矩陣奇異值不等式的一些廣義結果

楊 巍， 張 峰

（1.廣西工業(yè)職業(yè)技術學院基礎教學部，廣西南寧 530001；2.東北林業(yè)大學理學院，黑龍江哈爾濱 150040）

1 引言

在本文中，我們記Mn為n 階復矩陣的全體，I為Mn上的單位矩陣.對于任意的A∈Mn，記s（A） 為A的奇異值的集合，即s（A）= {s1（A），…，sn（A）}，其中si（A） 為A的奇異值，且s1（A）≥ … ≥ sn（A）；對于任意的自共軛矩陣A∈Mn，記λ（A）為A的特征值的集合，即λ（A）= {λ1（A），…，λn（A）}，其中λi（A）為A的奇異值，A≥0 表示A是半正定矩陣，如果I-A*A≥0 ，則稱A是可壓縮的.可以證明，A是壓縮矩陣當且僅當s1（A）≤1 .

其中A，B∈Mn是半正定矩陣，m≥2 是一個正整數(shù).著名的Lieb-Thirring 不等式[9]說明了對于半正定矩陣A，B以及正整數(shù)m，都有tr（AB）m≤trAmBm，當m≥2 時 ，Lieb-Thirring 不等式是不等式（2）的一個特殊情況.以上都說明了壓縮矩陣的重要性.

下面介紹向量優(yōu)超的定義.假設一個實向量x=（x1，x2，…，xn）∈Rn，重新排列順序使得x[1]≥x[2]≥ …≥x[n].對于x=（x1，x2，…，xn），y=（y1，y2，…，yn）∈Rn，如果

正如文獻［4］中所說，這些方法似乎很難推廣到更多矩陣，本文的目的向量就是提供這樣一種擴展，將上述結果與壓縮矩陣相結合，得到了

進一步，在（6）中，給出了AiCi=CiAi，AiDi=DiAi這個條件的必要性.

2 引理

在證明主要結果之前，我們需要一些引理.

引理 2.1 （Exercise1.5.1[5]）.令Ai∈ Mn（i=1，2，…k） 是半正定矩陣，則有

引理 2.2 （Theorem4.2.3[5]）令Ai∈ Mn（i=1，2，…k） 是半正定矩陣，對于0 ≤r≤1 ，則有

引理 2.3 （Corollary3.2.3[6]）令A，B，C，D∈Mn是半正定矩陣，且A≤C，B≤D，對于任意j=1，2，…n ，有λj（AB） ≤λj（CD） .

值得注意的是，即使A，B是正定的，如果特征值被奇異值代替，引理2.3中的不等式也不成立.

引理 2.6 （Theorem3.4.5[6]）對于任意Ai∈ Mn（i=1，2，…，k） ，都有

引理 2.7 （Example2.3.5[6]）對于任意的酉不變范數(shù)‖·‖ ，以及任意A，B∈Mn，p≥1 ，‖A‖≤‖B‖?‖A‖p≤‖B‖p.

3 主要結果

定理3.1 設Ai∈ Mn（i=1，2） 為半正定矩陣，C1，D1∈ Mn是壓縮矩陣，則對于任意的酉不變范數(shù)‖·‖，

再根據(jù)引理2.2，得到

注釋3.1 在定理3.1中令p=q=2 ，則有

我們觀察到不等式（3）是不等式（7）的特例，另一方面，得到下面的不等式成立：

定理3.2 設Ai∈ Mn（i=1，2，…，k） 為半正定矩陣，Ci，Di∈ Mn（i=1，2，…，k） 是壓縮矩陣，則對于任意的酉不變范數(shù)‖·‖，都有

結論得證.

注釋 3.2 利用不等式（4）和（9），得到

因此不等式（9）是（4）的改進，而這些結果都是（5）的擴展.

定理 3.3 設Ai∈ Mn（i=1，2，…，k） 為半正定矩陣，Ci，Di∈ Mn（i=1，2，…，k） 是壓縮矩陣，滿足AiCi=CiAi，AiDi=DiAi，則對于任意的0 ≤t≤1 ，都有

結論得證.

注釋3.3 舉例證明的必要性AiCi=CiAi，AiDi=DiAi.

這個結果正是（4）的一個結論.