(xué)習(xí)中，不能僅僅局限于教材.

強基計劃?？荚囶}的風(fēng)格與難度，和高考還是有較大的不同，同時強基計劃也會考一些在高考范圍邊緣處的知識.如果沒有接觸過競賽，又沒有準(zhǔn)備過強基計劃的裸考考生最終很可能無法取得好成績.備考需注意以下兩個方面.

1)注重不同的知識及時延伸與拓展

比如學(xué)習(xí)函數(shù)時，不僅要學(xué)習(xí)函數(shù)的定義、基本性質(zhì)及各類基本初等函數(shù)，還要及時學(xué)習(xí)函數(shù)與方程的思想方法.這有助于將函數(shù)理解得更深刻，在更為高級的層面上構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)和認知結(jié)構(gòu).

2)關(guān)注AP課程及其他多種形式的學(xué)習(xí)

AP課程中的許多內(nèi)容和方法已經(jīng)進入強基計劃?？?，如極限理論中的數(shù)列收斂準(zhǔn)則、夾逼定理、函數(shù)極限存在定理、迫斂性定理、兩個重要極限、洛必達法則等，微積分中的羅爾定理、拉格朗日中值定理、積分中值定理、牛頓－萊布尼茨公式等.

5.3 多做強基計劃(自主招生)數(shù)學(xué)真題，注重數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會與運用

例23(2020年復(fù)旦大學(xué))已知f(x)＝a sin 2πx＋b cos 2πx＋c sin 4πx＋d cos 4πx，若f(x)＝f(2x)，則 在a，b，c，d中能確定的參數(shù)是_________.

答案a，b，c，d.

例23的解法是賦值法，其理論依據(jù)是“特殊與一般思想”.解答例23還要用到等價轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想，這些思想方法都是考生必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

5.4 培養(yǎng)推廣與探究的意識

學(xué)習(xí)的重要方法：解一題，知一類.

例24(2020年復(fù)旦大學(xué))方程3x＋4y＋12z＝2 020的自然數(shù)解的組數(shù)為________.

考生應(yīng)當(dāng)通過推廣與探究，理解隔板法是解決一次不定方程正整數(shù)、自然數(shù)解組數(shù)的通性通法.

5.5 留心跨界科學(xué)與學(xué)科知識的交會

例25(2020年復(fù)旦大學(xué))Which number that number 5 is the cubic root of?

A.3 B.5 C.25 D.125

答案D.

解答本題時，考生數(shù)學(xué)專業(yè)的英語詞匯(立方根等)要過關(guān).復(fù)旦大學(xué)的強基計劃試題重視通識教育.

5.6 培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力

例26 (2020年上海交通大學(xué))若△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別是A(3，4)，B(6，0)，C(－5，2)，則∠A的平分線所在的直線方程是______.

解7x－y－17＝0.設(shè)，可得，即與(1，7)平行.所以∠A的平分線所在直線的一個方向向量是(1，7)，因而該直線的斜率是7，進而可得該直線的方程是y－4＝7(x－3)，即7x－y－17＝0.

例26還可用三角形的角平分線性質(zhì)定理或解三角形知識求解，或先得出∠BAC＝90°再進行求解，但運算量都要大一些.實際上，該解法也是通性通法，但該通法在資料中并不多見，教師也很可能不會講，需要考生通過自學(xué)獲得.

考生應(yīng)當(dāng)時刻培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力，21世紀(jì)最重要的個人能力首推自主學(xué)習(xí)能力，有了過硬的自學(xué)能力和意識，就可與時俱進，也可從容應(yīng)對很多新問題.

6 強基計劃?？紨?shù)學(xué)備考規(guī)劃

考生要想如愿考上頂尖名校，參加強基計劃是一條“捷徑”.筆者認為，強基計劃會持續(xù)受到家長及學(xué)生、學(xué)校(高中、高校)、社會的高度關(guān)注.經(jīng)過以上論述，讀者(考生)可能對強基計劃及其數(shù)學(xué)試題有比較全面深入的了解，考生一定要提前做好規(guī)劃、及時行動、充分應(yīng)變，并在做中體味、修正、總結(jié)、提高.